四川省德阳市德阳中学2022-2023学年高一下学期3月第一次月考数学试题（PDF版含答案）

德阳中学校高 2022 级第二学期第一次月考数学试题
（试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题满分 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1．命题“ x0 0, x
2
0 5x0 6 0”的否定是（ ）
A． x 0, x2 5x 6 0 B． x 0, x2 5x 6 0
C． x 20 0, x0 5x0 6 0 D． x0 0, x
2
0 5x0 6 0
1 1
2．设 a，b R，则“ a b 0”是 的（ ）
a b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中最小值为 4 的是（ ）
4 4
A． y x
4
B． y sin x C． y x y tan x
4
sin x D． x x tan x

4．在如图 ABC中，AD 为 BC 边上的中线，E为 AD 的中点，则 BE （ ）
1 3 1 3
A． AB AC B． AB AC
4 4 4 4
3 1 3 1
C． AB AC D． AB AC
4 4 4 4
5．水滴是刘慈欣的科幻小说《三体 II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）
材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为
水滴.如图所示，水滴是由线段 AB, AC和圆的优弧 BC围成，其中
AB, AC恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为 1，点A到圆弧所在
圆圆心的距离为 2，则该封闭图形的面积为（ ）
2π π π 2π
A． 3 B． 3 C． 2 3 D． 2 3
3 3 3 3
x
6．函数 f x 1 e x cos
π x 的部分图象大致形状是（ ）
1 e 2
A． B． C． D．
7．已知点O是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足

OP AB AC

OA , 0, ，则点 P 的轨迹一定通过 ABC的（ ）

AB AC


A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
8．2023 年 1 月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司 openAI 发布的名为
“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深
度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网
G
络优化中，指数衰减的学习率模型为L L0D
G0 ，其中 L表示每一轮优化时使用的学习率，
L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个
指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为 18，且当训练迭代轮数为 18 时，
学习率衰减为 0.4 ，则学习率衰减到 0.2以下（不含 0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：1g2 0.3010）
A．72 B．74 C．76 D．78
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9．下列命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等
C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

D．若 A,B,C,D是不共线的四点，且 AB DC，则四边形 ABCD是平行四边形

10 a ,b | a | | b | 2,| a

．若向量 满足 b | 2 3，则（ ）

A ． a b 2 B． a
π
与b 的夹角为 3
1 C． a (a 2b) D． a b在b 上的投影向量为 2b
π
11．要得到函数 y cos

2x 6 的图象，可以将函数
y sinx的图象（ ）得到.

1 π
A．先将各点横坐标变为原来的 2 倍，再向左平移 个单位3
π
B．先将各点横坐标变为原来的 2 倍，再向左平移 个单位
3
1 2π
C．先将各点横坐标变为原来的 2 倍，再向右平移 个单位3
2π 1
D．先向左平移个 3 单位，再将各点横坐标变为原来的 2 倍
12. 给出以下命题正确命题的选项为（ ）
A．不等式 x2 mx 4 0在 x 1,2 上有解，则实数m的取值范围是m 5
y sin x B．函数

cos
x
3 6
的最大值为 2

a,a b
C．定义运算 : a b ，则 f (x) sin xb,a b 且
g(x) cos x(x R)，设 F (x) f (x) g(x)，

则 F (x)
2
的值域为 ,1
2


D．函数 f (x) 4sin2 x 4cosx 1 a ，x ,
2
，f (x) 04 3 恒有解，则a的范围是[ 4,5]
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
1
13．计算： 2a b 3 a b ______.3
f x sin x 0, π 14．已知函数 的部分图象如图所示，则 f (x) ______．
2
f x x3 5 x15．已知函数 lg 2 2 2，若实数 a b满足 f 3a f b 1 4
5 x
则 a 1 2b2 的最大值为__________. （第 14 题）
16．设函数 f (x) sin( x )，其中 0,| |

，若 cos
cos sin 2 sin 0且图象的
2 3 3

两条对称轴间的最近距离是 ．若 A,B,C是 ABC的三个内角，且 f (A) 1，则 sin B sinC
2
的取值范围为__________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10 分）已知集合 A {x | a x a 2}，集合 B {x | x 1或 x 5}，全集U R .
(1)若 a 1，求（CU A） B ;
(2)若 A B，求实数 a的取值范围.

18．（12 分）设两个非零向量 a，b 不共线．
(1)若 AB a 2b ， BC 3 a b ，CD 2a 13b ，求证：A， B，D三点共线；

(2)若 ka 12b 3a 与 kb共线，求 k的值．
19．（12 分）已知定义在R 上的函数 f (x)
ax b
2 为偶函数，且 f 0 1．1 x
(1)求 f x 的解析式；
(2)判断并用单调性定义证明 f x 在 0, 的单调性．
f (x) sin 20．（12 分）设函数 2x

3 sin
2 x 1 3 cos2 x
3 2
(1)求 f x 的最小正周期及单调递增区间；
(2)若 x
5 2
, f x 3 10 且 0 ，求 cos2x 的值. 12 3 0 3 2
21.（12 分）已知函数 f x asin x bcos x csin xcos x 1，其中 a、b、 c R．
(1)当 a b c 1时，求 f x 的值域；
(2)当 a 1，c = 0时，设 g x f x 1 g x x 3 ，且 关于直线 对称，如果当 x 0, 时，6 2
方程 g x m 0恰有两个不等实根，求实数m的取值范围；
22. （12 分）人脸识别就是利用计算机分析人脸视须或者图像，并从中提取出有效的识别
信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的
测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.已知二维空间两个点 A x1, y1 、
B x2 , y2 ，则其曼哈顿距离为 d A,B x1 x2 y1 y2 ，余弦相似度为
cos A,B x 1 x2 y 1 y 2
x2
，余弦距离：1 cos A,B .
1 y
2 x2 y2 x2 y2 x2 y21 2 2 1 1 2 2
(1)若 A 1,1 、 B 2, 2 ，求 A、 B之间的余弦距离；
π
(2)已知0 ，M 5cos ,5sin N 13cos ,13sin , P 5cos ,5sin ，
2
若 cos M ,P 5 , cos M ,N 63 ，求M 、 P之间的曼哈顿距离.
13 65
参考答案
一、单项选择题: B A C D A C D B
G
8.【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为 L 0.5 D18 ，
18
当G 18时， L 0.4，代入得，0.4 0.5 D18 ，解得D 0.8，
由学习率衰减到 0.2以下（不含 0.2），得
G
0.5 0.818 0.2，
G
0.818 0.4，
G
log0.8 0.4，18
G 18log0.8 0.4，
lg 2
log 0.4 5 lg 2 lg5 2lg 2 1因为 0.8 4 4.1 ，lg lg 4 lg5 3lg 2 1
5
所以G 73.8，故 G 取 74.
故选：B．
二、多项选择题： 9. AD 10. BC 11. AD 12. BD
4
12.对于 A，不等式 x2 mx 4 0在 x 1,2 上有解，即 x m在 x 1,2 上有解，x
因为函数 y x 4 4 在 1,2 上单调递减，则 x 4恒成立，
x x
所以 m 4，即m 4，
所以实数m的取值范围是m 4，故 A 错误.
对于 B， y sin

x

cos

x

sin x 3 cos x 2sin

x

sin ，当 x

3 6
1时，
3 3
ymax 2，所以 B 正确.
f (x), f (x) g(x) sin x,sin x cos x
对于 C，F(x) f (x) g(x) ，即 F (x) ，当 x 时，
g(x), f (x) g(x)

cos x,sin x cos x
sin 0,cos 1， F x F cos 1，所以 C 错误.
对于 D， f (x) 4sin2 x 4cos x 1 a= 4 1 cos2 x 4cos x 1 a
试卷第 1页，共 5页
=4cos2 x 4cos x 3 2 1 a, x x , ，令 t cos x ,1 ， 4 3 2
2
2 1
1
f t 4t 4t 3 a 4 t 4 a ，所以 f t 在 ,1 上单调递增，
2 2
f t f 1 4 a， f tmin fmax 1 5 a， 2
x , 2
4 a 0 a 4
当 时 f (x) 0恒有解，则 4 3

5 a 0

a 5
所以 a的范围是[ 4,5]，所以 D 正确.
故选：BD.
7 10 6 3
三、填空题： 13. a b3 3 14. sin(x ) 15. 16. ,16 4 2
2
【详解】解：由题知， cos cos sin sin cos( ) 0，
3 3 3
k ，得

k ， k Z，
3 2 6
| | ， 取 k 0，得 2 ，6
函数 f (x)

图象的两条对称轴间的最近距离是 ，
2
2 周期为T ，得 2，
T
f (x) sin(2x 得 )．
6
由 f A 1 ，得 sin(2x ) 1，
6
A是 ABC的内角，0 A ，
2A 13 2A 3 ，得 ，
6 6 6 6 2
2
A ，从而 B C

．
3 3
sinB 3 1由 sinC sinB sin( B) cosB sinB
3 2 2
sin B sinC sin(B )
3 ，
0 2 B ， B ，
3 3 3 3
3 sin(B ) 1，即 sin B sinC 3 ( ，1]，
2 3 2
3
因此， sin B sinC 的取值范围是 ,1 ．
2
试卷第 2页，共 5页
四、解答题：
17．解：（1）当 a=1时， A x |1 x 3 ，
所以 U A ,1 3, ，
又 B {x | x 1或 x 5}，
所以 U A B ,1 3, .
（2）因为 A {x | a x a 2}， B {x | x 1或 x 5}， A B，
所以a 2 1或 a 5，解得 a 3或 a 5，
, 3 5,
所以实数 a的取值范围是 .

BD BC CD 3 a b 2a 18.解：（1）证明：因为 13b 5a 10b 5AB，

又 AB， BD有公共点 B，
A， B，D三点共线；

（2）因为 ka 12b和3a kb共线，两个非零向量 a，b 不共线，

存在实数 ，使得 ka 12b

3a kb ，
k 3
，
12 k
解得 k 6．
ax b ax b
19 解：（1）由题意， f x f x ，∴ ，∴a＝0，
1 x2 1 x2
∵ f 0 1 1，∴b＝1，∴ f (x) ．
1 x2
（2） f x 在 0, 单调递减，证明如下
x x x x
设 0 x x ， f x1 f x
1 1
2 1
2 1
1 2 2 1 x2

1 1 x
2 1 ，2 x21 1 x22
∵0 x1 x2，∴ x2 x1 0， x2 x1 0，1 x21 0
2
，1 x2 0，
∴ f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ，∴ f x 在 0, 单调递减．
20

解：（1）解：因为 f (x) sin 2x 3 sin 2 x 3 cos2 x
1

3 2
sin 2x cos cos 2x sin 3 cos 2x 1
3 3 2
试卷第 3页，共 5页
1 3 1
sin 2x cos2x
2 2 2

sin 2x 1
3 2
，

f x sin 1即 2x 3 2，
所以 f (x)
2
的最小正周期为T ．
2
5
∴ f (x)的单增区间为： k ,k (k Z ) 12 12
3 1 2 1 3 1（ ）解：因为 f x0 ，即 f x3 2 0
sin 2x0 3
，
2 3 2
所以 sin 2x


3
0 ，
3 3
x 5 , 2 6因为 0 ，所以 2x0 , ，所以 cos 2x 1 sin
2
12 3 3 2 0 3
2x0 ，
3 3
cos 2x cos 2x cos 2x 所以 0 0 3 3 0 3
cos sin 2x0 sin
3 3 3
6 1 3 3 3 6

3 2 3 2 6
21.解：(1)由题意可得 f x sin x cos x sin xcos x 1，
t sin x cos x 2 sin 令 x


4
2, 2

t2sin xcos x 1
2 2
所以 ，即 f t t t 1 t 1
3 2 2
1 ，所以值域为 0, .
2 2 2 2
(2)可得 g x sin x b cos x 1 b2 sin x ，又 g x 关于直线 x 对称6
g g x 1 3∴ 1 b2 b 1 b2 b 3
6 max 2 2
∴ g x sin x 3 cos x 2sin 11 x ，令 t x , ， 3 3 3 6
,11 11 即 2sin t m在 上有两个不等实根 sin t
m
, 在 上有两个不等实根
3 6 2 3 6
y sin t, t ,11
3 A , ,B 11 1 的图象如下，其中点 ,

3 6 3 2

6 2
试卷第 4页，共 5页
3 m m 1
所以 1或 1
2 2 2 2
解得 2 m 1或 3 m 2
22 解：（1）因为 A 1,1 、 B 2, 2 ，所以cos A,B = 1 × 2 + 1 × 2 =0，
2 2 2 2 2 2
所以 A、 B间的余弦距离为1 cos A,B =1 .
2 2 2 2
（2）因为 5sin 5cos 5 ， 5sin 5cos 5 ，
cos M , P 5cos 5cos 5sin 5sin 所以 cos 5 .
5 5 5 5 13
0 2 12因为 ，所以 sin = 1 cos = .
2 13
13sin 2 2因为 13cos 13 ，
cos M ,N = 5cos 13cos + 5sin 13sin 63所以 cos = .
5 13 5 13 65
因为0
π π
，则 0，
2 2
所以 sin = 1 cos2 = 16 .
65
因为cos cos cos cos sin sin 3 ，
5
sin 4 1 cos2 ，所以M 3,4 .
5
因为 cos + =cos cos sin sin = 33，
65
sin sin cos cos sin 56 ，
65
所以 P
33 56
, .
13 13
3 33 + 4 56 = 72 + 4 = 76因为 13
，
13 13 13 13
76
所以M 、 P之间的曼哈顿距离是 13 .
试卷第 5页，共 5页