课件25张PPT。章 末 专 题 整 合专题一 三角函数式的求值
(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”问题，由所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．专题二 三角函数式的化简与证明
三角函数式的化简与证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．专题三 三角恒等变换与三角函数性质
三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
专题四 三角函数的应用
三角函数是以角为自变量的函数也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，所以建立三角函数模型解决生活中的实际问题是十分重要的．
点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP的面积最大？【解】
如图所示，∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，AB＝1，
PA＝cos α，PB＝sin α.专题五 数学思想
1．数形结合思想
在解决有关三角函数的问题时，三角函数的图象是不可缺少的工具，大多数题目都要画出所涉及的三角函数的草图，然后结合图象解决问题，所以数形结合思想在解决三角函数问题上有着广泛的应用．
2．分类讨论思想
分类讨论思想与中学数学的关系较为密切，在三角运算中，有关三角函数所在象限符号的选取常常需要分类讨论，三角函数与二次函数的综合问题以及三角函数的最值等问题有时也需要分类讨论．
(时间：100分钟；满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．cos215°－sin215°的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C.cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
2．已知cos θ＝，θ∈(0，π)，则cos(＋2θ)的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C.sin θ＝＝，则cos(＋2θ)＝－sin 2θ＝－2sin θ·cos θ＝－.
3．函数f(x)＝|sin x＋cos x|的最小正周期是( )
A. B.
C．π D．2π
解析：选C.∵f(x)＝|sin x＋cos x|，
∴f(x)＝.
∵f(x＋π)＝＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期为π.
4．tan 19°＋tan 41°＋tan 19°tan 41°的值为( )
A．1 B.
C．－ D.
解析：选D.tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°tan 41°)＝－tan 19°tan 41°.
故原式＝ －tan 19°tan 41°＋tan 19°＋tan 41°＝ .
5．已知25sin2α＋sin α－24＝0，α是第二象限角，则cos的值等于( )
A．± B.
C．－ D．以上均不正确
解析：选A.∵α为第二象限角，∴由25sin2α＋sin α－24＝0求得sin α＝(sin α＝－1舍去)，则有cos α＝－.
又由α为第二象限角可判断为第一、三象限角，
∴由cos α＝2cos2－1，求得cos＝±.
6．若α，β均为锐角，sin α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝( )
A. B.
C.或 D．－
解析：选B.∵α、β均为锐角，sin(α＋β)∴α＋β∈(，π)．又sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
7.的值为( )
A. B.
C．2 D．4
解析：选C.原式＝
＝＝＝2.
8．在△ABC中，已知tan＝sin C，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.在△ABC中，tan＝sin C＝sin(A＋B)＝2sincos，∴ 2cos2＝1，∴cos (A＋B)＝0，
从而A＋B＝，△ABC为直角三角形．
9．已知锐角α的终边上一点P(sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝( )
A．80° B．70°
C．20° D．10°
解析：选B.易知点P到坐标原点的距离为＝
＝ ＝2cos 20°，
由三角函数的定义可知cos α＝＝＝sin 20°，
∵点P在第一象限，且角α为锐角，∴α＝70°.
10．函数y＝sin xcos x＋cos2x－的图象的一个对称中心是( )
A．(，－) B．(，－)
C．(－，) D．(，－)
解析：选B.y＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－，
h(x)＝sin(2x＋)的对称中心为(－＋，0)，k∈Z，
∴y＝sin(2x＋)－的对称中心为(－＋，－)，k∈Z，经验证知B正确．
二、填空题(本大题共5小题，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．如果已知sin＋cos＝，那么sin θ的值为________，cos 2θ的值为________．
解析：(sin＋cos)2＝1＋sin θ＝，sin θ＝，cos 2θ＝1－2sin2θ＝.
答案：
12．若3sin α＋cos α＝0，则的值为________．
解析：由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－，
∴＝
＝＝＝.
答案：
13．已知tan(x＋)＝2则＝________.
解析：由tan(x＋)＝＝2得tan x＝，
∴＝＝(1－tan2x)
＝[1－()2]＝.
答案：
14．化简的结果是________．
解析：＝
＝＝＝－.
答案：－
15．函数y＝cos 2xcos－2sin xcos xsin的递增区间是________．
解析：y＝cos 2xcos－2sin xcos xsin＝cos 2xcos＋sin 2xsin ＝cos(2x－)，
由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，得x∈[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)即为单调递增区间．
答案：[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)
三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．已知tan α＝2，tan β＝－，其中0<α<，<β<π.
求：(1)tan(α－β)；
(2)α＋β的值．
解：(1)∵tan α＝2，tan β＝－，
∴tan(α－β)＝＝＝7.
(2)∵tan(α＋β)＝＝＝1，
且0<α<，<β<π，
∴<α＋β<.
∴α＋β＝.
17．求值：－sin 10°(－tan 5°)．
解：原式＝－sin 10°(－)
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝cos 30°＝.
18．已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：2tan 2β＝tan α＋tan β.
证明：∵tan(α－β)＝sin 2β，tan(α－β)＝，sin 2β＝2sin βcos β＝＝，
∴＝，
整理得：tan α＝.
∴tan α＋tan β＝
＝
＝2tan 2β.
19．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0<α<，－<β<0，且sin β＝－，求sin α的值．
解：(1)a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，
|a－b|2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2
＝2－2cos(α－β)，
∴＝2－2cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝.
(2)由0<α<，－<β<0且sin β＝－，
可知cos β＝，且0<α－β<π.
又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×(－)＝.
20．已知函数f(x)＝2asincos＋sin2－cos2(a∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴；
(2)当a＝2时，在f(x)＝0的条件下，求的值．
解：f(x)＝asin x－cos x.
(1)当a＝1时，
f(x)＝sin x－cos x＝sin(x－)，
则函数f(x)的最小正周期为2π.
设x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)．
则函数f(x)的图象的对称轴是x＝kπ＋(k∈Z)．
(2)当a＝2，f(x)＝0时，有0＝2sin x－cos x，
则tan x＝，
则原式＝＝
＝＝.
1．已知cos α＝，α∈(，2π)，则cos(α＋)的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.∵cos α＝，α∈(，2π)，
∴sin α＝－，∴cos(α＋)＝cos αcos－sin αsin
＝×－(－)×＝.
2.·等于( )
A．－sin α B．－cosα
C．sin α D．cos α
解析：选D.原式＝
＝＝cos α.
3．设－3π<α<－，化简 的结果为________．
解析：－3π<α<－，－<<－， ＝ ＝|cos|＝－cos.
答案：－ cos
4．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α＝________.
解析：∵tan(π＋2α)＝tan 2α＝＝－，
∴tan α＝－，或tan α＝2.
∵α在第二象限，∴tan α＝－.
答案：－
5．当0解：∵0∴f(x)＝－
＝－＝－
＝4tan x＋－＝4tan x.
∴f(x)≤4.∴f(x)max＝4.
6．已知函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos (β＋α)＝－，0<α<β≤.
求证：[f(β)]2－2＝0.
解：(1)∵f(x)＝sin(x＋－2π)＋sin(x－＋)
＝sin(x－)＋sin(x－)
＝2sin(x－)，
∴f(x)的最小正周期为T＝2π，最小值为－2.
(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝，
cos βcos α－sin βsin α＝－.
两式相加得2cos βcos α＝0.
∵0<α<β≤，∴β＝.
∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0.
