课件26张PPT。第1课时1.阅读相关内容，完成下列问题.
(1)定义：由不在___________的三条_____首尾顺次相接所组成
的图形叫做三角形.
(2)三角形的表示方法：一般的三角形用符号“___”表示.直角
三角形用符号“_____”表示.同一直线上线段△Rt△2.探究三角形三角关系.
(1)在纸上任意画一个三角形，测量它的三个内角可得，三个内
角的和是_____.
(2)做一个三角形纸片，将其三个内角剪下拼在一起可以得到一
个___角.
(3)做一个直角三角形的纸片，将其两个锐角剪下拼在一起可得
一个___角. 180°平直【归纳】①三角形的三个内角的和是_____；
②直角三角形的两锐角_____.180°互余3.三角形按角可分为：_____三角形、_____三角形、_____三角
形.
【点拨】判断三角形中最大内角的度数，就可以判断这一个三
角形的形状.锐角直角钝角【预习思考】
已知三角形中两个内角的度数，能确定三角形的形状吗？
提示：能，根据三角形的内角和是180°，可以确定第三个角的度数，进而确定三角形的形状. 与三角形有关的概念
【例1】如图所示，图中有几个三角形？请分别表示出来.∠AEC, ∠ABD分别是哪些三角形的内角？以BD为边的三角形有哪些? 【解题探究】(1)①图中较小的三角形有△BEF，△CDF，△BFC.
②两个图形组合为一个三角形的有：△BEC,△BDC,△ABD,△AEC,还有最大的一个三角形是：△ABC. 所以，图中有8个三角形.
(2)以∠AEC为内角的三角形有△AEC.
以∠ABD 为内角的三角形有△BEF,△ABD.
(3)以BD 为边的三角形有△BDC,△ABD.【规律总结】
复杂图形中确定三角形个数的三个要求
(1)按一定方向数：按从上到下或从左到右等一定的方向数.
(2)按从小到大的顺序数：先数单一的三角形，再数组合的三角形.
(3)不重不漏：边数边记，要做到不重复、不遗漏.【跟踪训练】
1.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有( )
(A)2对 (B)3对 (C)4对 (D)6对
【解析】选B.△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC，共3对.2.如图，在△ABC中，AD,BF,CE相交于O点，则图中的三角形的个数是( )
(A)7个 (B)10个 (C)15个 (D)16个
【解析】选D.最小的有6个，2个组成1个的有3个，3个组成1个的有6个，最大的有1个，则共有6+3+6+1=16(个).3.如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依次类推，则第6个图中共有三角形______个.
【解析】第n个图中，三角形的个数是1+4(n-1)=4n-3，所以当n=6时，三角形的个数是21.
答案：21 三角形内角和定理的应用
【例2】(6分)如图，△ABC中，∠A=60°，∠B∶∠C=1∶5.求∠B的度数.【规范解答】设∠B=x°，
因为∠B∶∠C=1∶5，
所以∠C=5x° . ……………………………………………… 2分
因为三角形的三个内角的和是180°,
所以∠A+∠B+∠C=180°,
所以得方程：60+x+5x=180, ………………………………… 4分
解得x=20,
故∠B=20°. ……………………………………………………6分【规律总结】
应用方程求解三角形中相关的角的三个步骤
(1)设元：选择适当的角设为未知数.
(2)表示：用未知数表示其他的角.
(3)列方程：根据三角形内角和定理列方程求解.【跟踪训练】
4.(2012·嘉兴中考)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )
(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°
【解析】选A.设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，则
x+2x+x+20°=180°，解得x=40°，即∠A=40°.5.在△ABC中，∠C=65°，∠B=25°，则这个三角形是_______.
【解析】∠A=180°-∠C-∠B=180°-65°-25°=90°.故为直角三角形.
答案：直角三角形6.如图，已知AD∥BC，∠EAD=50°，∠ACB=40°，则∠BAC=____度.
【解析】因为AD∥BC，∠EAD=50°，
所以∠EBC=∠EAD=50°.
在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=40°，
∴∠BAC=180°-50°-40°=90°.
答案：901.(2012·南通中考)如图，在△ABC中，
∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则
∠1＋∠2＝( )
(A)360° (B)250°
(C)180° (D)140°【解析】选B.因为∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，
所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
又因为∠3+∠4=180°-∠C=110°，
所以∠1+∠2=360°-110°=250°. 2. (2012·济宁中考)如图，B处在A处的
南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°
方向，C处在B处的北偏东80°方向，则
∠ACB等于( )
(A)40° (B)75°
(C)85° (D)140°
【解析】选C.由题意知，∠ABC =80°-45°=35°，∠BAC
=45°+15°=60°, ∠C=180°-35°-60°=85°.3.如图所示，图中有____个三角形，____个直角三角形.
【解析】图中有5个三角形，4个直角三角形.
答案：5 44.如图所示，AB∥CD，AD∥BC，∠1=65°，∠2=55°，则∠C=____.
【解析】因为AB∥CD，AD∥BC，所以∠BDC=∠2=55°，∠DBC=∠1=65°，所以∠C=180°-∠BDC-∠DBC=60°.
答案：60°5.如图所示，已知DF⊥AB于F，∠A=40°，∠D=50°，求∠ACB的度数.
【解析】在△BDF中，
∠B=180°-∠BFD-∠D=180°-90°-50°=40°，
在△ACB中，∠A=40°，
故∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-40°=100°.课件19张PPT。第2课时1.等腰三角形的相关概念.
(1)等腰三角形：有_____相等的三角形叫做等腰三角形.
(2)等边三角形：_____都相等的三角形是等边三角形，也叫
_________.
(3)关于等腰三角形各部分有其特定的名称.
①相等的两条边称为___，第三边称为_____.
②两腰的夹角称为_____，另两个角(腰与底的夹角)称为_____.两边三边正三角形腰底边顶角底角2.三角形的边角关系.
(1)三角形任意两边之和_____第三边.
(2)三角形任意两边之差_____第三边.
【归纳】如果三角形的两边为a,b,则第三边x的取值范围是：
|a-b|【点拨】只要三条线段的长度满足三角形的三边关系，则这三
条线段能构成三角形.大于小于a+b【预习思考】
等边三角形是等腰三角形吗？
提示：是.等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是腰和底相等的等腰三角形. 三角形的三边关系及应用
【例】等腰三角形一边长为5 cm，它比另一边短6 cm,求三角形周长.【解题探究】(1)你能确定5 cm的边是腰还是底吗？
答：不能，故此题可能有两解，即5 cm的边为底或为腰.
(2)①当5 cm的边为腰时，则底边长为5+6=11(cm).
因为5+5=10＜11,所以不能构成三角形.
②当5 cm的边为底边时，此时腰长为5+6=11(cm).
又因为11+5＞11，故能构成三角形.所以三角形周长为5+11+11=27(cm).【规律总结】
等腰三角形的周长问题中的三点注意
(1)分清：已知数据是三角形的腰还是底.
(2)分类：题目中没有明确腰或底时，要分类讨论.
(3)满足：计算中一定要验算三边是否满足三角形的三边关系.【跟踪训练】
1.下列长度的三条线段，不能构成三角形的是( )
(A)3，8，4 (B)4，9，6
(C)15，20，8 (D)9，15，8
【解析】选A.因为3+4＜8，所以不能构成三角形；因为4+6＞9，所以能构成三角形；因为8+15＞20，所以能构成三角形；因为8+9＞15，所以能构成三角形.故选A.2. 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是
( )
(A)3＜x＜11 (B)4＜x＜7
(C)-3＜x＜11 (D)x＞3
【解析】选A.因为三角形的三边长分别为4，7，x，∴7-4＜x＜7+4，即3＜x＜11.3.为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在
池塘一侧选取了一点P，测得PA=16 m，
PB=12 m，那么A，B间的距离不可能是( )
(A)5 m (B)15 m (C)20 m (D)28 m
【解析】选D.因为PA，PB，AB能构成三角形，所以PA-PB＜AB＜PA+PB，即4 m＜AB＜28 m. 4.如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
【解析】选B.设第三边的边长是x，则7＜x＜11，所以x=8或9或10.而三角形的周长是奇数，因而x=8或10，满足条件的三角形共有2个.1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
(A)1，1，2 (B)3，4，5
(C)1，4，6 (D)2，3，7
【解析】选B.由1+1=2，1+4＜6，2+3＜7，得A，C，D均不正确，故B正确. 2.(2012·义乌中考)如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)8
【解析】选C.由题意，设第三边为x，则5-3＜x＜5+3，即2＜x＜8，因为第三边长为偶数，所以第三边长是4或6.故选C.3.若三角形的两边长分别为2和4，且周长为奇数，则第三边的长是______.
【解析】根据三角形的三边关系，得第三边长应大于4-2=2，而小于4+2=6.又三角形的两边长分别为2和4，且周长为奇数，所以第三边长应是奇数，则第三边长是3或5.
答案：3或54.已知：在△ABC中，AB=2 cm，AC=5 cm，且BC边的长度为偶数(单位：cm)，则BC边的长为______.
【解析】根据三角形的三边关系，得5-2＜BC＜5+2，即3＜BC＜7.又BC长是偶数，则BC=4 cm或6 cm.
答案：4 cm或6 cm5.如图，有四个村庄(点)A，B，C，D，
要建一所学校O，使OA+OB+OC+OD最小，
画图说明O在哪里，并说出你的理由.【解析】要使OA+OB+OC+OD最小，则点O
是线段AC，BD的交点.
理由如下：如果存在不同于点O的交点P，
连接PA，PB，PC，PD，
那么PA+PC＞AC，即PA+PC＞OA+OC，
同理，PB+PD＞OB+OD，
则PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
即点O是线段AC，BD的交点时，OA+OB+OC+OD最小.课件29张PPT。第3课时 三角形的三种重要线段的概念及特征 线段一点中点一点垂足高线高一点探究：三角形的三条高的关系：
如图，画出锐角三角形、直角
三角形和钝角三角形的三条高.
①锐角三角形的三条高相交于三角形___部的___个点.
②直角三角形的三条高相交于三角形的_________.
③钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形___部的___个点.
【归纳】三角形的三条高所在的直线相交于一点.
【点拨】三角形的角平分线、高、中线都是线段.内一直角顶点外一【预习思考】
三角形的角平分线和角的平分线是一回事吗？
提示：不是.它们均平分一个角，但三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线. 三角形的三种重要线段区分
【例1】(9分)如图，在△ABC中，∠BCA是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示：
(1)∠ABC的角平分线；
(2)AC边上的中线；
(3)AC边上的高. 【规范解答】如图所示：
(1)BE为∠ABC的角平分线，可表示为∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
或∠ABC＝2∠ABE=2∠CBE. ………………………………… 3分特别提醒：△ABC的AC
边上的高在三角形外，不要画在三角形内，注意在垂足处标上垂直符号.(2)BD为AC边上的中线,可表示为AD＝CD＝ AC. …………… 6分
(3)BF为AC边上的高,可表示为BF⊥AC于点F，或∠AFB=90°.
……………………………………………………………………9分【规律总结】
三角形的三种重要线段识别的两点注意
(1)不要混淆：准确把握三角形三种重要线段的概念，弄清三者的区分.
(2)注意数量关系的推理判断：三角形的角平分线可得到两个相等角，三角形的中线可得到两条相等的线段和两个面积相等的三角形,三角形的高可得到垂直关系或直角.【跟踪训练】
1.如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1=∠2=∠3=∠4，AE是哪个三角形的角平分线( )
(A)△ABE (B)△ADF
(C)△ABC (D)△ABC，△ADF【解析】选D.因为∠2=∠3，所以AE是△ADF的角平分线.因为∠1=∠2=∠3=∠4，所以∠1+∠2=∠3+∠4，即∠BAE=∠CAE，所以AE是△ABC的角平分线.2.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分
别为C，D，E，则下列说法不正确的是( )
(A)AC是△ABC的高
(B)DE是△BCD的高
(C)DE是△ABE的高
(D)AD是△ACD的高【解析】选C.选项A的说法符合高的概念，故正确；选项B的说法符合高的概念，故正确；选项C，DE是△BDC，△BDE，△EDC的高，不是△ABE的高，故错误；选项D的说法符合高的概念，故正确.3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形
(C)直角三角形 (D)都有可能
【解析】选C.一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是直角三角形.【变式备选】下列说法正确的是( )
①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部.
(A)①②③ (B)①②
(C)②③ (D)①③
【解析】选B.①②正确；而对于三角形的三条高：锐角三角形的三条高在三角形的内部；直角三角形有两条高在边上，一条在内部；钝角三角形有两条高在外部，一条在内部.故③错误. 三角形中三条重要线段的综合应用
【例2】(7分)已知在△ABC中，∠C＞∠B,
AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，
试说明∠DAE= (∠C-∠B).
【规范解答】因为AD⊥BC,
所以∠BDA=90°,
所以∠BAD=90°-∠B. ……………………………………… 2分又因为AE平分∠BAC,
所以∠BAE= ∠BAC
= (180°-∠B-∠C), ……………………………………… 4分
所以∠DAE=∠BAD-∠BAE
=90°-∠B- (180°-∠B-∠C)
=90°-∠B-90°+ ∠B+ ∠C
= ∠C- ∠B= (∠C-∠B). ……………………………… 7分特别提醒：不要直接在△ADE中求∠DAE. 【互动探究】利用角的和差求∠DAE，还有其他方法吗？
提示：还可以求∠DAE=∠CAE-∠CAD.【规律总结】
三角形的角平分线和高的综合应用的一般思路
先确定欲求角在哪个三角形中，然后由角平分线或高确定角的数量关系，最后由三角形的内角和求出相关角的关系或度数.【跟踪训练】
4.如图，AD，BE都是△ABC的高，则与∠CBE一定相等的角是
( )
(A)∠ABE (B)∠BAD (C)∠DAC (D)∠C
【解析】选C.在△BEC和△ADC中，∠C是公共角，∠ADC=∠BEC =90°，所以∠CBE=∠DAC.5.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=_____.
【解析】因为AE平分∠BAC，所以∠1=∠EAD+∠2，所以∠EAD=∠1-∠2=30°-20°=10°，Rt△ABD中，∠B=90°-∠BAD =90°-30°-10°=50°.
答案：50°1.把三角形的面积分为相等的两部分的是( )
(A)三角形的角平分线
(B)三角形的中线
(C)三角形的高
(D)以上都不对
【解析】选B.三角形的一条中线把三角形分成两个等底同高的三角形，所以把三角形的面积分为相等的两部分的是三角形的中线.2.下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是( )
【解析】选D.线段BE是△ABC的高的图是D.3.如图，在△ABC中，BC边上的高是______；在△ADC中，DC边上的高是______；在△EBC中，EC边上的高是______.
【解析】△ABC是钝角三角形，BC边上的高是AD；△ADC是直角三角形，DC边上的高是直角边AD；△EBC中, EC边上的高是BG.
答案：AD AD BG4.如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，若∠BAC＝
58°，则∠ADE＝______.
【解析】因为AD为△ABC的角平分线，所以∠BAD= ∠BAC=29°.
又因为DE∥AB，所以∠ADE=∠BAD=29°.
答案：29°5.如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B.
(1)试说明CD是△ABC的高；
(2)如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长. 【解析】(1)因为∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B，所以
∠B+∠BCD=90°，所以∠CDB=90°，
所以△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，故CD是△ABC的高.
(2)因为∠ACB=∠CDB=90°，
所以S△ABC = AC·BC= AB·CD.
又因为AC=8，BC=6，AB=10，
所以CD= .课件30张PPT。2 图形的全等1.全等图形.
(1)全等图形的定义：能够_________的两个图形称为全等图形.
(2)全等图形的判别：形状_____，大小_____时，才能称为全等
图形.
【点拨】全等图形的判别只与两个图形的形状和大小有关，与
图形的位置和方向无关.
(3)全等图形的性质：全等图形的_____和_____都相同.完全重合相同相同形状大小2.全等三角形.
(1)定义：能够_________的两个三角形叫做全等三角形.
(2)对应元素：两个三角形全等时，重合的顶点是_______，重
合的边是_______，重合的角是_______.
(3)表示：全等三角形用符号：≌表示，读作：_______.
注意：在表示两个三角形全等时，通常要把对应顶点的_____写
在对应的位置上.
(4)性质：全等三角形的对应边_____，对应角_____，对应边上
的高、中线、角平分线也_____，对应周长、面积也_____.
归纳：全等三角形的一切对应元素都_____.完全重合对应点对应边对应角全等于字母相等相等相等相等相等【预习思考】
面积相等的两个长方形全等吗？
提示：不一定，因为两个长方形的形状不一定相同，如长和宽分别是2,6与3,4的两个长方形面积相等，但不全等. 全等三角形的对应元素
【例1】如图所示，△ABC≌△EDA，∠BAC与∠DEA是对应角，AB与ED是对应边，写出其他对应边及对应角. 【解题探究】(1)确定对应边.
①由△ABC≌△EDA，∠BAC与∠DEA是对应角，
可得一组对应边：即BC与DA.
②由于两个三角形只有3组对应边，且AB与ED是对应边,所以第三组对应边是AC与EA.
(2)确定对应角.由对应边所对的角是对应角得：
∠ABC与∠EDA，∠ACB与∠EAD是对应角.【规律总结】
确定对应角、对应边的方法
1.找对应边的方法.
(1)有公共边的,公共边一定是对应边.
(2)全等三角形对应角所对的边是对应边.
(3)两个对应角所夹的边是对应边.
(4)两个全等的三角形中,一对最长的边是对应边,一对最短的边也是对应边.2.找对应角的方法.
(1)有对顶角或公共角的,对顶角或公共角一定是对应角.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角
(3)两条对应边所夹的角是对应角.
(4)两个全等的三角形中,一对最大的角是对应角,一对最小的角也是对应角.【跟踪训练】
1.如图所示，△ABC≌△CDA，且AB与CD是对应边，那么下列说法错误的是( )(A)∠1与∠2是对应角
(B)∠B与∠D是对应角
(C)BC与AC是对应边
(D)AC与CA是对应边
【解析】选C.因为对应角所对的边是对应边，公共边是对应边，BC与DA是对应边.2.如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，则∠C的对应角为( )
(A)∠F (B)∠AGE
(C)∠AEF (D)∠D
【解析】选A.由△ABC≌△DEF得点C与点F对应，故∠C与∠F是对应角.3.如图，△ABC≌△DCB，其中A和D是对应顶点，AC和DB是对应边，指出其他的对应边和对应角.对应边___________，对应角___________.【解析】因为△ABC≌△DCB，A和D是对应顶点，AC和DB是对应边，所以AB=DC，BC=CB,∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC.
答案：AB与DC，BC与CB
∠A与∠D，∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC 全等三角形的性质及应用
【例2】(8分)如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB的度数.【规范解答】因为△ABC≌△ADE，
所以∠DAE=∠BAC. …………………………………………… 2分
又因为∠EAB=120°，∠CAD=10°，
所以∠BAC= (∠EAB-∠CAD)= (120°-10°)=55°，
所以∠DAB=∠CAD+∠BAC=10°+55°=65°. ……………… 5分
又因为在△ABF中，∠B=25°，
所以∠AFB=180°-∠B-∠BAF=180°-25°-65°=90°，
所以∠DFB=180°-∠AFB=90°. …………………………… 8分【互动探究】上例的求解过程中，运用了哪些知识？
提示：全等三角形的性质、角的和差、三角形内角和、补角的性质等.【规律总结】
全等三角形性质的两点应用
(1)求线段：全等三角形的对应边相等，可以直接确定对应边的数量关系，也可以间接求解相关线段的长度等.
(2)求角：全等三角形的对应角相等，可以直接确定对应角的数量关系，也可以间接求解相关角的大小等.【跟踪训练】
4.如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是( )
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2
【解析】选A.因为△ABC≌△DEF,所以DE=AB.
因为BE=4，AE=1,所以DE=AB=BE+AE=4+1=5.5.如图，△ACB≌△A′CB′，∠B′CB=30°，则∠ACA′的度数为( )
(A)20° (B)30° (C)35° (D)40°
【解析】选B.因为△ACB≌△A′CB′,所以∠ACB=∠A′CB′,即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，所以∠ACA′=∠B′CB.又∠B′CB=30°,所以∠ACA′=30°.6.如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC.其中正确的个数是( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个【解析】选B.因为△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E,所以EF=BC，∠EAF=∠BAC,所以∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC,AC与AE不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB，所以①②错误，③④正确.【变式备选】如图，D,E是△ABC的边AC,
BC上的点，△ADB≌△EDB≌△EDC.下列
结论：①AD=ED；②BC=2AB；③∠1=∠2
=∠3；④∠4=∠5=∠6.其中正确的有
( )
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个【解析】选A.因为△ADB≌△EDB,所以AD=ED，AB=EB，∠1=∠2，∠4=∠5.因为△EDB≌△EDC,所以BE=CE，∠2=∠3，∠5=∠6,所以∠1=∠2=∠3，∠4=∠5=∠6,BC=2BE,又AB=BE，所以BC=2AB.所以4个结论均正确.1.下列四个几何体中，从正面、左面和上面看到的形状图是全等图形的几何体是( )
(A)球 (B)圆柱
(C)三棱柱 (D)圆锥
【解析】选A.球从三个方向看到的图形都是全等圆形，故A符合题意.2.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是( )
(A)72° (B)60° (C)58° (D)50°
【解析】选D.因为图中的两个三角形全等，a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角，所以∠α=50°.3.如图所示，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=3，则EC的长为_____.
【解析】因为△ABE≌△ACF,所以AC=AB=5,所以EC=AC-AE=2.
答案：24.如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=______度.
【解析】因为在△ABC中，∠C=180°-∠B-∠BAC=50°，又因为△ABC≌△ADE，所以∠AED=∠C=50°.
答案：505.如图所示，△ABC≌△DEF，DE对应AB.
请写出其余对应边和对应角.
【解析】因为△ABC≌△DEF,且DE对应AB,所以∠A对应∠D， ∠B对应∠E，∠ACB对应∠DFE，AC对应DF，BC对应EF.课件20张PPT。第1课时1.完成下列问题：
(1)只给出一个条件或两个条件，能否保证所画出的三角形一定
全等？
答：_____.
(2)如果给定三个条件画三角形，共有几种可能？
答：_______、_______、_________和_________,共4种情况.不能三条边三个角两边一角两角一边2.阅读相应的“做一做”,请填空：
(1)已知一个三角形的三个内角所画出的三角形_______全等.
(2)已知三角形的三边长所画的三角形_____全等.
【归纳】①三个内角对应相等的两个三角形________全等.
②三边分别相等的两个三角形全等，简写为：边边边或SSS.
【点拨】SSS是判定两个三角形全等的常用方法之一.不一定一定不一定3.三角形的稳定性
用三根木条钉成一个三角形框架，它的_____和_____是固定不
变的，这个性质叫做三角形的稳定性.大小形状【预习思考】
三角形的稳定性与三角形的判别方法“SSS”之间有何关系？
提示：三角形的稳定性可以用“SSS”来解释，即如果一个三角形的三边长确定，那么这个三角形就惟一确定. 利用“SSS”说明三角形全等
【例】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，则∠A=∠C,请说明理由.
【解题探究】(1)∠A和∠C是有何位置关系的角？能利用平行线的性质说明∠A=∠C吗？
答：不是，故不能利用平行线的性质说明∠A=∠C.(2)如果要利用全等三角形的性质说明∠A=∠C，要使得∠A和∠C分别在两个三角形中，只需连接BD.
(3)在△ABD和△CDB中，已有的条件：AB=CD，AD=CB,则还需一个条件.
(4)BD与△ABD和△CDB有何关系？
答：BD是△ABD和△CDB的公共边，故BD=DB,
综上，由“SSS”可得△ABD≌△CDB，故∠A=∠C.【规律总结】
利用“SSS”解决实际问题时的两点注意
1.添加辅助线：通过添加辅助线将问题转化为两个三角形全等的问题.
2.隐含条件：公共边是常见的隐含条件，在题目已知中一般是不会给出的，一定认真读图分析.【跟踪训练】
1.小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知AB=CD，AD=CB，下列判断不正确的是( )
(A)∠A=∠C (B)∠ABC=∠CDA
(C)∠ABD=∠CDB (D)∠ABD=∠C【解析】选D.连接BD，在△ABD和△CDB中，AB=CD，AD=CB，BD=DB,所以△ABD≌△CDB，所以∠A=∠C，∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，所以∠ABC=∠CDA.故选D.2.如图，△ABC中，AB=AC，EB=EC，则由“SSS”可以判定( )
(A)△ABD≌△ACD (B)△ABE≌△ACE
(C)△BDE≌△CDE (D)以上答案都不对
【解析】选B.因为AB=AC，EB=EC，AE=AE,所以△ABE≌△ACE.3.如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你
再补充一个条件，使△ABC≌△BAD.你补充
的条件是_________(只填一个).
【解析】在△ABC和△BAD中，已知BC=AD，且AB=BA，所以只需再添加条件：AC=BD，可由“SSS”得△ABC≌△BAD.
答案：AC=BD(答案不惟一)1.下列各组条件中能判定△ABC≌△DEF的是( )
(A)AB=DE，BC=EF
(B)∠A=∠D，∠C=∠F
(C)AB=DE,BC=EF,△ABC的周长等于△DEF的周长
(D)∠ A=∠D，∠B=∠ E, ∠C=∠F
【解析】选C.由△ABC的周长等于△DEF的周长且AB=DE,BC=EF，所以AC=DF，故由“SSS”得△ABC≌△DEF.2.如图，AB=CD，AE=DF，CE=BF，∠B=
55°，则∠C的度数是( )
(A)45° (B)55°
(C)35° (D)65°
【解析】选B.因为CE=BF,所以CE-EF=BF-EF,即CF=BE,在△ABE和△DCF中，AB=DC, AE=DF,CF=BE, 所以△ABE≌△DCF,所以∠C=∠B=55°.3.工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常如图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的______性.
【解析】门框钉上斜拉的木条构成三角形，三角形具有稳定性.
答案：稳定4.如图，若AB=AC，AD=AE，则需要____________条件就可根据“SSS”判断△ABE≌△ACD.
【解析】由BD=CE可得BD+DE=CE+DE即BE=CD，得三边对应相等.
答案：BE=CD或BD=CE5.如图所示，在△ABC和△EFD中，AD=FC，AB=FE，BC=ED.说明△ABC≌△FED.【解析】因为AD=FC,所以AD+DC=FC+DC，
BC=ED，
即AC=FD，在△ABC和△FED中，AC=FD，
AB=FE，
∴△ABC≌△FED(SSS).课件20张PPT。第2课时1.已知两角度数及夹边长度，所画得的三角形_____.
即：两角和它们的_____分别相等的两个三角形_____，简写
为：_________或_______.
2.如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
BC=B′C′，试说明△ABC≌△A′B′C′.全等夹边全等“角边角”“ASA”由∠A+∠B+∠C=______，∠A′+∠B′+∠C′=______，
所以∠A+∠B+∠C___∠A′+∠B′+∠C′.
又因为∠A=∠A′，∠B=∠B′，所以∠C=∠____，
又BC=B′C′，
所以由_______得△ABC≌△A′B′C′.
3.由2得：两角分别相等且其中一组等角的_____相等的两个三
角形全等，简写成：“_______”或“____”.
【归纳】在两个三角形中，有两角一边对应相等，则这两个三
角形全等.180°180°ASA对边角角边AAS=C′【预习思考】
对于两个直角三角形，有一边和锐角对应相等，它们全等吗？
提示：全等，其中隐含条件是直角对应相等，故可由“ASA”或
“AAS”得两个三角形全等. “ASA”或“AAS”的综合应用
【例】(2012·宜宾中考)如图，点A，
B，D，E在同一直线上，AD=EB，BC∥
DF，∠C=∠F.求证：AC=EF.【解题探究】(1)欲证AC=EF，只需说明△ABC≌△EDF.
(2)①AD，EB是(1)中两个三角形的对应边吗？
答：不是.
②由AD=EB，可得AD-BD=EB-BD，
故得AB=ED.
(3)由BC∥DF，得∠CBD=∠FDB，进而得∠ABC=∠EDF.
综上，在△ABC和△EDF中，∠C=∠F，∠ABC=∠EDF，AB=ED，
所以△ABC≌△EDF(AAS)，故AC=EF.【规律总结】
说明三角形全等的三类条件
1.直接条件：即已知中直接给出的三角形的对应边或对应角.
2.隐含条件：即已知没有给出，但通过读图很容易得到的条件，如公共边、公共角、对顶角等.
3.间接条件：即已知中所给条件不是三角形的边和角，需要进一步推理.【跟踪训练】
1.如图所示，AB∥CD，点C是BE的中点，
直接应用“ASA”定理证明△ABC≌△DCE
还需要的条件是( )
(A)AB=CD (B)∠ACB=∠E
(C)∠A=∠D (D)AC=DE
【解析】选B.因为点C是BE的中点，所以BC=CE，因为AB∥CD，所以∠B=∠DCE，所以应添加∠ACB=∠E才能直接应用“ASA”得△ABC≌△DCE.2.如图，已知∠A=∠D，∠1=∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是( )
(A)∠E=∠B (B)ED=BC
(C)AB=EF (D)AF=CD
【解析】选D.若AF=CD，则AC=DF.又因为∠A=∠D，∠1=∠2,所以△ABC≌△DEF.3.如图所示，OD=OB，AD∥BC，则全等三
角形有( )
(A)2对 (B)3对
(C)4对 (D)5对
【解析】选C.根据题意AD∥BC得∠ADO=∠CBO，∠DOA=∠BOC，又OD=OB，所以△DOA≌△BOC同理可证△DOC≌△BOA，△DAB≌△BCD，△ACD≌△CAB，所以有4对.【变式备选】如图，点B在∠CAD的平分线上，
请添加一个适当的条件：________________，
使△ABC ≌△ABD(只填一个即可).
【解析】因为点B在∠CAD的平分线上，所以
∠CAB=∠DAB，AB=AB，只需添加一角即可.
答案：∠C=∠D(或∠ABC=∠ABD或∠CBE=∠DBE)(答案不惟一)1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A′，则下列结论中正确的是( )
(A)AC=A′C′ (B)BC=B′C′
(C)AC=B′C′ (D)∠A=∠A′【解析】选C.如图所示，因为∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A′，∴Rt△ABC≌Rt△B′A′C′，所以AC=B′C′(A不正确，C正确)，BC=A′C′(B不正确)，∠A=∠B′(已知已给出，D不正确).2. 如图，某同学将一块三角形玻璃打碎成
了三块，现要到玻璃店去配一块完全一样
的玻璃，那么最省事的办法是( )
(A)带(1)去 (B)带(2)去
(C)带(3)去 (D)带(1)(2)去
【解析】选C.题干中图(3)包含原三角形的两角一边，根据“ASA”可配一块与原三角形玻璃完全一样的玻璃.3.如图，已知∠A=∠D，AB=CD，可得△ABO≌_______，理由是_______.
【解析】在△ABO与△DCO中，∠A=∠D，AB=CD，又∠AOB=∠DOC，所以△ABO≌△DCO(AAS).
答案：△DCO AAS 4.(2012·绥化中考)如图所示，直线
a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正
方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a
于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为
_________.【解析】因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，
∠ABC=∠BAD=90°.
因为BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
所以∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，所以∠FBA=∠EAD.
所以在Rt△AFB和Rt△AED中，因为∠AFB=∠DEA=90°，∠FBA=∠EAD ，AB=DA，所以△AFB≌△DEA(AAS)，
所以AF=DE=8，BF=AE=5，
所以EF=AF+AE=8+5=13.
答案：135.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，
BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD.试说明：AE=FC.
【解析】因为BE∥DF，
所以∠ABE=∠D，在△ABE和△FDC中，
∠ABE=∠D，
AB=FD，
∠A=∠F，
所以△ABE≌△FDC,所以AE=FC.课件20张PPT。第3课时1.已知一个三角形的两边及一角，有几种可能的情况？
答：_________________________________________.
2.已知三角形的两边长及夹角的度数，所画的三角形_____全
等；而已知三角形的两边及其中一边的对角，所画的三角形
_______全等.
【归纳】全等三角形的第四判别方法：两边及其夹角分别相等
的两个三角形_____，简写成：“_______”或“_____”.
【点拨】运用SAS判别两个三角形全等时，其中角必为夹角.两种，即两边及夹角和两边及其中一边的对角一定不一定全等边角边SAS【预习思考】
有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等吗？
提示：不一定，只有当这一角为两边的夹角时，两个三角形才全等. SAS的综合应用
【例】(6分)(2012·铜仁中考)如图，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF.说明：△ADE≌△CBF.【规范解答】因为AE∥CF，
所以∠AED=∠CFB，
…………………………2分
因为DF=BE，
所以DF+EF=BE+EF，
即DE=BF，…………… 4分
在△ADE和△CBF中，
AE=CF，∠AED=∠CFB ，DE=BF，
所以△ADE≌△CBF(SAS). ……………………6分特别提醒：BE和DF不是△ADE与△CBF中的对应边. 【互动探究】上例条件不变，你能证明△ABE≌△CDF吗？
提示：能.因为AE∥CF，所以∠AED=∠CFB，
所以∠AEB=∠CFD，
又AE=CF,BE =DF,故△ABE≌△CDF(SAS).【规律总结】
由已知说明两三角形全等的一般思路
(1)若已知两边→
(2)若已知一边一角→
边为角的对边→ 找任一角→ AAS
? 找角的另一邻边→ SAS
边为角的邻边→ 找边的另一邻角→ ASA
找边的对角→ AAS
(3)若已知两角→ 找夹角→ SAS
找第三边→ SSS找夹边→ ASA
找任一角的对边→ AAS【跟踪训练】
1.如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据“SAS”判定△ABC≌△DEF，还需的条件是( )
(A)∠A=∠D (B)∠B=∠E (C)∠C=∠F (D)以上三个均可以
【解析】选Ｂ.再添加条件∠B=∠E，正好能用“SAS”判定△ABC≌△DEF.2.如图，已知∠1=∠2，则不一定能使
△ABD≌△ACD的条件是( )
(A)AB=AC
(B)BD=CD
(C)∠B=∠C
(D)∠BDA=∠CDA【解析】选B .A、因为∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD(SAS)，故本选项正确，不合题意；B、因为∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD，故本选项错误，符合题意；C、因为∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD(AAS)，故本选项正确，不合题意；D、因为∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD(ASA)，故本选项正确，不合题意.3.如图所示，正方形ABCD中，点E在BC上，
点F在DC上，请添加一个条件:_________，
使△ABE≌△BCF(只添加一个条件即可).
【解析】若用“SAS”则需添加BE=CF或
CE=DF，若用“AAS”则需添加∠BAE=∠CBF或∠AEB=∠BFC或BF⊥AE.
答案：BE=CF(答案不惟一) 【变式备选】如图，已知等边△ABC中，BD=CE，
AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为( )
(A)45° (B)60°
(C)55° (D)75°
【解析】选B.等边△ABC中，有∠ABC=∠C=60°，AB=BC，BD=CE，所以△ABD≌△BCE，所以∠BAD=∠CBE，所以∠APE= ∠BAD+∠ABP=∠ABP+∠PBD=∠ABD=60°.1.如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是( )
【解析】选B.由三角形内角和是180°得∠C=58°，即△ABC中，长为a，b的两边的夹角是58°，由“SAS”得B正确.2.如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是( )
(A)BD=DC，AB=AC
(B)∠ADB=∠ADC，BD=DC
(C)∠B=∠C，∠BAD=∠CAD
(D)∠B=∠C，BD=DC【解析】选D.因为AD=AD，当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，A正确；当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，B正确；当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，C正确；当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，D错误.3.如图,∠1=∠2.
(1)当BC=BD时,△ABC≌△ABD的依据
是_________;
(2)当∠3=∠4时,△ABC≌△ABD的依
据是_________.
【解析】由题干图可知AB=AB，若BC=BD，可利用“SAS”得△ABC≌△ABD；若∠3=∠4，可利用“ASA”得△ABC≌△ABD.
答案：(1)SAS (2)ASA4.如图，F，C在线段BE上，且∠1=∠2,BF=EC,若要根据“SAS”使△ABC≌△DEF，还需要补充的条件是__________.
【解析】夹着∠2，∠1的两个三角形的边分别是BC，CA，EF，FD，由于BF=CE，所以BC=EF，若用“SAS”判断△ABC≌△DEF，则还需补充CA=FD.
答案：CA=FD5.如图，AC=AD，∠BAC=∠BAD，点E在AB上.
(1)能找出_____对全等的三角形；
(2)请写出一对全等三角形，并说明理由.
【解析】(1)3
(2)答案不惟一,△ABC≌△ABD.
AC=AD，
理由如下：在△ABC和△ABD中, ∠BAC=∠BAD，
AB=AB，
所以△ABC≌△ABD(SAS).课件30张PPT。4 用尺规作三角形1.尺规作图的工具：___________.
2.作三角形用到的基本作图：(1)作一个角等于_______；(2)作
一条线段等于_________.圆规和直尺已知角已知线段3.尺规作三角形的类型
【点拨】尺规作图要注意保留_________.SAS ASA SSS 作图痕迹【预习思考】
利用尺规作一个三角形与已知三角形全等的关键是什么？
提示：确定三角形的三个顶点，作图中该顶点可能是两条射线的交点，也可能是两条弧的交点. 已知边角，用尺规作三角形
【例1】已知：线段a和∠α,如图,求作△ABC,使BC=a, ∠ABC=∠ACB=∠α.【解题探究】(1)本题求作的实质是已知两角及夹边作三角形.
(2)作图思路：先作夹边确定△ABC的两个顶点，然后以这两个顶点分别作两角，确定第三个顶点.
(3)作法及作图：①作线段BC=a;
②在线段a 的同侧,作∠CBM =∠α,∠BCN=∠α;
③BM 和CN 交于点A ,△ABC 即为所求作的三角形.
如图：【规律总结】
尺规作三角形的四步骤
(1)分析已知，确定求作类型.
(2)确定作图思路.
(3)书写作法：依次叙述作图过程.
(4)作图.【跟踪训练】
1.利用基本作图不可作的等腰三角形是( )
(A)已知底边及底边上的高
(B)已知底边及顶角
(C)已知底边上的高及腰
(D)已知两底角【解析】选D.已知底边和底边上的高，可以判定两个三角形全等，所以A可作；已知底边和顶角，AAS或ASA能判定两个三角形全等，所以B可作；已知底边上的高及腰，可以判定两个三角形全等，所以C可作；已知两底角，AAA不能判定两个三角形全等，所以D不可作.2. 根据下列已知条件，能画出惟一的△ABC的是( )
(A)AB=3 cm，BC=7 cm，AC=4 cm
(B)AB=3 cm，BC=7 cm，∠C=40°
(C)∠A=30°，AB=3 cm，∠B=100°
(D)∠A=30°，∠B=100°，∠C=50°【解析】选C.A，虽然是边边边，但是三角形的一边的长等于另两边的和，因此构不成三角形，故不能；B，已知的是AB和BC，如果按全等三角形的判定依据，只有知道∠B的值才能确定全等，故不能；C，符合全等三角形的ASA，故能作出惟一的三角形；D，知道3个角的度数，不能得到全等，故不能作出三角形.3.如图所示，小敏做《同步练习》中的试题
时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了
一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样
的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是( )
(A)SSS (B)SAS (C)ASA (D)AAS
【解析】选C.图中的三角形已知一条边以及两个角，则她作图的依据是ASA. 尺规作图
【例2】(6分)已知：线段a： ，
求作：△ABC，使AB=2a,BC=3a,AC=4a.
【规范解答】(1)作线段AC=4a.
…………………………………2分
(2)分别以点C，A为圆心，以3a，
2a为半径画弧，两弧交于点B.
…………………………………4分特别提醒：在以点C为圆心画弧找B点时，由于CB的方向未确定，所以不能以a为半径画三次得到. (3)连接AB，CB，所以△ABC就是所求作的三角形.
………………………………… 6分【规律总结】
尺规作图的基本思路
(1)已知：将条件具体化.
(2)求作：具体叙述所作图形应满足的条件.
(3)作法：依次叙述作图过程.
(4)说明：为了验证作图的正确性,作完图后根据已知的定义、定理,并结合作法说明所作的图形完全符合题设条件,一般不需要说明.【跟踪训练】
4.用尺规作图，下列条件中可能作出两个不同的三角形的是( )
(A)已知三边
(B)已知两角及夹边
(C)已知两边及夹角
(D)已知两边及其中一边的对角
【解析】选D.A，B，C分别符合全等三角形的判定SSS，ASA，SAS，故能作出惟一三角形；D、可能作出两个不同的三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形.5.利用尺规作图，在下列条件中不能作出惟一直角三角形的是
( )
(A)已知两个锐角
(B)已知一直角边和一个锐角
(C)已知两条直角边
(D)已知一个锐角和斜边【解析】选A.A，因为已知两个锐角，而边长不确定，故这样的三角形可作很多，而不是惟一的；B,符合全等三角形的判定AAS或ASA，能作出惟一直角三角形；C,符合全等三角形的判定SAS，能作出惟一直角三角形；D,符合全等三角形的判定AAS，能作出惟一直角三角形.6.已知一条线段a，作等边三角形，使其边长等于已知线段a，则作图的依据是_______.
【解析】等边三角形三边相等，依题意得使其边长等于已知线段，则按全等三角形的判定定理(SSS)可得作图.
答案：SSS1.如图所示，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出( )
(A)2个 (B)4个 (C)6个 (D)8个【解析】选B.如图：
这样的三角形最多可以画出4个.2.用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是( )
(A)作一个角等于已知角
(B)作已知直线的垂线
(C)作一条线段等于已知线段
(D)作角的平分线
【解析】选C.根据三边作三角形用到的基本作图是作一条线段等于已知线段.3.如图，使用直尺作图，看图填空：
(1)过点______和______作直线AB；
(2)连接______；
(3)以点______为端点,过点______作射线______；
(4)延长线段______到______，使BC=2AB.【解析】(1)过点A和B作直线AB;
(2)连接A，B;
(3)以点O为端点,过点A作射线OA;
(4)延长线段AB到C,使BC=2AB.
答案：(1)A B (2)A，B (3)O A OA (4)AB C4.数学活动课上，老师拿了一个三角形硬纸板(△ABC)，让每位同学制作一个大小相同的模型，小明测量了三个角∠A，∠B，∠C的大小，小丽测量了三角形的三条边AB，BC，AC的长度，小亮测量了AB，BC的长度和∠C的大小，然后都各自按照自己的测量数据作出相应的三角形，这三位同学谁能作出符合要求的图形.________(填他们的名字).【解析】因为“AAA”“SSA”不能判断三角形全等，所以小明、小亮作的三角形可能不符合要求，而小丽用的是“SSS”，可以判断三角形全等，所以只有小丽作的三角形符合要求.
答案：小丽5.已知：如图，线段a和h.
求作：△ABC,使AB=AC，BC=a，且
BC边上的高AD=h.
结论：【解析】如图所示：
结论：△ABC即为所求.课件26张PPT。5 利用三角形全等测距离 1.阅读相关内容完成下列问题：
(1)在引例中，“保持刚才的姿态”你是怎样理解的？
答：___________________.
(2)直立的姿态从而保证了两个三角形中的两个_____；帽檐不
动，保证了视线和身体的_____不变.
(3)要说明图中两个三角形全等，已知两角，则还差一边，即
_________.
(4)测量的原理是：构造了_______________.直立姿态和帽檐不动直角夹角身高不变两个全等三角形2.“想一想”中的测量方法是根据____构造△ABC和△DEC全
等，进而得___=AB.SASDE【归纳】(1)利用三角形的全等测距离的根据：全等三角形的对
应边_____.
(2)利用三角形的全等测距离的方法：转化法,即把不能直接测
量或无法测量的线段转化为容易测量的线段.相等【预习思考】
利用三角形全等测距离的实质是什么？
提示：其实质为构造三角形全等，根据全等三角形对应边相等，将不可测的线段的长度，转化为可测线段长度. 利用全等三角形测距离
【例】(8分)如图,小勇要测量家门前
河中浅滩B到对岸A的距离，他先在岸
边定出C点，使C，A，B在同一直线上，
再沿AC的垂直方向在岸边画线段CD，取
它的中点O，又画DF⊥CD，观测得到E，O，B在同一直线上，且F，O，A也在同一直线上，那么EF的长就是浅滩B到对岸A的距离，你能说出这是为什么吗？【规范解答】因为DF⊥CD，AC⊥CD,所以∠D=∠C=90°.……2分
又因为OC=OD，∠COA=∠DOF，
所以△AOC ≌△FOD(ASA),
所以∠A=∠F,OA=OF. ……………………………………… 4分
又因为∠AOB=∠FOE，
所以△AOB≌△FOE(ASA), ………………………………… 6分
所以AB=EF，
所以EF的长就是浅滩B到对岸A的距离. …………………… 8分【互动探究】对于上例，除上述解法外还有没有其他解法？
提示：有，先证△AOC≌△FOD，得AC=DF，后证△BOC≌△EOD，得BC=DE，最后由AC-BC=DF-DE，得AB=EF.【规律总结】
利用三角形全等测距离的四个步骤
(1)先定方法：即确定根据哪一判别方法构造三角形全等.
(2)画草图：根据实际问题画出草图.
(3)结合图形和题意确定已知条件.
(4)证明说理.【跟踪训练】
1.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( )
(A)大于100 m (B)等于100 m
(C)小于100 m (D)无法确定
【解析】选B.因为AC=DB，AO=DO，所以OB=OC，又∠AOB= ∠DOC，所以△AOB≌△DOC，所以AB=CD=100 m.2.如图，设在一个宽度为w的小巷内，一个梯子长为a，梯子的底端位于A点，将梯子的顶端放在一堵墙上Q点时，Q点离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为45°；将该梯子的顶端放在另一堵墙上R点时，R点离开地面的高度为h，且此时梯子倾斜角为75°，则小巷宽度w =( )
(A)H (B)k (C)a (D)【解析】选A.连接QR，过Q作QD⊥PR，所以∠AQD=45°，因为∠QAR=180°-75°-45°=60°，且AQ=AR，
所以△AQR为等边三角形，即AQ=QR，因为∠AQD=45°，所以∠RQD=15°=∠ARP，∠QRD=75°=∠RAP，
所以△DQR≌△PRA(ASA)，所以QD=RP，即w=h.3.如图所示，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB=9 cm，则容器的内径A′B′为
( )
(A)8 cm (B)9 cm (C)10 cm (D)11 cm
【解析】选B.由题意知：OA=OA′，
∠AOB=∠A′OB′，OB=OB′，
所以△AOB≌△A′OB′，所以A′B′=AB=9 cm.4.我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.△AED≌△AFD的理由是( )
(A)SAS (B)ASA (C)SSS (D)AAS【解析】选C.理由如下：因为E，F为定点，所以AE=AF，又因为AD=AD，ED=FD，所以在△AED和△AFD中，AE=AF ，AD=AD， DE=DF，所以△AED≌△AFD(SSS).1.如图所示，为了测量水池两边A，B间的
距离，可以先过点A作射线AE，再过B点作
BD⊥AE于点D，在AD延长线上截取DC=AD，
连接BC，则BC的长就是A，B间的距离，
以此来判断△ABD≌△CBD的理由是( )
(A)SSS (B)SAS (C)ASA (D)AAS【解析】选B.因为BD⊥AE，
所以∠ADB=∠CDB=90°.
AD=CD，
在△ABD与△CBD中，∠ADB=∠CDB，
BD=BD，
所以△ABD≌△CBD(SAS)，故选B.2.把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5 cm和3 cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为( )
(A)4 cm (B)6 cm (C)8 cm (D)求不出来【解析】选C.因为∠CEA=∠ADB=∠CAB=90°，
所以∠ECA+∠EAC=∠EAC+∠DAB=∠DAB+∠DBA=90°，∠ECA=∠DAB，∠EAC=∠DBA，
又AC=AB，所以△AEC ≌△BDA，
所以AE=BD，AD=CE，所以DE=AE+AD=BD+CE=3+5=8 (cm).3.如图所示，△ABC≌△DEF，AD=10 cm，BE=6 cm，则AE的长为______cm.
【解析】因为△ABC ≌△DEF，所以AB=DE，所以AE=AD-DE=AD-AB=BD，
所以AE=(10-6)÷2=2(cm).
答案：24.如图所示，要测量河岸相对的两点A,B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，使A,C与E在同一直线上，那么测得A,B的距离为_______.【解析】因为先从B处出发与AB成90°角方向，所以∠ABC=90°，因为BC=50米，CD=50米，∠EDC=90°，所以△ABC≌△EDC，所以AB=ED，
因为沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17米，所以AB=17米.
答案：17米5.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.【解析】因为AB∥CD,所以∠B=∠C.
在△BME和△CMF中，
∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF，
所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF.
故只要测量CF即可得B，E之间的距离.课件41张PPT。第三章 单元复习课一、三角形的相关概念
1.三角形的定义：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三条线段叫做三角形的边，公共的端点叫做三角形的顶点，两边所形成的夹角叫做三角形的内角.三角形用符号“△”及顶点字母表示.2.与三角形有关的线段：
三角形的高线、中线、角平分线：
(1)三线都经过顶点.
(2)都是线段.
(3)除直角三角形的两条高线在三角形的两条直角边上,钝角三角形的两条高线在三角形外部,其他各线均在三角形内.
(4)锐角三角形的高交于三角形内部一点，直角三角形的高交于三角形的直角顶点，钝角三角形的高的延长线交于三角形外部一点.(5)三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的小三角形.
(6)根据面积法可得，三角形的各边与这边上的高的乘积相等.
3.三角形的分类：
(1)按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
(2)按边分类：
4.全等三角形的定义：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 没有相等边的三角形
等腰三角形等边三角形
底与腰不相等的等腰三角形 三角形二、三角形的相关性质和判定
1.三角形的性质：
(1)三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状大小就都确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
(2)三角形三边之间的性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
2.三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°.3.三角形外角性质：
(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角.
4.全等三角形：
(1)全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的中线、高线，对应角的角平分线分别相等；全等三角形的周长、面积分别相等.
全等三角形的性质是证明线段、角相等的重要依据.(2)全等三角形的判定方法：
注：有两边及其中一边的对角对应相等和三个角对应相等的两个三角形不一定全等.(3)证明两个三角形全等时要认真分析条件和图形结构，理清已知与未知之间的内在联系，从而选择恰当的方法，一般的思路有：已知两边已知一角一边找角的另一邻边→SAS
找夹边的另一角→ASA
找边的对角→AAS找夹角→SAS
找第三边→SSS边为角的对边→找任一角→AAS已知两角找夹边→ASA
找两角中任一角的对边→AAS边为角的邻边(4)以后将会学到的平移、旋转、翻折都是全等变换.在学习的过程中，对两个三角形进行不同的组合变换，拼成不同的图形，在复杂的图形当中，学会对图形进行分离、整合，准确找出全等三角形的对应元素.
理解并熟记全等三角形中经常出现的图形结构，充分挖掘其中的隐含条件，如图.①平移型：
②旋转型：③翻折型：④组合型：三、全等三角形的应用
1.全等三角形的应用主要体现在证明线段或角的相等问题中，在实际问题中，往往构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解决测量(不能直接度量长度)问题、三角形物体复原问题等.
2.涉及实际问题中的测量方案设计问题时，要考虑测量工具及条件的局限性，叙述测量方案时要严谨,有条理. 三角形的边角关系
【相关链接】
三角形的性质分为边的性质与内角的性质
1.三边关系：任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
2.内角关系：三角形内角和是180°.【例1】(2012·海南中考)一个三角形的两边长分别为3 cm和7
cm，则此三角形的第三边的长可能是( )
(A)3 cm (B)4 cm (C)7 cm (D)11 cm
【思路点拨】
【自主解答】选C.设第三边长为x cm，则由三角形三边关系定
理得7-3＜x＜7+3，即4＜x＜10.因此，本题的第三边应满足4＜
x＜10，把各项代入不等式符合的即为答案.3，4，11都不符合
不等式4＜x＜10，只有7符合，故选C.三边关系第三边取值范围查找答案 全等三角形的判别
【相关链接】
三角形全等的4种判别方法：SSS、SAS、ASA、AAS，说明三角形全等的三类条件：直接条件、隐含条件、间接条件.【例2】 (2011·乌鲁木齐中考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.
说明△BEC ≌△CDA.【思路点拨】【自主解答】因为BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，
所以∠BEC=∠CDA=90°，
在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°，
在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°，
所以∠CBE=∠ACD，
在△BEC和△CDA中，∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，所以△BEC ≌△CDA. 全等三角形的应用
【相关链接】
全等三角形是说明线段或角相等的重要方法之一,用全等三角形解题的关键是确定或构造两个三角形全等,全等三角形的周长和面积相等也是中考考查的内容.【例3】(2012·北京中考)已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD.
求证：BC=DE.【教你解题】【命题揭秘】
三角形在中考中是重要考查点之一，对于三角形的性质和相关概念，只进行一般性考查，题目比较简单，题型多为选择或填空；三角形全等及其应用是中考的命题热点，重点考查全等三角形的判别，命题方式比较广泛，在解答题目中更为常见.1.△ABC的内角和为( )
(A)180° (B)360°
(C)540° (D)720°
【解析】选A.根据三角形的内角和为180°，得△ABC的内角和为180°.故A正确.2.(2012·郴州中考)以下列各组线段为边，能组成三角形的是
( )
(A)1 cm,2 cm,4 cm (B)4 cm,6 cm,8 cm
(C)5 cm,6 cm,12 cm (D)2 cm,3 cm,5 cm
【解析】选B.A选项，1+2＜4,故不能构成三角形；B选项，4+6＞8,故能构成三角形；C选项，5+6＜12，故不能构成三角形；D选项，2+3=5，故也不能组成三角形.3.(2012·聊城中考)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠a的度数是( )
(A)75° (B)90° (C)105° (D)120°
【解析】选C.∠a的度数为180°-45°-30°=105°.4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于_____度.
【解析】因为∠A+∠E+∠C=180°，∠D+∠B+∠F=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
答案：3605. (2012·泰州中考)如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是______.
【解析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，因为∠C=90°，所以∠ACD=∠AED，又AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠EAD，又AD=AD，所以△ACD≌△AED(AAS)，所以DE=CD=4，即点D到AB的距离为4.
答案：46.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论：
①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；
④△MCD≌△NBD中，正确的是_______.【解析】因为∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，
所以△AEB≌△AFC，所以BE=CF(②正确)；
因为△AEB≌△AFC，所以∠EAB=∠FAC，所以∠1=∠2(①正确)；
因为△AEB≌△AFC，所以AB=AC，∠B=∠C，
因为∠BAM=∠CAN，所以△ACN≌△ABM(③正确)；
所以AM=AN.因为AB=AC，所以BN=CM.因为∠B=∠C，∠MDC=∠NDB, 所以△MCD ≌△NBD(④正确).
答案：①②③④7.(2012·广州中考)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：BE=CD.【证明】在△ABE和△ACD中,
∠A=∠A
AB=AC
∠B=∠C,
∴△ABE≌△ACD，
所以BE=CD.8.如图，在四边形ABCD中，
AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，
BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC=AD.
(2)AB=BC+AD.【证明】(1)因为E是CD的中点，
所以DE=CE.因为AD∥BC，
所以∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE.
所以△ADE≌△FCE(AAS).
所以FC=AD.(2)因为△ADE≌△FCE，
所以AE=FE.
又因为BE⊥AE，
所以∠BEA=∠BEF=90°，
又因为BE=BE，
所以△BEA≌△BEF(SAS).所以AB=FB.
因为FB=BC+FC=BC+AD.
所以AB=BC+AD.9.如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE,CE平分∠BCD，CD=CE.
(1)试说明△ACD≌△BCE.
(2)若∠D=50°，求∠B的度数.【解析】(1)因为点C是线段AB的中点，
所以AC=BC，又因为CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，
所以∠1=∠2，∠2=∠3，
所以∠1=∠3.
CD=CE，
在△ACD和△BCE中，∠1=∠3,
AC=BC,
所以△ACD≌△BCE(SAS).(2)因为∠1+∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2=∠3=60°，
因为△ACD≌△BCE，所以∠E=∠D=50°，
所以∠B=180°-∠E-∠3=70°.
