惠来县第一中学2022-2023学年高一下学期3月第一次月考
数学试题 答案
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解作答.
【详解】全集，集合，则，而，
所以.
故选：C
2．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、二次函数、对数函数以及复合函数的单调性逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.
【详解】对于选项B：的定义域为，是由和复合而成，和都是增函数，所以在上为增函数，故选项A正确；
对于选项A：对称轴为，开口向上，所以在单调递减，在单调递增，故选项B不正确，
对于选项C：在区间上为减函数，故选项C不正确；
对于选项D：在区间上为减函数，故选项D不正确；
故选：B.
3．对于向量与，下列说法正确的是（ ）
A．若，则与是共线向量 B．若，则
C．若存在向量，使得且，则 D．若，则
【答案】D
【解析】根据向量的相关概念对选项进行逐一判断，可得答案.
【详解】解析两个向量的模相等，它们的方向可以是任意的，故A错误。
向量不能比较大小，B错误；当为零向量时，C错误.
故选D.
【点睛】本题考查向量的相等、共线等相关概念，属于基础题.
4．已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以．
因为x，y都是正数，由基本不等式有：，
所以，当且仅当
即时取“＝”．故A，C，D错误.
故选：B．
5．已知向量，，且，则（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】A
【分析】根据数量积的坐标运算求出，再求出，即可得出所求.
【详解】，，，解得，
，
，
.
故选：A.
6．若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的单调性和奇偶性可得在上单调递减，根据三角函数、对数函数、指数函数的性质分别求出的范围，进而结合函数的单调性即可比较函数大小.
【详解】因为且，有，
所以函数在上单调递增，
由为偶函数，得函数在上单调递减，
因为，，
所以，
即.
故选：A
7．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象在区间上单调递增，则的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】写出平移的函数解析式，由，求得，然后结合正弦函数的增区间可得的范围，得最大值．
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为,
,时,，
由题意，，即，的最大值是3.
故选：D．
8．已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出函数的图象，求出直线与的图象相切时的，再结合图象可求得答案
【详解】画出函数图象如图所示，
由图可知，当直线与函数的图象相切时，
由，得，
由，得或（舍去），
因为直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，
所以由图象可知
故选：C．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知，是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，可以作为一组基底的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
答案】ABC
【分析】根据平面基底的定义和判定，逐项判定，即可求解.
【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得，
对于A中，向量和，不存在实数，使得，符合题意；
对于B中，向量和，假设存在实数，使得，
可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底，符合题意；
对于C中，向量和，假设存在实数，使得，
可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底，符合题意；
对于D中，向量和，假设存在实数，使得，
可得，解得，所以和不可以作为基底，不符合题意；
故选：ABC.
10．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】BD
【分析】分和两种情况讨论两个函数的单调性进行判断.
【详解】当时，在单调递增且其图象恒过点，
在单调递增且其图象恒过点，
则选项B符合要求；
当时，在单调递减且其图象恒过点，
在单调递减且其图象恒过点，
则选项D符合要求；
综上所述，选项B、D符合要求.
故选：BD.
11．已知函数，则真命题有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图像关于点中心对称
C．是函数图像的一条对称轴
D．将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像
【答案】ACD
【分析】把看作整体，结合正弦函数的相关性质运算处理．
【详解】∵，函数的最小正周期为, A正确；
，则,的对称中心
显然对，B不正确；
，则，的对称轴
当时，，C正确；
将函数的图像向右平移个单位后得到：
，D正确；
故选：ACD．
12．已知向量，将绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到的位置，则（ ）.
A． B． C． D．点坐标为
【答案】ABC
【分析】根据向量的夹角判断A，再由全等三角形可判断B，根据向量的数量积的定义判断C，根据向量的模相等判断D.
【详解】因为绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到，
所以与的夹角为，故，A选项正确；
由题意知，,所以，即，故B正确；
因为,,
所以由数量积的定义知，故C正确；
若点坐标为，则，故D不正确.
故选：ABC
第II卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知函数，则_______.
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式，先求得,再求即为所求.
【详解】,
.
故答案为: .
14．已知幂函数的图象过点，则______，的解集为______.
【答案】
【分析】设出幂函数的解析式，再由给定条件列式计算，然后借助函数性质列出不等式，求解即得.
【详解】依题意，设，则，解得，于是得，
显然是偶函数，且在上单调递增，而，
即有，解得或，
所以的解集为.
故答案为：；
【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性
脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|).
15．如图是函数的部分图象，已知函数图象经过、两点，则____________．
【答案】##
【分析】由图象可得出函数的最小正周期，可求得的值，再将点的坐标代入函数解析式，结合的取值范围可求得的值.
【详解】由图可知，函数的最小正周期为，所以，，
所以，，可得，
所以，，可得，
因为，所以，.
故答案为：.
16．如图所示的矩形中，，，分别为线段，的中点，则的值为_______.
【答案】
【分析】将转化为，计算与的数量积.
【详解】由题可知.
.
故答案为：-6.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）已知向量，.
(1)当时，求的值；
(2)当，，求向量与的夹角.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解，
（2）根据向量平行的坐标关系可求，进而根据向量夹角公式即可求解.
（1）
向量，，则.由，可得即，即，解得或，
（2）
由，，则，
由，可得，解得，所以，，，
又，所以.
18．（12分）已知函数，．
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间；
(3)当时，求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)，
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）由周期公式直接可得；
（2）利用正弦函数的单调区间解不等式可得；
（3）先根据x的范围求出的范围，然后由正弦函数的性质可得.
(1)
的最小正周期．
(2)
由，，得，．所以函数的单调递增区间为，．
(3)
∵，∴．
当，即时，．
当，即时，.
19. (12分)如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.
（1）用向量，表示；
（2）假设，用向量，表示并求出的值.
【答案】（1）；（2），.
【分析】（1）把放在中，利用向量加法的三角形法则即可；
（2）把，作为基底，表示出 ，利用求出 .
【详解】解：由题意得，，所以，
（1）因为，，
所以
.
（2）由（1）知，而
而
因为与不共线，由平面向量基本定理得
解得
所以，即为所求.
20.(12分)已知关于的不等式的解集为或.
(1)求a，b的值；
(2)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)；
(2)答案见解析
【分析】（1）将不等式的解集转化为方程的两个根，结合韦达定理求出a，b的值；
（2）在（1）的前提下，对不等式变形为，对分类讨论，求解不等式的解集.
【详解】（1）易知，
由题意得b，3是关于的方程的两个不相等的实数根，
所以，
解得：，
所以.
（2）由（1）得，
当时，不等式无解；
当时，解得：；
当时，解得：.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
21．(12分)若某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：.
(1)将利润（单位：元）表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）
【答案】(1)
(2)当每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元
【分析】（1）利用题中给出的总收入关于月产量的关系式，由利润总收入总成本即可得到答案；
（2）分和时，分别利用二次函数的性质以及函数的单调性求出最值，比较即可得到答案．
(1)
解：由题可知总成本为，
∴.
(2)
解：当，，
∴时，有最大值25000；
当时，是减函数，
∴.
∴时，有最大值25000.
即当每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元
22．(12分)已知函数是偶函数．
(1)求的解析式；
(2)设函数，其中，若方程存在实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)由偶函数的定义可得对恒成立，
结合对数的运算性质化简得对恒成立，进而求出的值，得到函数的解析式．
(2)方程存在实数解，等价于方程存在实数解，令，则，即方程化为，即存在正数解，再利用分离参数法结合基本不等式进行求解．
【详解】（1）是偶函数，
，，
即对恒成立，
即对恒成立，
对恒成立，
不恒为0，，
．
（2）方程存在实数解，即方程存在实数解，
又对数函数在上单调递增，
即方程存在实数解，
令，则，
方程化为，
即关于t的方程存在正数解，
∵m＞0，＞1，∴t＞2，t－2＞0，
∴方程存在正数解，即函数y＝m与函数，t＞2图像有交点.
，当且仅当，即时，等号成立，
∴根据对勾函数的图像性质可知，
即实数的取值范围为.惠来一中 2022~2023学年度第二学期第一次阶段考试
高一数学试题
第 I卷（选择题共 60分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知全集U 1,2,3,4,5,6 ，集合 P 1,3,5 ，集合Q 1,2,4 ，则 UP Q （ ）
A． 1 B． 3,5 C． 2,4 D． 1,2,4,6
2．下列函数中，在区间 0, 上为增函数的是（ ）
A． y (x 1)2 B． y x 1 C． y 2 x D． y log1 x
2
3．对于向量 a与b，下列说法正确的是（ ）
r r r r
A．若 a b
r r
，则 a与b是共线向量 B．若 a b ，则 a b
r r r r
C．若存在向量 c，使得 a∥c且 c∥b，则 a b D．若 a b，则 a b
1 4
4．已知 x，y都是正数，若 x y 2，则 x y 的最小值为（ ）
7 9 13
A． B． C． D．1
4 2 4
r
5．已知向量 a 2,1 ，b k,3 ，且 a b 5，则 a 2b （ ）
A．5 B． 65 C．10 D．5 2
f x1 ff x x6 2 ．若 是定义在R上的偶函数，对 x1, x2 , 0 ，当 x1 x2 时，都有 0，则x1 x2
a f sin 3 b f ln 1 1.5， ， c f 2 的大小关系是（ ）
3
A． a b c B． a c b C．b c a D． c b a
7．将函数 f x sin x 0 的图象向右平移 个单位长度，所得图象在区间 0, 上单调递增，则6 3
的最大值是（ ）
3 5
A． B．2 C． D．3
2 2
惠来一中 2022~2023学年度高一第二学期第一次阶段考试
第 1 页 共 4 页
2 (
1) x, x 0
8．已知直线 y mx与函数 f (x)
3
的图象恰好有 3个不同的公共点，则实数m的取值范
1 x2 1, x 0
2
围是（ ）
A． 2, 2 B． 1, 2 C． 2, D． , 2
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9．已知 e1 ，e2 是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，可以作为一组基底的是（ ）
A． e1 和 e1 e2 B． e1 2e2 和e2 2e1 C．e1 e2和 e1 e2 D． e1 2e2 和 4e2 2e1
10．在同一直角坐标系中，函数 y a x与 y loga x 2 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
f (x) sin 2x π11 ．已知函数 3 ，则真命题有（ ）
A．函数 f (x)的最小正周期为 π
π
B．函数 f (x)的图像关于点 , 0 中心对称
3
x πC． 是函数 f (x)图像的一条对称轴
12
5π
D．将函数 g(x) cos2x 的图像向右平移 个单位后得到函数 f (x)的图像
12
12．已知向量OP 1,2 ，将OP绕原点 O旋转﹣30°，30°，60°到OP1,OP2 ,OP3 的位置，则（ ）.
A．OP1 OP3 0 B． PP1 PP2 C．OP OP3 OP1 OP2 D．点 P
3 1,1 2 31坐标为
2 2
第 II卷（非选择题共 90分）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
sin x ,x 1
13 ．已知函数 f x 4 ，则 f f e _______.
ln x, x 1
惠来一中 2022~2023学年度高一第二学期第一次阶段考试
第 2 页 共 4 页
14．已知幂函数 f x 的图象过点 2,16 ，则 f x ______， f x 1 f 3x 1 的解集为______.
15．如图是函数 f x 2sin x 0, 的部分图象，已知函
2
P 5 ,2 Q 17 数图象经过 、 ,0
两点，则 ____________．
12 12
16．如图所示的矩形 ABCD中， AB 4， AD 2，E,F 分别为线段 AB，DE
的中点，则EB CF 的值为_______.
四、解答题：本题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）已知向量 a (3,2)，b (x , 1) .
(1)当 2a b b时，求 x的值；
(2)当 c ( 8, 1)， a / /(b c)，求向量 a与b的夹角 .
1 π
18．（12 分）已知函数 f x sin 2x ， x R．2 4
(1)求 f x 的最小正周期；
(2)求 f x 的单调递增区间；
π
(3)当 x 0, 时，求 f x 的最大值和最小值． 6
19. (12 分)如图所示，在 ABC中，AB a，BC b，D，F 分别为线段 BC，AC上一点，且 BD 2DC，
CF 3FA， BF和 AD相交于点 E .
（1）用向量 a，b表示 BF；
（2）假设 BE BA 1 BD BF ，用向量 a，b表示 BE并求
出 的值.
惠来一中 2022~2023学年度高一第二学期第一次阶段考试
第 3 页 共 4 页
20.(12分)已知关于 x的不等式 ax2 7x 3 0的解集为 x x3 .
(1)求 a，b的值；
1
(2) 2求关于 x的不等式 ax c 2b x c 0的解集.
2
21．(12分)若某公司生产某种电子仪器的固定成本为 20000元，每生产一台仪器需增加投入 100元，
1 2
已知总收入 R（单位：元）关于月产量 x（单位：台）满足函数： R x
400x x ,0 x 500
2 .
75000, x 500
(1)将利润 f x （单位：元）表示为月产量 x的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）
1
22．(12分)已知函数 f x log ( ) x3 1 kx k R 是偶函数． 9
(1)求 f (x)的解析式；
m
(2)设函数 g(x) log3 ( 2m)，其中m 0，若方程 f (x) x g(x) 存在实数解，求实数m的取值范围．3x
惠来一中 2022~2023学年度高一第二学期第一次阶段考试
第 4 页 共 4 页
