1．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于( )
A．23 B．57
C．63 D．83
解析：选D.∵|a|＝＝5，a·b＝－4×5＋3×6＝－2，∴3|a|2－4a·b＝3×52－4×(－2)＝83.故选D.
2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.|a|cos θ＝＝＝.
3．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A.向量λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)，因为两个向量垂直，故有(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得：λ＝－，故选A.
4．(2012·高考重庆卷)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A. B.
C．2 D．10
解析：选B.由a⊥c得2x＋1×(－4)＝0，所以x＝2；由b∥c得1×(－4)＝2y，所以y＝－2.从而a＝(2,1)，b＝(1，－2)
∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝ ＝.
5．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4 B．2
C．8 D．8
解析：选D.易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c|＝ ＝8.
6．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1，－1)，则cos θ＝________.
解析：法一：b＝a＋(－1，－1)＝(1,1)，则a·b＝6.
又|a|＝3，|b|＝，∴cos θ＝＝＝1.
法二：由已知得： b＝(1,1)．
又a＝(3,3)，∴a∥b，且同向．
故θ＝0°，cos θ＝1.
答案：1
7．已知a＝(，)，b＝(，－)，则向量a＋b与－2(a－b)的夹角为________．
解析：设夹角为 θ，∵|a|＝1，|b|＝1，a·b＝0，
∴(a＋b)·[－2(a－b)]＝－4，
又|a＋b|＝2，|－2(a－b)|＝4，∴θ＝.
答案：
8．(2012·高考安徽卷)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
解析：a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．
∵(a＋c)⊥b，
∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0，
∴m＝－.
∴a＝(1，－1)，∴|a|＝.
答案：
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0.
解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3, 0)，
|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝| (－2,0)|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2.
10．设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，
(1)试求向量2＋的模；
(2)若向量与的夹角为θ，求cos θ.
解：(1)∵A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，
∴＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)，
∴2＋＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)，
∴|2＋|＝ ＝5.
(2)由(1)知＝(－1,1)，＝(1,5)，
∴cos θ＝＝.
1．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P使·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(4,0)
解析：选C.设点P的坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1).·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，·有最小值1，∴点P的坐标为(3,0)，故选C.
2．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.
解析：设a＝(x，y)，
∵b＝(2，－1)，∴a＋b＝(x＋2，y－1)．
∵a＋b平行于x轴，∴y－1＝0，∴y＝1.
又∵|a＋b|＝1，即 ＝1，
∴x＝－1，或x＝－3.
∴a＝(－1,1)或(－3,1)．
答案：(－1,1)或(－3,1)
3．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
解：(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，
∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝ (7,1)，
设m、n的夹角为θ，
则cos θ＝＝
＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，
即m，n的夹角为.
4．已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．
解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
又·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.
设C点的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，
从而有，即，
∴C点的坐标为(0,5)．
又＝(－4,2)，||＝2，
∴矩形ABCD的对角线的长度为2.
课件28张PPT。2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角第二章 平面向量学习导航
1．向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝_______________，即两个向量的数量积等于_________________________x1x2＋y1y2它们对应坐标的乘积的和．做一做
1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，则a·b＝________.
解析：a·b＝1×2＋2×3＝8.
答案：8
x2＋y2x1y2－x2y1＝0x1x2＋y1y2＝0做一做
2.已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)，若a⊥b，则k＝________.
答案：5
题型一 数量积的坐标运算 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.【解】 (1)∵向量a与b同向，且b＝(1,2)，
∴设a＝λb＝λ(1,2)＝(λ，2λ)(λ>0)，
由a·b＝10，得1·λ＋2·2λ＝10，
解得λ＝2>0，符合a与b同向的条件，
∴λ＝2，a＝(2,4)．
(2)∵b＝(1,2)，c＝(2，－1)，
∴b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，
∴(b·c)·a＝0.
【名师点评】 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
跟踪训练
1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)．
(1)求a·(a－b)；
(2)求(a＋b)·(2a－b)；
(3)若c＝(2,1)，求(a·b)c，a(b·c)．
解：(1)法一：∵a＝(－1,2)，b＝(3,2)，
∴a－b＝(－4,0)．
∴a·(a－b)＝(－1,2)·(－4,0)
＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
法二：a·(a－b)＝a2－a·b
＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
(2)∵a＋b＝(－1,2)＋(3,2)＝(2,4)，
2a－b＝2(－1,2)－(3,2)
＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，
∴(a＋b)·(2a－b)＝(2,4)·(－5,2)
＝2×(－5)＋4×2＝－2.
(3)(a·b)c＝[(－1,2)·(3,2)](2,1)
＝(－1×3＋2×2)(2,1)＝(2,1)．
a(b·c)＝(－1,2)[(3,2)·(2,1)]
＝(－1,2)(3×2＋2×1)
＝8(－1,2)＝(－8,16)．
题型二 两个向量的夹角问题【名师点评】 根据向量的坐标表示求a与b的夹角时，需要先求出a·b及|a||b|，再由夹角的余弦值确定θ.其中，当a·b>0时，a与b的夹角为锐角；当a·b<0时，a与b的夹角为钝角；当a·b＝0，a与b的夹角为直角．
跟踪训练
2．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋b共线？
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°？
解：∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，
∴ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，
a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
(1)∵ka－b与a＋b共线，
∴k＋2－(－k)＝0.∴k＝－1.
题型三 两向量垂直的坐标运算
【名师点评】 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质与利用定义解决垂直问题一致，利用坐标表示是把垂直条件代数化，从而使判定方法更加简捷、运算更加直接，体现了向量问题代数化的思想．
跟踪训练
3．已知点A(1,2)和B(4，－1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ACB＝90°，若不能，请说明理由；若能，求出C点的坐标．
名师解题平面向量坐标表示的综合应用(2)由x⊥y，得x·y＝0，
即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0，
∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0，
∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.123213跟踪训练
4．已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈R.
求|a＋tb|的最小值及相应的t值．
