课件28张PPT。1 轴对称现象
2 探索轴对称的性质 1.你能分清轴对称与轴对称图形的区别吗？
答：(1)轴对称图形：把_____平面图形沿一条直线折叠后,直线
两旁的部分能够_________的图形.
(2)轴对称：对于_____平面图形，如果沿一条直线对折后能够
_________,那么称这两个图形成轴对称.
2.轴对称的性质.
(1)对应线段_____,对应角_____.
(2)对应点所连的线段被对称轴_________.一个互相重合两个完全重合相等相等垂直平分【预习思考】
怎样判断一个图形是否为轴对称图形？
提示：判断一个图形是否为轴对称图形，关键是看能否找到一条直线将这个图形分为两部分，并将这两部分沿着这条直线对折后可以完全重合. 轴对称与轴对称图形
【例1】(2012·宁波中考)下列交通标志图案是轴对称图形的是
( )【解题探究】(1)利用轴对称图形的概念对选项A进行折叠能否找到一条对称轴？
答：不能找到对称轴.
(2)利用轴对称图形的概念对选项B进行折叠能否找到一条对称轴？
答：B选项有一条对称轴.
(3)利用轴对称图形的概念对选项C进行折叠能否找到一条对称轴？
答：不能找到对称轴.(4)利用轴对称图形的概念对选项D进行折叠能否找到一条对称轴？
答：不能找到对称轴.
(5)以上4个选项中是轴对称图形的是哪一项？
答：是B选项.【互动探究】轴对称图形需具备哪三个要素?
提示：一个平面图形、一条直线、沿着这条直线对折后两部分完全重合.【规律总结】
轴对称图形与轴对称的区别与联系 区
别基本
图形图形
个数一个图形两个图形对称
轴的
条数可以有一条或多条仅有一条联
系 对应点所连的线段都被其相应的对称轴垂直平分把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是轴对称
图形,把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这
两个图形关于这条轴对称.【跟踪训练】
1.(2012·重庆中考)下列图形中是轴对称图形的是( )
【解析】选Ｂ.根据轴对称图形的定义可知，选项Ｂ中的图形能找到一条直线,沿该直线折叠,直线两边的图案能完全重合,是轴对称图形.2.动画片“喜羊羊和灰太狼”深受青少年儿童的喜爱,在“喜羊羊和灰太狼”这七个字中是轴对称图形的是( )
(A)喜羊 (B)灰太狼 (C)喜羊太 (D)羊灰
【解析】选A.“喜”“羊”是轴对称图形.3.如图所示，图案(1)至(10)都是对称图形吗？指出其中的轴对称图形和成轴对称的图案.
【解析】都是对称图形.其中轴对称图形有(1),(3),(4),(6),
(8),(10)；成轴对称的图案有(2),(5),(7),(9). 轴对称的性质
【例2】(7分)已知△ABC, △ADE 是轴对称图形,它们的对称轴分别是线段AD和线段AC所在的直线,且∠D=35°,求∠C 的度数.【规范解答】因为△ABC,△ADE 是轴对称图形, △ABC 的对称轴为线段AD所在的直线, ………………………………………2分
所以AD⊥BC,同理可得AC⊥DE. ……………………………… 4分
在Rt△DFH 和Rt△CGH中,
因为∠DFH=∠CGH, ∠DHF=∠CHG,所以∠C=∠D,又因为∠D=35°,所以∠C=35°. …………………………………………………7分【互动探究】利用轴对称的性质解决问题需要注意什么？
提示：1.找准图形的对称轴.
2.分清对称图形的对应点与对应线段.【规律总结】
轴对称的性质“对应点所连的线段被对称轴垂直平分”包含的两层含义
一是对应点在对称轴的同一条垂线上;
二是对应点到对称轴的距离相等.【跟踪训练】
4.如图,将正方形纸片ABCD折叠，使边AB,CB均落在对角线BD上，得折痕BE,BF，则∠EBF的大小为( )
(A)15° (B)30° (C)45° (D)60°
【解析】选C，根据折叠后，轴对称的性质，∠ABE=∠EBD=
∠DBF=∠FBC=22.5°，所以∠EBF=45°.5.如图所示，将一个正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去一个三角形和一个形如“1”的图形，将纸片展开，得到的图形是( )【解析】选D，根据折叠和轴对称的性质，从折叠的方向和剪去一个三角形的位置看，放开后是位于中间的正方形，故要在B，D两项中选择；从剪去的形如“1”的图形方向看箭头朝内.6.如图，长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F
处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE=______.
【解析】因为在长方形ABCD中，∠BAD=90°,又∠BAF=60°，所
以∠FAD=90°-60°=30°，因为△ADE和△AFE关于AE对称，所
以∠DAE=∠FAE= ∠FAD=15°.
答案： 15° 1.如下书写的四个汉字,其中为轴对称图形的是( )
【解析】选B.A,C,D没有对称轴,B是左右对称,有一条对称轴,故选B.2.(2012·嘉兴中考)下列图案中,属于轴对称图形的是( )
【解析】选A.如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形. 根据轴对称图形的定义可知选项A中的图形为轴对称图形. 3.如图，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称，则∠B为______.
【解析】由轴对称的性质可得∠A1=∠A=50°， ∠C=∠C1=
30°,所以∠B=∠B1=180°-50°-30°=100°.
答案：100°4.如图(1)、图(2)都是轴对称图形，图(1)有____条对称轴，图(2)有____条对称轴.
【解析】观察可得图(1)有2条对称轴，图(2)有2条对称轴.
答案：2 25.下面两个轴对称图形分别只画出了一半，请画出它们的另一半(直线L为对称轴).【解析】 课件30张PPT。第1课时 1.探究：分别在等腰三角形纸片上折出顶角平分线、底边上的
中线、底边上的高线，观察折痕两旁的部分能否重合？你还发
现了什么？
答：(1)等腰三角形___轴对称图形.
(2)三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边
上的高重合,它们所在的直线都是等腰三角形的_______.
(3)等腰三角形的两个_____相等.是对称轴底角2.等边三角形是轴对称图形吗?它还有什么性质？
答：___________________________________________________
________________.
3.线段是轴对称图形吗？它有几条对称轴？
答：___________________________________________________
___________________________. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，等边三角形
的三个角都是60° 线段是轴对称图形,它有两条对称轴,一条是线段所在的直
线,一条是线段的垂直平分线【预习思考】
等边三角形与等腰三角形有什么关系？
提示：等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形包含等边三角形，等边三角形属于等腰三角形，是特殊和一般的关系.
一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
等边一定等腰，等腰不一定等边. 等腰三角形的性质
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC,D点在BC上，且BD＝AD，DC＝AC.将图中的等腰三角形全都写出来，并求∠B的度数.【解题探究】(1)图中有几个等腰三角形，判断的理由是什么？
答：有三个等腰三角形，因为AB＝AC，BD＝AD，DC＝AC，由两边相等的三角形是等腰三角形可得△ABC, △ADB, △ACD为等腰三角形.
(2)图中有哪几对角相等？判断的理由是什么？
答：∠B=∠C，∠B=∠BAD，∠DAC=∠ADC，
理由是等腰三角形的两底角相等.(3)∠DAC(∠ADC)与∠B的关系是什么？
答：因为∠ADC=∠B+∠BAD，又因为∠B=∠BAD，所以∠DAC(∠ADC)=2∠B.
(4)在△ABC中你怎样得到∠B的度数？
答：在△ABC中，因为∠B+∠C+∠BAD+∠DAC=180°,所以5∠B=180°，所以∠B=36°.【互动探究】1.等腰三角形中求角的度数问题的一般方法是什么？
提示：等腰三角形中求角的度数，经常应用等腰三角形两底角相等且内角和为180°两个基本定理，由此列方程或进行角的代换，便可得解.
2.等腰三角形中求角的度数需要注意什么问题？
提示：等腰三角形中求角的度数一定要分清已知与要求的角是顶角还是底角，若条件不明确一定要应用分类讨论的思想求解所有可能的结果.【规律总结】
识别等腰三角形的常用方法
(1)寻找三角形是否有两边相等.
(2)寻找三角形是否有两角相等. 【跟踪训练】
1.等腰三角形的对称轴是( )
(A)顶角的平分线 (B)底边上的高
(C)底边上的中线 (D)底边上的高所在的直线
【解析】选D.等腰三角形的对称轴是顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线.2.等腰三角形两边的长分别为2 cm和5 cm，则这个三角形的周长是( )
(A)9 cm (B)12 cm
(C)9 cm和12 cm (D)在9 cm与12 cm之间
【解析】选B.等腰三角形的腰若是2 cm，则此三边构不成三角形，等腰三角形的腰若是5 cm，则周长为12 cm.3.一个等腰三角形的顶角为50°，则底角为______.
【解析】等腰三角形的两底角相等，又因为等腰三角形的顶角为50°，所以底角为(180°－50°)÷2=65°.
答案：65° 线段的垂直平分线
【例2】(5分)小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图①);再次折叠该三角形纸片,使点A和D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图②).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗? 请说明理由.【规范解答】同意.如图,设AD与EF相交于点G.
……………………………………………………………………1分
由折叠知, ∠AGE=∠AGF =90° ,EG=FG, ……………………3分
因此AD 垂直平分EF,所以AE=AF,
即△AEF 为等腰三角形. ………………………………………5分【互动探究】线段垂直平分线与等腰三角形的联系是什么？
提示：线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以有线段垂直平分线就有等腰三角形的产生，我们在解决问题时可综合利用线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质.【规律总结】
线段的轴对称性
线段是轴对称图形，它可以沿着自身折叠完全重合，即线段自身所在的直线是线段的一条对称轴.这样线段有两条对称轴，一条是线段的垂直平分线，一条是它自身所在的直线.【跟踪训练】
4.在△ABC中，BC=10，BD=8，DE⊥BC，E为BC的中点，则△BCD的周长是( )
(A)26 (B)18 (C)16 (D)28
【解析】选A，因为DE⊥BC，E为BC的中点，所以DE是线段BC的垂直平分线，所以BD=DC=8,所以△BCD的周长为10+8+8=26.5.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为
半径画弧，两弧相交于点M,N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.
若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为( )
(A)7 (B)14 (C)17 (D)20【解析】选C.由题意中的作图步骤可知直线MN是线段AB的垂直平分线，所以AD=BD，所以△ABC的周长为AC+CD+BD+AB= AC+CD+AD+AB=10+7=17.6.如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，已知△BCE的周长是8，且AC-BC=2，求AB，BC的长.【解析】∵DE⊥AB,AD=BD,
∴AE=BE,
∴△BCE的周长=BC+CE+BE
=BC+CE+AE=BC+AC=8.
又∵AC-BC=2，
∴AC=5，BC=3，
又∵AB=AC，∴AB=5.1.对于下列判断：(1)关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；(2)等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；(3)一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点；(4)两个三角形全等，它们关于某直线成轴对称.其中正确的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】选B.(1)关于某一直线成轴对称的两个三角形全等，正确；(2)等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，故错误；(3)一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的垂线的对称点，故错误；(4)两个三角形全等，它们不一定成轴对称，故错误.2.等腰三角形有一个内角是40°，则它的一个底角是( )
(A)40° (B)70°
(C)40°或70° (D)70°或70°
【解析】选C.由等腰三角形的两底角相等得若一个底角为40°，则另一个底角也为40°,若顶角为40°,则底角为70°.3.如图，在Rt△ABC中，∠B为直角，DE是AC的垂直平分线，E在BC上，∠BAE∶∠BAC＝1∶5，则∠C＝______.
【解析】因为DE是AC的垂直平分线，所以AE=EC,所以∠C＝∠EAC.又因为∠BAE∶∠BAC＝1∶5，所以设∠BAE=x°,则∠C＝∠EAC=4x°,所以x+4x+4x=90.解得x=10，所以∠C＝40°.
答案：40°4.如图，在△ACD中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，则∠ADB＝______.
【解析】因为AD＝BD＝BC，所以∠BDC=∠C=25°,∠A=∠ABD=
50°,所以∠ADB＝180°－50°－50°=80°.
答案：80°5.如图,直线MN垂直平分线段AB,CD,垂足分别为点E,F.
试说明：AC=BD，且∠ACD=∠BDC.【解析】因为直线MN垂直平分线段AB,CD,
所以OA=OB,OC=OD,
所以OA+OC=OB+OD,∠OCD=∠ODC,
即AC=BD,∠ACD=∠BDC.课件38张PPT。第五章 单元复习课一、轴对称中的相关概念
1.轴对称.
对于两个平面图形，如果沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴.2.轴对称图形.
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
3.轴对称与轴对称图形的区别与联系.
(1)区别.
①轴对称是指两个平面图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的平面图形；②轴对称涉及两个平面图形，轴对称图形是对一个平面图形而言的.
(2)联系.
①定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合；
②如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个平面图形)，那么这两个平面图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把成轴对称的两个平面图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.4.等腰三角形.
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
5.等边三角形.
三边都相等的三角形叫做等边三角形.二、轴对称的性质和判定
1.轴对称与轴对称图形的性质.
(1)轴对称图形(或关于某条直线对称的两个平面图形)的对应线段(对折后重合的线段)相等，对应角(对折后重合的角)相等.
(2)成轴对称的两个平面图形全等，轴对称图形被对称轴分成的两个平面图形全等.(3)如果两个平面图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
(4)两个平面图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交,那么交点在对称轴上.2.等腰三角形、等边三角形的性质和判定. 生
活
中
的
轴
对
称轴对称现象基本概念两个图形成轴对称轴对称图形对称轴简单的轴
对称图形等腰三角形的性质轴对称图形的性质对称性“三线合一”底角相等线段垂直平分线上的点到这条线段
两个端点的距离相等角的平分线上的点到这个角的两边的
距离相等应用图案设计计算与推理 轴对称和轴对称图形
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1.区别与联系：轴对称图形是对一个图形而言,成轴对称是对两个图形而言.如果把成轴对称的两个图形看做一个整体,那么它又可以看成是一个轴对称图形.
2.轴对称的性质：对应线段相等,对应角相等,对应点的连线被对称轴垂直平分.【例1】(2012·连云港中考)下列图案是轴对称图形的是( )
【思路点拨】 【自主解答】选D.把D选项沿一直线折叠，直线两侧部分能重合，故D选项是轴对称图形.其余图形均不能找到一条直线,使图形沿该直线折叠,直线两侧的部分能完全重合,所以不是轴对称图形. 线段垂直平分线与角平分线的性质
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依据线段垂直平分线的性质及角平分线的性质,结合轴对称的性质,可以解决实际生活中的路线之和最短、路线相等等方案设计问题.【例2】(2012·德州中考)有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如图.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置(保留作图痕迹，不要求写出画法).【思路点拨】利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题.
【自主解答】根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点.
(1)作两条公路夹角的平分线OD或OE;(2)作线段AB的垂直平分线FG；
则射线OD,OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置. 等腰三角形
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“三线合一”，即顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高三线重合，是解决等腰三角形问题的关键.【例3】(2012·济南中考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数.【思路点拨】首先根据AB=AC，利用等边对等角和已知的∠A的
度数求出∠ABC和∠C的度数，再根据已知的BD是∠ABC的平分
线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，最后根据三角形
的内角和定理即可求出∠BDC的度数.
【自主解答】因为AB=AC，∠A=40°，
所以∠ABC=∠C= (180°-40°)=70°.
又BD是∠ABC的平分线，
所以∠DBC= ∠ABC=35°，
所以∠BDC=180°-∠DBC-∠C=75°. 【命题揭秘】
结合近几年中考试题分析，轴对称的内容考查主要有以下特点：
1.命题的内容及形式为：轴对称的性质、相关的图案设计、与轴对称相关的计算和逻辑推理证明等.题型较全，一般有选择题、填空题和解答题，多属于中、低档题.
2.命题趋势：轴对称是近几年各地中考的热点之一，所占的比重有继续上升的趋势.1.下列四个图案中，轴对称图形的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选C.要判别一个平面图形是否是轴对称图形，只需能找到一条直线，使整个平面图形沿着这条直线折叠后两边能完全重合，其中第①②④个图形均可以找到这样的直线，但第③个不能找到这样的直线，所以第③个图不是轴对称图形，故选C.2.(2012·江西中考)等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是
( )
(A)20° (B)50° (C)60° (D)80°
【解析】选B.因为等腰三角形的一个顶角为80°,所以底角=(180°-80°)÷2=50°.3.如图所示是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三边的距离相等,则凉亭的位置应选在
( )(A)△ABC的三条中线的交点
(B)△ABC的三边的中垂线的交点
(C)△ABC的三条角平分线的交点
(D)△ABC的三条高所在直线的交点
【解析】选C.根据角平分线上的点到角两边的距离相等,所以凉亭的位置应选在三个角的角平分线的交点处.4.(2012·淮安中考)如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为
点D，若∠BAC=70°，则∠BAD=_______.
【解析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底
边上的中线、顶角的平分线互相重合(三线合一)，可得∠BAD=
∠BAC=35°.
答案：35°5.(2012·随州中考)等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_____________.
【解析】当边长为6的边为腰时，则底为16-2×6=4;当边长为6的边为底时,则另两边分别为5,5，根据三角形三边关系可知，三边也可以构成三角形.所以两种情况均成立.
答案：6和4或5和56.做如下操作：在等腰三角形ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC,交BC于点D.将△ABD 作关于直线AD 的轴对称变换,所得的像与△ACD重合.对于下列结论：
①在同一个三角形中,等角对等边; ②在同一个三角形中,等边对等角; ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合.由上述操作可得出的是_______(将正确结论的序号都填上).【解析】题意中没有∠B=∠C 这条件,因而不能得出结论①;根据轴对称的性质可以得出∠B=∠C,从而得出结论②;根据等腰三角形的性质“三线合一”可以得出结论③.
答案：②③7.(2012·江西中考)如图,已知正五边形ABCDE,请用无刻度的直尺,准确画出它的一条对称轴(保留画图痕迹).【解析】如图,直线AK即为所求的一条对称轴(解答不惟一).8.(2012·北海中考)已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°.
(1)作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明).
(2)连接DE，求证：△ADE≌△BDE.【解析】(1)作出∠B的平分线BD;
作出AB的中点E.
(2) 因为∠ABD＝ ×60°＝30°，∠A＝30°,
所以∠A＝∠ABD.
又因为∠AED=∠BED=90°，DE＝DE,
所以△ADE≌△BDE.9.如图， 在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足，连接EC.
(1)求∠ECD的度数.
(2)若CE=5，求BC长.【解析】(1)因为DE垂直平分AC，
所以CE=AE，∠ECD=∠A=36°.
(2)因为AB=AC，∠A=36°，所以∠B=∠ACB=72°.
因为∠ECD=36°，
所以∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°，
∠BEC=72°=∠B，
所以 BC=CE=5.
