宁德市重点中学2022-2023学年高一下学期3月月考
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2 1
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) (
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2
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一
)数学卷
满分 150 分 ：考试时间：120 分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分
1 ．设 i 是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
(
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一
一
一
一
)2 ．已知AB = + 5b一, BC = _2 + 8b, CD = 3(a _ b) ，则 ( )
A ． A，B，C 三点共线 B ． A，C，D 三点共线 C ． A，B，D 三点共线 D ． B，C，D 三点共线
3 ．在平行四边形ABCD 中， E 为 AC 上一点，且 = 2 ，记 = ， = b一 ，则 =
A ． _ 3 + 3 b B ． 3 _ 3 b C ． 3 + 3 b D ． _ 3 + 3 b
4 ．已知M(_2, 7) ， N(10, _2) ，点P 是线段MN 上的点， = ，则P 点的坐标 ( )
A ． (2, 4) B ． (_14, 16) C ． 2, ))| D ． (22, _11)
5 ．在 ABC 中，若三A = 45o ， 三B = 30o ， BC = 3 ，则 AC = ( )
A ．3 B ． 2 C ． D ．
6 ．平面向量 ，b一 满足 = ，b一 = (1，) ， _ 2b一 = ，则 在b一 上投影向量为 ( )
A ． (1，) B ． ，))|| C ． ，))|| D ． ，))||
7 ．在 ABC 中， 内角A 、 B 、 C 所对的边分别为a 、b 、 c ，不解三角形，确定下列判断正确的是 ( )
A ． B = 60。， c = 4 ，b = 5 ，有两解 B ． B = 60。， c = 4 ，b = 3.9 ，有一解
C ． B = 60。， c = 4 ，b = 3 ，有一解 D ． B = 60。， c = 4 ，b = 2 ，无解
(
3
)8．在 ABC 中，AB = 3 ，AC = 2 ，三BAC = 60。，点 P 是 ABC 内一点 (含边界)，若AP = AB + 入AC ，则 AP
的最大值为 ( )
A ． B ． C ． D ．
二、多选题：本题公小题，每小题 5 分，共 20 分。全部选对得 5 分，选错得 0 分，部分选对 2 分
9 ．设复数z1 = 2 - i ， z2 = 2i (i 为虚数单位)，则下列结论正确的为 ( )
A ． z2 是纯虚数 B ． z1 _ z2 对应的点位于第二象限 C ． z1 + z2 = 3 D ． z1 = 2 + i
10．下列说法中正确的是 ( )
A ．若 = (x1 ,y1 ), = (x2 ,y2 ) ，且 与 共线，则 = B ．若 , b一 共线，则存在实数入使b一 = 入
C．若 A，B，C 三点共线．则向量 , , 都共线 D．若 = (1, 2), = (_2, n) ，且 // ，则n = _4
(
．
．
)11．下列说法中错误的为 ( )．
A ．已知 = (1, 2) ，b一 = (1, 1)且 与 + b一入 夹角为锐角，则实数入 的取值范围是 _ , +w))|
B ．向量 = (2, _3) ， 2 = , _ ))|不能作为平面内所有向量的一组基底
C ．非零向量 ，b一 ，满足 > b一 且 与b一 同向，则 > b一
D ．非零向量和b一 ，满足 = b一 = _ b一 ，则 与 + b一 的夹角为 30°
12．在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且3b cos C + 3c cos B = a 2 ，则下列说法正确的是 ( )
A ．若 B+C=2A ，则 ABC 的外接圆的面积为3π
B ．若A = ，且 ABC 有两解，则 b 的取值范围为3, 3
C ．若 C=2A ，且 ABC 为锐角三角形，则 c 的取值范围为(3 , 3 )
D ．若 A=2C，且sin B = 2sin C ， O为 ABC 的内心，则 AOB 的面积为
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．设复数_2 + 3i 和复数1 _ i 在复平面上分别对应点A 和点B ，则A 、 B 两点间的距离是______．
14．在 ABC 中，若sin A = 2sin B cos C ， sin 2 A = sin 2 B + sin 2 C ，则 ABC 的形状是________.
15．设向量 ，b一 不平行，向量入 + b一 与 + 2b一 平行，则实数 入=_________．
16．已知扇形 AOB 半径为1 ， 三AOB = 60。，弧AB 上的点P 满足
= + (入, p = R) ，则入+ p 的最大值是__ ； · 最小值是__；
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．(本小题满分 10 分)
已知点 A(5, -2), B (-1, 4), C (3, 3), M 是线段AB 的中点.
(1) 求点M 和AB 的坐标；
(2) 若D 是x 轴上一点，且满足BD/ /CM ，求点D 的坐标.
试卷第 2页，共 4页
18．(本小题满分 12 分)
根据要求完成下列问题：
( 1)关于x 的方程x2 + (2a i)x ai + 1 = 0 有实根，求实数 a 的值；
(2)若复数z = (m2 + m 2) + (2m2 m 3)i ( m = R ) 的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．
19．(本小题满分 12 分)
(
)如图，在 ABC 中，已知AB = 2 ， AC = 6 ，三BAC = 45。，BC ，AC 边上两条中线 AM ，BN 相交点P .
(
(
1)
求
)
(
；
)AM
(2)求三MPN 的余弦值.
20．(本小题满分 12 分)
如图， A 、 B 是某海域位于南北方向相距15(1 + ) 海里的两个观测点，
现位于 A 点北偏东45。、B 点南偏东30。的C 处有一艘渔船遇险后抛锚发
出求救信号，位于B 点正西方向且与B 点相距 50 海里的D 处的救援船立
即前往营救，其航行速度为 40 海里/小时.
(1) 求B 、 C 两点间的距离；
(2) 该救援船前往营救渔船时的目标方向线 (由观测点看目标的视线) 的方向是南偏东多少度 (精确到
0.01。) ？救船到达 C 处需要乡长时间？
(参考数据： sin 21.79。 0.37 ， cos 21.79。 0.93 )
试卷第3页，共 4页
21．(本小题满分 12 分)
在锐角 ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知a = 2 且cosC + (cosB 一 sinB)cosA = 0 ．
(1) 若b = 2 ，求 ABC 的面积；
(2) 求2b + c 的取值范围．
22．(本小题满分 12 分)
某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按方向释放机器人甲，同
(
时
在
A
处按
AQ
方向释放机器人乙，设机器人乙在
M
处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点
M
在
)
矩形区域 ABCD 内 (包含边界) ，则挑战成功，否则挑战失败． 已知AB = 6 米， E 为AB 中点，比赛中两机
器人均匀速直线运动方式行进，记 与 的夹角为9 ( 0 9 π ) 与 的夹角为 ( 0 )．
(1) 若两机器人运动方向的夹角为 ，AD 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
(2) 已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2 倍．
(i) 若9 = ， AD 足够长，机器人乙挑战成功，求sin ．
(ii) 如何设计矩形区域ABCD 的宽 AD 的长度，才能确保无论9 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的 释放角度 使机器人乙挑战成功？宁德市重点中学2022-2023学年高一下学期3月月考
数学卷答案
1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．C 7．D 8．D
【详解】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
，，，，，，
设点为，，，
，，，，，，，，
直线的方程为，联立，解得，
此时最大，，故选：．
9．AD 10．CD 11．AC 12．ACD
【详解】因为，所以由正弦定理，得,
即 ，
因为，所以，且，所以.
选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ，所以，
所以的外接圆的面积为，选项A正确；
选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,故 ,解得b，所以选项B错误；
选项C：由正弦定理，得 ，即 ，
因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，
所以，故选项C正确；
选项D：因为，所以，
因为，所以，
所以由正弦定理，得，即，
所以，
即，所以，
所以，又因为，所以，， ，，
即是直角三角形，所以内切圆的半径为，
所以的面积为，选项D正确.
故选：ACD.
13．5 14．等腰直角三角形 15． 16．
【详解】以OB为x轴，过O做OB的垂线作y轴，建立平面直角坐标系，
,,
则,
所以，
，（）.
=
.
17．解：（1）是线段的中点，………….2分
……………………………………………….4分
（2）设，则，……………………………………6分
因为与平行，所以………………………………….8分
解得…………………………………………………………………………………..9分
点的坐标是…………………………………………….10分.
18． （1）设是其实根，代入原方程变形为，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
由复数相等的定义，得，。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
解得；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
（2）由题意得，.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
即，解得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
故实数的集合为 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分.
19．1）又已知为的中点，
所以，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
所以，.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
所以，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
又，，，
所以，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
所以，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
（2）因为为的中点，所以，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
又，所以,。。。。。。8分
所以，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
，.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
所以，.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
又与的夹角相等，
所以，
所以的余弦值为..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
20． （1）在中，，，则，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
由正弦定理得（海里），。.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
（2）中，，由余弦定理
， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
， （小时），。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
，为锐角，
所以．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
21． （1），， ，，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
，，又，， ，；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
，，，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
（2）由正弦定理可得：，.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
，。。。。。。。。。。。。。。。7分
其中，，，为锐角，
因为为锐角三角形，则，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
从而，得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
所以，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
所以，从而的取值范围为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
22． （1）如图，在中
由余弦定理得，，。。。。。。2分
所以
所以，（当且仅当时等号成立）
故两机器人运动路程和的最大值为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（2）（i）在中由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，故，
由正弦定理可得所以。。。。。。。。。。。。。。6分
（ii）设，则，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
由余弦定理可得，
所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
由题意得对任意恒成立，
故，当且仅当时取到等号．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
答：矩形区域的宽至少为米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
