1．若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则下列关系式一定成立的是( )
A．x1y1－x2y2＝0 B．x1x2－y1y2＝0
C.＝ D．x1y2－x2y1＝0
解析：选D.A、B明显错误，C中只有在y1y2≠0时才成立，故选D.
2．已知向量a＝(x,5)，b＝(5，x)，两向量方向相反，则x＝( )
A．－5 B．5
C．－1 D．1
解析：选A.a∥b，∴x2＝25，∴x＝±5，
∵两向量反向，∴验证x＝－5.
3．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
解析：选C.由于a∥b，则1×m－2×(－2)＝0，解得m＝－4，则2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
4．已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13 B．9
C．－9 D．13
解析：选C.设C(6，y)，则∥.
又＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，
∴－8(y＋6)－3×8＝0.
∴y＝－9.
5．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等于( )
A．－ B.
C．－2 D．2
解析：选A.由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－.
6．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
解析：a＋b＝(1，m－1)，∵a＋b∥c，
∴1×2－(－1)(m－1)＝0，解得m＝－1.
答案：－1
7．(2013·荆州高一检测)已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.
解析：由题意得，
点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则＝(4,6)．
又与a＝(1，λ)共线，
则4λ－6＝0，得λ＝.
答案：
8．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.由?又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，∴B(0，)或(，0)．
答案：(0，)或(，0)
9．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，求x＋2y的值．
解：∵＝＋＋
＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)
＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝－(x＋4，y－2)
＝(－x－4，－y＋2)．
∵∥，
∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，
即x＋2y＝0.
10．设A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，与共线且方向相同？此时A，B，C，D能否在同一条直线上？
解：＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，
＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，
＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．
由与共线，得x2＝1×4，即x＝±2.
又与方向相同，∴x＝2.此时，＝(2,1)，＝(－3,2)，
而2×2≠－3×1，
∴与不共线，
∴A，B，C三点不在同一直线上，
∴A，B，C，D不在同一直线上．
1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)．若点C(x，y)满足＝α＋β，其中α，β∈R且α＋β＝1，则x，y所满足的关系式为( )
A．3x＋2y－11＝0
B．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C．2x－y＝0
D．x＋2y－5＝0
解析：选D.∵＝α＋β，∴α(3,1)＋β(－1,3)＝(x，y)，
∴∴又∵α＋β＝1，∴＋＝1，故x＋2y－5＝0.
2．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1,2)?m＝(5,0)，则(1,2)⊕m等于________．
解析：由(1,2)?m＝(5,0)，可得解得∴(1,2)⊕m＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．
答案：(2,0)
3．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)∵A，B，C三点共线，
∴＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
4．如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
解：∵＝＝(0,5)＝(0，)，∴C(0，)．
∵＝＝(4,3)＝(2，)，
∴D(2，)．
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝(x，y－)，＝(4，)，
＝(2，)－(0,5)＝(2，－)．
∵∥，∴－x－2(y－5)＝0，
即7x＋4y＝20.①
∵∥，
∴x－4(y－)＝0，
即7x－16y＝－20.②
联立①②，解得x＝，y＝2，故点M的坐标为(，2)．
课件22张PPT。2．3.4 平面向量共线的坐标表示第二章 平面向量学习导航
两个共线向量的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b?a＝λb?___________________.x1y2－x2y1＝0做一做
已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，则x等于________.
答案：2
想一想
提示：不一定，两个向量中，若有与坐标轴(x轴)平行的向量或零向量，则不能写成比例式．
题型一 向量共线的判断【答案】 A
【名师点评】 向量共线问题常涉及两个方面：(1)已知两个向量的坐标或四点的坐标，判定两向量共线；(2)已知向量共线求参数的值．解题时要注意方程思想的运用，向量共线的条件、向量相等都可作为列方程的依据．
跟踪训练
1．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，
则实数x的值是( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：选D.a＋b＝(3,1＋x)，4b－2a＝(6,4x－2)．
∵a＋b与4b－2a平行，∴3(4x－2)－6(1＋x)＝0，
即4x－2＝2(1＋x)．∴x＝2.
题型二 三点共线问题【名师点评】 利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．
跟踪训练题型三 向量共线的应用【名师点评】 本例中的两个方法，在充分理解向量共线的性质定理的基础上从不同的侧面给出了已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的一般解法．而且更为重要的是给我们提供了求直线与直线交点的向量方案．
1．要判断向量a、b是否共线，可用共线定理a∥b(b≠0)?a＝λb来判断，如果能求得a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，也可用x1y2－x2y1＝0来判断．向量共线常常用来解决交点坐标的问题和三点共线的问题．
2．三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．易错警示忽视向量的方向致误【常见错误】 (1)由向量共线知x1y2－x2y1＝0可求出n的值，而忽视对向量是否同向进行验证．
(2)由A、B、C、D的坐标求向量坐标，公式应用出错．
【答案】 A【失误防范】 (1)准确计算有关向量的坐标是解答此类问题的前提．
(2)当向量用坐标表示时，在解决与向量共线有关的问题时，一般用坐标表示向量平行．
(3)向量共线的坐标表示将向量共线用代数形式表示出来后，要注意与其他知识的结合应用．
跟踪训练
