1．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析：选B.|2a－b|＝ ＝＝＝2.
2．已知|i|＝|j|＝1，i⊥j，且a＝2i＋3j，b＝ki－4j.若a⊥b，则k的值是( )
A．6 B．－6
C．3 D．－3
解析：选A.∵a⊥b，∴a·b＝(2i＋3j)·(ki－4j)＝2k－12＝0，∴k＝6.
3．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos2 θ≠a2·b2，选C.
4．已知向量a，b满足(a－b)·(2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则a与b的夹角的余弦值为( )
A. B．－
C．2 D．－2
解析：选B.(a－b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－2b·a－b2
＝2|a|2－|a||b|cos θ－|b|2＝－4，
∴cos θ＝－.
5．(2013·石家庄质检)已知平面向量a、b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为( )
A. B.
C. D．π
解析：选B.∵|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝7，
|a|＝1，|b|＝，∴4＋4a·b＋3＝7，a·b＝0，∴a⊥b.如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA，∵tan∠COA＝＝，∴∠COA＝，即a与a＋b的夹角为.
6．已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影为－2，则|a|＝________.
解析：∵|a|·cos 120°＝－2，
∴|a|·(－)＝－2，
∴|a|＝4.
答案：4
7．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝________.
解析：设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，∴(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－3×1×1×cos 120°＝－3＋3×＝－.
答案：－
8．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．若a与b的夹角为60°，则k＝________.
解析：∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)，∴k2＋1＋k＝3(1＋k2－k)，即k2－2k＋1＝0，∴k＝1.
答案：1
9．如图，在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.
求：(1)·；
(2)·；
(3)·.
解：(1)·＝||2＝9；
(2)·＝－||2＝－16；
(3)·＝||||cos(180°－60°)＝4×3×(－)＝－6.
10．已知|a|＝1，|b|＝，(1)若a、b的夹角为60°，求|a＋b|；(2)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
解：(1)当a与b的夹角是60°时，有a·b＝|a||b|cosθ＝1××cos 60°＝.
|a＋b|＝ ＝ .
＝ ＝ ；
(2)∵(a－b)⊥a，∴(a－b)·a＝0
a2－a·b＝0，a·b＝a2＝1，
cos θ＝＝＝，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.
1．若E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，且(＋)·(＋)＝0，则四边形EFGH是( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：选C.∵(＋)·(＋)＝0，∴·＝0，∴⊥，又E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，∴四边形EFGH的两组对边分别与AC、BD平行，且EF⊥EH，∴四边形EFGH为矩形．
2．若向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
解析：由已知，得|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，所以向量a与b同向．
向量c与它们反向，
所以a·b＋b·c＋c·a
＝3cos 0°＋4cos 180°＋12cos 180°
＝3－4－12＝－13.
答案：－13
3．设非零向量a和b，它们的夹角为θ.
(1)若|a|＝5，|b|＝4，θ＝150°，求a在b方向上的投影和a与b的数量积；
(2)若a·b＝9，|a|＝6，|b|＝3，求b在a方向上的投影和a与b的夹角θ.
解：(1)a在b方向上的投影为
|a|cos θ＝5cos 150°＝－，
a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 150°＝－10.
(2)b在a方向上的投影为|b|cos θ＝＝＝.
∵cos θ＝＝＝，且0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
4．已知两非零向量a、b的夹角θ＝120°，|a|＝2，|b|＝4.设y＝|xa＋b|(x∈R)，试求y的最小值，并求出对应的x的值．
解：∵|a|＝2，|b|＝4，θ＝120°，
∴a·b＝|a||b|cos 120°＝2×4×(－)＝－4，
∴y2＝|xa＋b|2＝(xa)2＋2xa·b＋b2＝4x2－8x＋16＝4(x－1)2＋12.
又∵x∈R，∴当x＝1时，y有最小值2.
课件31张PPT。2．4 平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义第二章 平面向量学习导航
1．平面向量数量积的定义已知两非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量___________叫做a与b的_________ (或______)，
记作a·b，即______________
规定零向量与任一向量的数量积均为______.数量积内积0|a||b|·cos θa·b＝|a||b|cos θ.想一想
1.向量的数量积与向量的数乘相同吗？
提示：不相同．向量的数量积a·b是一个实数；数乘向量λa是一个向量．
做一做
1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影：|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的________
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影___________的乘积．
想一想
2.投影是向量吗？
提示：投影是数量而不是向量，它可正可负可为零，它的符号由θ的取值决定．
投影．|b|cos θ≤a·b＝0|a||b|－|a||b|做一做答案：30°4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝_______ (交换律)．
(2)(λa)·b＝_______________(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝______________ (分配律)．
b·aλ(a·b)＝a·(λb)a·c＋b·c想一想
3.对于向量a·b·c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？
提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．
题型一 向量数量积的运算【名师点评】 求两向量数量积的步骤是：
(1)求a与b的夹角；
(2)分别求|a|，|b|；
(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.应注意书写时a与b之间用“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
跟踪训练1．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a|·|b|cos 0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；题型二 向量的模长问题跟踪训练题型三 两个向量的夹角和垂直 (1)已知a2＝1，b2＝2，(a－b)·a＝0，求a与b的夹角．
(2)已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.求证：(a－b)⊥c.(2)证明：由题意可得(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c.
跟踪训练
3．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量
a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．
1．向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在其上的投影值．这个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数．
2．数量积的运算律只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这里是因为a·b，b·c都是实数，(a·b)·c与向量c方向相同或相反．a·(b·c)与向量a方向相同或相反，而a与c不一定共线，就是a与c共线，(a·b)·c与a·(b·c)也不一定相等．3．向量数量积的性质及作用
设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ.
(1)a⊥b?a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，即当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，此性质可用来证明向量共线．
规范解答应用向量的模及夹角求解 (本题满分12分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?12(2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，
则(a＋2b)·(ka－b)＝0 .8分
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，10分
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.12分
3抓关键 促规范
?若cos 120°值算错，则后续计算结果全错，是本题的关键点．
?解答时，应先求出 ，从而可求|4a－2b|，是本题突破点．
解答过程中，若未能根据(a＋2b)⊥(ka－b)推出 ，则无法求出k的值，这是在实际考试过程中失分很可惜的情况．
12233跟踪训练
