吉林省长春市新解放学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（含解析）

新解放学校2022-2023学年高一下学期3月月考
数学
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．化简的结果等于（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，在中，是的中点，若，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
3．在中，，，，则等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．2或3
4．的三内角所对边分别为，若，则角的大小（ ）．
A． B． C． D．
5．若向量，，且，则（ ）
A． B． C．3 D．6
6．在中，若，则（ ）
A．25 B．5 C．4 D．
7．已知向量满足，则（ ）
A．8 B． C． D．4
8．在中，，，则一定是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
二、多选题
9．已知平面向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
10．已知向量，，与平行，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知在中，角A，B，所对的边分别为且，，，则下列说法正确的是（ ）
A． 或 B．
C． D．该三角形的面积为
12．已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．已知向量，，，若，则__________．
14．设的内角所对的边分别为，若，则____．
15．在中，，且最大边长为14，则该三角形的面积为______．
16．已知向量，向量，则的最大值是______.
四、解答题
17．已知平面向量
(1)若，求x的值：
(2)若，求
18．已知，，与的夹角为．
(1)求；
(2)当为何值时，？
19．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
(1)求A；
(2)若，则的面积为，求的周长．
20．在△ABC中，已知，，.
(1)求的值；
(2)求的面积.
21．已知，，.
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值．
22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)证明：．
(2)若D为BC的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
参考答案：
1．B
【分析】运用向量加法法则及相反向量计算即可.
【详解】，
故选：B.
2．D
【分析】利用三角形法则与平行四边形法则表示向量.
【详解】因为是的中点，，，
所以，
所以.
故选：D.
3．C
【分析】根据余弦定理运算求解.
【详解】由余弦定理：，即，
则，解得或.
故选：C.
4．B
【分析】根据余弦定理直接求解即可.
【详解】解：由余弦定理得，
因为，所以.
故选：B
5．D
【分析】利用向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】解：∵∴即，解得，D项正确.
故选：D
6．B
【分析】利用余弦定理直接求解.
【详解】在中，若，，，
由余弦定理得.
故选：B
7．D
【分析】根据模长平方可得.
【详解】因为，
所以，
又因为
所以，
所以.
故选：D.
8．D
【分析】由余弦定理结合题意化简即可判断的形状.
【详解】在中，因为，，
所以由余弦定理可得，，
所以，即，
所以，结合可得一定是等边三角形．
故选：D.
9．AD
【解析】由条件根据向量代数形式的加法运算、模、共线定理和夹角公式分别进行判断，从而得出结论.
【详解】根据向量的坐标运算易知选项正确；
因为，，所以选项B错误
因为，，所以C错误
因为，所以与的夹角为，D选项正确．
故选：AD.
【点睛】本题主要考查向量代数形式的坐标运算、向量的平行、向量的模、向量的夹角和数量积运算.
10．ACD
【分析】先表示出，，然后根据向量平行的条件列方程求出，从而判断AB；根据向量的模长公式可判断C，根据向量的减法运算可以判断出D.
【详解】依题意可知，．因为与平行，所以，解得，故A正确，B错误；，，故CD正确.
故选：ACD
11．BC
【分析】利用余弦定理求得，利用正弦定理求得，由此求得，进而求得，利用三角形的面积公式求得三角形的面积，从而确定正确选项.
【详解】由余弦定理得，所以，
由正弦定理得，所以，
由于，所以，所以，
三角形的面积为，
故BC选项正确，AD选项错误.
故选：BC.
12．AD
【分析】根据大边对大角，可判定A正确，利用余弦定理可判定B错误；利用正余弦函数的单调性可判定C错误；利用诱导公式和正弦函数的单调性可得，同理可得，，进而判定D正确.
【详解】若，根据大边对大角，所以，故A正确；
因为为锐角，故，即，即，因此B选项错误；
因为函数在区间上单调递增，故若，则有，又因为函数在区间上单调递减，故，故选项C错误；
因为，所以，即，同理可得，，三个式子相加得，故D正确.
故选:AD.
13．
【分析】利用向量的线性运算的坐标表示求得的坐标，利用向量垂直的坐标表示列式计算求解.
【详解】，
若，则，
所以,
故答案为：.
14．
【分析】先对化简，然后利用余弦定理可求出角
【详解】解：由，得，即，
由余弦定理得，
因为，所以
故答案为：
【点睛】此题考查余弦定理的应用，属于基础题
15．
【分析】利用余弦定理求出，进而求得，再用面积公式求解即可.
【详解】因为，且最大边长为14，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
故答案为: .
16．6
【分析】根据向量的几何表示方法，得到向量的终点在以原点为圆心，为半径的圆上，进而得出与反向时，为最大，即可求解．
【详解】由题意，向量，则，
所以向量的终点在以原点为圆心，为半径的圆上，
又由，得的终点也在此圆上，
当与反向时，为最大，最大值为6.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的表示的应用，其中解答中熟练应用向量的几何意义和向量的表示是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
17．(1)或
(2)或
【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示列方程求解；
（2）先通过向量平行的坐标公式求出，再通过向量的坐标运算求模.
【详解】（1），
，
解得或；
（2），
，解得或，
当时，，，；
当时，，，，
或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到；
（2）由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果.
【详解】（1），
，.
（2）由得：，
解得：.
19．（1）；（2）答案见解析
【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可；
（2）弦利用余弦定理求出边，再利用余弦定理求出角，从而可得角.
【详解】（1）因为，
所以，
所以；
（2）因为，
所以，即，解得或，
当时，则，所以；
当时，由余弦定理得，所以，
综上所述，或.
20．(1)
(2)6
【分析】（1）由正弦定理，得到，再由辅助角公式求出答案；
（2）由三角形面积公式求出，由余弦定理得到，从而得到，得到周长.
【详解】（1）由正弦定理得，
其中，
故，
因为，所以，故，
即，所以，
因为，所以，
故，解得；
（2）由三角形面积公式得，
故，
由余弦定理得，
解得，
故，解得，
故，周长为6.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由已知得 ，，由此能求出结果；
（2）由正弦定理得解得，利用三角形面积公式可求出三角形ABC的面积。
【详解】（1）∵，且，∴，
（2）由正弦定理得，∴，解得，
∴.
22．(1)
(2)
【分析】（1）直接展开，代入即可求解；
（2）先分别求出，再直接代入向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）依题意，
因为，
所以，
因为|，所以，
所以.
（2）因为，
，
所以.
令与的夹角为θ，
则，
所以向量与夹角的余弦值是.
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证；
（2）三种情况，在中，利用余弦定理证明即可.
【详解】（1）已知，由余弦定理可得，
即，又由正弦定理，得，
角A，B为△ABC中内角，所以.
（2）△ABC中, ，D为BC的中点，如图所示，
①②③
已知，，求证.
证明：，中，，
解得.
①③②
已知，，求证.
证明：，所以中，.
②③①
已知，，求证：.
证明：，在中，由余弦定理，
，所以