1．已知一物体在共点力F1＝(2,2)，F2＝(3,1)的作用下产生位移s＝，则共点力对物体所做的功为( )
A．4 B．3
C．7 D．2
解析：选C.合力F＝(5,3)与位移s的数量积为7.
2．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，且(a＋b)2＝(a－b)2，则平行四边形ABCD是( )
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．以上都不对
解析：选B.由(a＋b)2＝(a－b)2?|a＋b|＝|a－b|.对角线||＝||.
3．已知A、B是圆心为C，半径为的圆上两点，且||＝，则·等于( )
A．－ B.
C．0 D.
解析：选A.由已知得△ABC为正三角形，向量与的夹角为120°.所以·＝·cos120°＝－.
4．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为( )
A．6 N B．2 N
C．2 N D．2 N
解析：选D.由向量的平行四边形法则、力的平衡以及余弦定理，得|F3|2＝|F1|2＋|F2|2－2|F1|·|F2|·cos(180°－60°)＝22＋42－2×2×4×(－)＝28，∴|F3|＝2 N.
5．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，∴2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.故选C.
6．若向量1＝(2,2)，2＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|等于________．
解析：F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，
∴|F1＋F2|＝5.
答案：5
7．已知a＝(1，－1)，b＝(－1,3)，c＝(3,5)，若c＝xa＋yb，则实数x＝________，y＝________.
解析：xa＋yb＝x(1，－ 1)＋y(－1,3)＝(x－y，－x＋3y)，又c＝(3,5)，
∴，解之得.
答案：7 4
8．在△ABC中，已知||＝||＝4，且·＝8，则这个三角形的形状是________．
解析：∵·＝4×4·cos A＝8，
∴cos A＝，∴∠A＝，
∴△ABC是正三角形．
答案：正三角形
9．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M为圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．
解：设M(x0，y0)，N(x，y)，
由＝2，得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，
所以，又∵M(x0，y0)在圆C上，
把x0、y0代入方程(x－3)2＋(y－3)2＝4，
整理得x2＋y2＝1，
所以所求的轨迹方程为x2＋y2＝1.
10．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而该船实际航行的方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．
解：如图，设表示水流速度，表示船垂直于对岸的速度，表示船的实际速度，则∠AOC＝30°，||＝5 km/h.
因为四边形OACB为矩形，
所以||＝||·cot 30°＝||·cot 30°＝5km/h，
||＝＝＝10 km/h.
即水流速度为5 km/h，船的实际速度为10 km/h.
1．设坐标原点为O，已知过点的直线交函数y＝x2的图象于A、B两点，则·的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C.由题意知直线的斜率存在可设为k，则直线方程为y＝kx＋，与y＝x2联立得x2＝kx＋，
∴x2－2kx－1＝0，∴x1x2＝－1，x1＋x2＝2k，
y1y2＝＝k2x1x2＋＋
＝－k2＋k2＋＝，
∴·＝x1x2＋y1y2＝－1＋＝－.
2．在平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(1，－2)，B(－1,4)，若点C满足＝α＋β，其中0≤α≤1且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为________．
解析：∵α＋β＝1，∴β＝1－α，
又∵＝α＋β＝α＋(1－α)，
∴－＝α(－)，∴∥，
又B与有公共点B，∴A、B、C三点共线，
∵0≤α≤1，∴C点在线段AB上运动，
∴C点的轨迹方程为3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)．
答案：3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)
3．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B (4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．
(1)求直线DE、EF、FD的方程；
(2)求AB边上的高CH所在直线的方程．
解：(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，
设M(x，y)是直线DE上任意一点，
则∥.＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)．
∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，
则⊥.
∴·＝0.又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)．
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
4．一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1 000 km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向，并且A、C两地相距2 000 km，求飞机从B地到C地的位移．
解：
如图所示，设A在东西基线和南北基线的交点处．
依题意，的方向是北偏西60°，||＝1 000 km；的方向是南偏西60°，||＝2 000 km，
所以∠BAC＝60°.
过点B作东西基线的垂线，交AC于点D，则△ABD为正三角形．
所以BD＝CD＝1 000 km，
∠CBD＝∠BCD＝∠BDA＝30°.
所以∠ABC＝90°.
BC＝ACsin 60°＝2 000×＝1 000(km)，
||＝1 000(km)．
所以飞机从B地到C地的位移大小是1 000 km，方向是南偏西30°.
