(共10张PPT)
6.2几何平均数与算术平均数
（第二课时）
--利用均值不等式求最值
引入
请同学们帮我女儿解决这样一个难题：
上周末，我女儿的数学老师布置了一个家庭作业，用20厘米长的铁丝制作一个矩形，并猜测怎样设计长和宽才能使做出的矩形的面积最大？
我女儿做了如下几种情况的矩形
(1)
(2)
(3)
（1）长为8，宽为2
（3）长为6，宽为4
于是她就猜想出结果： 矩形面积最大值为24
（2）长为7，宽为3
即x+y=10， 因面积P=xy, 由基本不等式得 x+y≥2 ,
即P=xy≤ =25（定值）
9
16
21
25
xy
在周长给定后，长x和宽y的和x+y不变(定值)，但长和宽还可以在一定范围内变化，这样面积也在变，面积xy的取值构成一个集合，但集合中每个元素的数值不超过25，且在x=y=5时，即是正方形时面积等于25，所以面积的最大值为25
例1、 已知x、 y都是正数，
(1)如果和x+y是定值S，
积xy有
最大值
那么当x=y时，
(2)如果积xy是定值P，
那么当x=y时，
和x+y有最小值2
在两个证明中的关键步骤 和
都出现一端是定值，限定了另一端的变化的范围，这是用不等式求最值的重要依据。
求证:
例1、 例2、判断正误
（1）函数y=x+ 的最小值为2
（2）已知1≤x≤3, 2≤y≤4,则当x=y=3时，xy有 最大值9
（3）函数y= 的最小值为2
利用均值不等式求最值应注意三点：
ⅰ）条件（或目标）式中各项必须都是正数;
ⅱ)目标式中含变数的各项的和或积必须是定值（常数）；
ⅲ）等号成立的条件必须存在.
例题1的变式
例题3 （1）已知m 、n都是正数，且
2m+n=3，求mn的最大值
（2） 若正数x，y满足6x+5y=18，
求xy的最大值．
目标式
练习1、（1）已知y=x(1-x) ,(0
y的最大值
练习2、（1）求函数y=x+ 值域
（2）y=x(1-2x) ,(0的最大值
（2）求函数y=x+ 值域
例题1的变式
课堂小结：
利用均值不等式求最值应具备三个条件，简单概括就是三个字：正、定、等
正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；
求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
作业4、5、6、7
补充练习
1．已知a、b是实数，且a+b=4, 求2a+2b的最小值
2．求函数y=x+ 的 值域
3．已知a、b是正数 ，且a2+ =1，求a 的最大值
4．y=3x+ 的最小值
5．y=2x ,(0课题：含有绝对值的不等式
1. 绝对值的概念
|a|=
( a>0 ),
( a =0 ),
(a <0 ) .
｛
a
0
-a
2. |a|的几何意义：
数轴上表示实数a的点与原点
间的距离.
基础知识回顾
3. 绝对值的基本运算性质
4. 含绝对值不等式的解法
(１) 若a >0,则 |x|﹤a -a-a
a
o
（２）若ａ＞０，则｜ｘ｜＞ａ
Ｘ＞ａ或ｘ＜－ａ
a
-a
o
定理引入
试考虑两数和的绝对值与两数绝对值的和与差的关系，请填表观察．
０
１
１
２
－１
－２
２
－３
－３
１
１
３
３
５
４
１
３
３
１
２
－１
－１
－１
－１
２
ａ
ｂ
｜ａ｜＋｜ｂ｜
｜ａ＋ｂ｜
｜ａ｜－｜ｂ｜
｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜
定理证明
证法二
先证:｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜
下面证明:｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜
定理变式
变形: 把定理中的a换为b,b换为a,定理可变式为
|b|-|a|≤|a+b| ≤|a|+|b|
变形:结合定理和变形又可变式为
︱|a|-|b|︱≤|a+b|≤|a|+|b|
｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜
把定理中的b换为-b可变形为
|a|-|-b|≤|a-b| ≤|a|+|-b|
（5）|a+b|-|a-b| 2|a| |a+b|+|a-b|
≤
≤
|a+b|-|a-b| 2|b| |a+b|+|a-b|
≤
≤
试一试
1.若|a-c|(A) |a-b|<2h (B) |a-b|>h
(C) |a-b|h
2. 已知 |a-c|<1 , 求证 |a|< |c|+1
A
提示：|a|= |a-c+c|≤|a-c|+|c|<1+|c|
定理应用
例2 已知函数y=|x|-|x-3| ,求函数的值域
解法1 : 利用函数法
-3
3
3
0
x
y
通过图像观察函数的值域为[-3，3]
解法2 利用不等式法
由 | |x|-|x-3| |≤| x-(x-3) |
=3得：
-3≤|x|-|x-3|≤3
∴-3≤y≤3, 即y∈[-3,3]
2.函数y=|x|-|x+3|的值域是
3.函数y=|x-2|-|x-3|的值域是
＜
＜
[-3，3]
[-1，1]
小结
本节课我们主要学习了以下主要内容
1.绝对值不等式基本定理以及其2个推论.
2.绝对值不等式基本定理的主要应用，特别是在解决某些函数值域时更显优越性.
知识的建构
绝对值不 等式定理
绝对值不等式定理的两个重要的推论
应用(证明不等式,求值域
作业
课本22页习题 6.5 第1，2，3 题.(共15张PPT)
综合法证明不等式
重点：综合法证明不等式的原理和思维特点
难点：综合法证明不等式的方法操作
1. 理解用综合法证明不等式的原理和思维特点.
2. 掌握由学过的基本不等式来证明新的简单的不等式.
3. 培养学生对数学知识的理解能力，应用能力及论证能力
一.教学目标
二.重难点分析
1. 求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca
2. 已知a,b,c是正数，
求证：a(b2+c2)≥ 2abc
课前练习
综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.
综合法证明不等式
例1.已知a,b,c是不全相等的正数，
求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc
证明：∵b2+c2≥ 2bc，a＞0
∴a(b2+c2)≥ 2abc ①
同理 b(c2+a2) ≥ 2abc， ②
c(a2+b2)≥ 2abc ③
因为a,b,c不全相等，所以b2+c2≥ 2bc，c2+a2≥ 2ca，a2+b2≥ 2ab，三式不能全取等号，从而①②③也不能全取等号.
∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc
说明：
2. 条件a,b,c是不全相等的正数，所以最后所证不等式取不到等号.
1. 综合法的思维特点是：由已知推结论.用综合法证明不等式中常用的重要不等式为：① ②a2≥0
③a2+b2≥ 2ab(a,b∈R)④
⑤ (a,b同号)⑥
1. 已知a,b,c∈R，求证：a2b2+b2c2+c2a2≥ abc( a+b+c)
2. 已知a,b,c∈R+，求证： ≥ a+b+c
答案1
答案2
练习：
例2. 已知a,b,c是互不相等的正数，且 abc=1,
求证:
证明：∵a,b,c是互不相等的正数，且abc=1,
∴
同理得：
三式相加即得：
练习：
提示:左边=
=
求证:
已知a,b,c是不全相等的正数，
课堂小结
1. 综合法证题方法：由已知推结论.这里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性质.
2.用综合法证题过程中要适当将原不等式变形，使其转化为易证的不等式.
3.运用不等式的性质和已证过的不等式时，要注意他们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误.
作业
已知a,b,c∈R+且a+b+c=1,
求证(1-a)(1-b)(1-c) ≥8abc.
2. 已知a,b∈R+且a+b=1,
求证(ax+by)(ay+bx)≥xy
3. 已知a,b,c∈R，
求证：a4+b4+c4≥ a2b2+b2c2 +c2a2
祝同学们学习愉快！
∵a2b2+b2c2≥2ab2c ， b2c2+c2a2≥2abc2，
a2b2 +c2a2≥ 2a2bc
上述三个不等式相加得：
a2b2+b2c2+c2a2≥ abc( a+b+c)
返回
证明：
证法一:先证a2b2+b2c2+c2a2≥ abc( a+b+c)
又∵a,b,c∈R+，∴abc＞0由不等式性质，不等式的两边同除以abc得证.
证法二: ∵a,b,c∈R+，
∴
上述三式相加得证
返回
证明：(共28张PPT)
不等式的证明
学习目标
1.理解用比较法证明不等式的理论依据，掌握利用比较法证明不等式的的一般步骤。
2.理解用综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点。掌握用综合法、分析法证明不等式的方法和步骤。
3.培养对数学知识的理解能力、应用能力及论证能力。
复习1：两个实数比较大小的方法
方法1：作差法
理论根据：
操作方法：“作差——变形——判断符号”
方法2：作商法
理论根据：
操作方法：“作商——变形——判断商式大于1或小于1”
方法一：比较法（比差法和比商法）
思考题：
建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10％，并且这个比越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积与地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？请说明理由。
复习2：不等式的性质
复习3：常见的基本不等式
方法二：综合法
依据题设的条件与常见的基本不等式，以及不等式的性质，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的不等式，这种证明方法叫做综合法。
注意：利用综合法证明不等式时，要求同学们要在理解的基础上牢记我们学习的常见的基本不等式，并正确选择，灵活应用不等式的性质进行一系列变换，推导出要求证的不等式。综合法的思路是“由因导果”。
从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法。
方法三：分析法
注意：（1）分析法证明问题的特点：执果索因.（2）证明某些不等式用综合法有时比较困难，通常用分析法.（3）在证明不等式时，分析法占有重要位置，有时我们用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明的过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法.
注意：在用分析法证明不等式时，除了平方必先定符号外，还要注意在移项时必须保证平方后能够消去更多的项，否则会使化简证明更困难。比如这样证就不好，
思考题：
1.
2.
3.
小结
1.这节课我们学习了证明不等式的三种方法即比较法、综合法、分析法，其中比较法有比差法和比商法。对于综合法和分析法要求同学们记忆重要的基本不等式并能够熟练运用不等式的性质。
2.要注意综合法是“由因导果”、分析法是“由果索因”。
3.证明某些不等式用综合法有时比较困难，通常用分析法.在证明不等式时，分析法占有重要位置，有时我们用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明的过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法.(共10张PPT)
不等式的性质
复习回顾
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．
在图中，点A表示实数a，点B表示实数b,点A在点B右边，那么a＞b．
B
A
a
b
B
A
a
b
若a＞b，则a－b是正数；逆命题也正确．
类似地，若a＜b，则a－b是负数；
若a=b，则a－b=0．它们的逆命题都正确．
这就是说：
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主要内容．
求差比较法
比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则．
比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．
接下来，我们通过具体的例题来熟悉求差比较法．
例题讲解
例1 比较 与 的大小．
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小．
解：
∴
例2 已知x≠0,比较 与 的大小．
分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被忽略．
由 得 ，从而
请同学们想一想，如果没有 这个条件，那么比较的结果如何？
课堂练习
1．比较 的大小．
2．如果 ,比较 的大小．
与 的大小．
3．已知 ，比较
课堂小结
通过本节学习，大家要明确实数运算的符号法则， 掌握求差比较法来比较两实数或代数式的大小．
课后作业
习题6．1的1，2，3题．(共18张PPT)
不等式（一）
专题复习
知识点和考试水平
知识点 考试水平
A B C D
1.不等式的性质 √
2.算术平均数与几何平均数 √
3.不等式的证明 √
4.不等式的解法 √
5.含有绝对值的不等式 √
会考考试要求
1、能够比较差容易确定符号的两个代数式的大小。
2、理解不等式的性质定理及其推论，能够直接套用性质定理及其推论去判断两个代数式的大小关系。
3、掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于他们的几何平均数的定理，且会简单的应用。
4、掌握求差比较法、综合法、分析法证明简单的不等式。
5、掌握二次不等式，简单的绝对值不等式和简单的分式不等式的解法。
6、理解不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
重点内容
这些性质是推导不等式其他性质的基础，也是证明不等式的依据。
不等式的主要性质有：
①、对称性： 传递性：_________
②、 ，a+c＞b+c
③、a＞b， ， 那么ac＞bc；
a＞b， ，那么ac＜bc
④、a＞b＞0， 那么，ac＞bd
⑤、a＞b＞0 那么 （条件 ）
⑥、|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
证明不等式的主要依据有：
① a －b＞0 a＞b， a－b＜0 a＜b
②不等式的性质；
③几个重要不等式：
a2≥0
（当且仅当 时取等号）；
a2＋b2≥2ab
（当且仅当 时取等号，a，b∈ ）；
≥
（条件 当且仅当 时取等号。
重点内容
证明不等式的方法：
1、求差比较法： “最基本的方法” (重点掌握）
2、综合法：“主要方法”（执因索果）
3、分析法：“常用方法”（特别注意格式，执果索因）
4、求商比较法：（一般了解）
重点内容
一元二次不等式的解法
a、移项，使不等式右边为0；分解因式，保证x的系数为正；b、令各因式等于0，求出x； c、在数轴上按从小到大顺序标出每一个根，重复的根要重复标；d、画曲线（从右上角开始）；e、写解集。 （数轴上方大于0，下方小于0，数轴上的点使不等式等于0）
2、标根法：步骤：
1、分解因式符号法则法（参考教材，比较麻烦）
重点内容
分式和高次不等式的解法——标根法
a、分解因式，保证x的系数为正；
b、令分子，分母等于0，求出x；
c、在数轴上按从小到大标出每一个根，重复的根要重复标；
d、画曲线（从右上角开始）；
e、写解集，数轴上方大于0，下方小于0，数轴上的点使不等式等于0。
重点内容
含绝对值的不等式的解法：
1、两边平方法：例如|x－1|＜3
2、公式法：
若 ，则 |x|＜a （ 其中 a＞0）
|x|＞a（a＞0）那么____________
|x|＜a在a≤0时解集是φ，
|x|≥a在a≤0时解集是R
特别注意a≤0的情况要特殊处理
重点内容
不等式性质的主要应用——求最值
理论依据
不等式性质的应用
1、两个正数，和为定值，积有最大值；
2、两个正数，积为定值，和有最小值。
重点内容
例 题
1、对于实数a,b,c，判断下列命题的真假
①c－b＞c－a，那么b＞a
②a＞b＞0，则
③a＞b，则ac＞bc
④ac2＞bc2，则a＞b
⑤a＞b， 则a＞0，b＜0
⑥a＜b＜0，则|a|＞|b|
（× ）
（ × ）
（ ×）
（ √）
（ √ ）
（ √）
例 题
2、设a＞0，b＞0，用求差比较法和综合法证明：
≥a＋b
证明：∵ －（a＋b）＝（ －a）＋（ －b）
＝ ＋
＝（b2－a2）（ ）
＝ （b－a）2（b＋a）
又∵ a＞0，b＞0，∴ ＞0，b＋a＞0，而（b－a）2≥0
∴ （b－a）2（b＋a）≥0 即 ≥a＋b
证明二：综合法
∵ a＞0，b＞0
∴ ＋a≥2 ＝2b ①
＋b≥2 ＝2a ②
①＋②得 ＋ a ＋ ＋b ≥2a＋2b
∴ ＋ ≥a＋b
例题
3、已知x＞1，求x＋ 的最小值以及取得最小值时x的值。
解：∵x＞1 ∴x－1＞0
∴x＋ ＝（x－1）＋ ＋1
≥2 ＋1＝3
当且仅当x－1＝ 时取“＝”号。于是x＝2或者x＝0（舍去）
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
上述解法正确吗？为什么？
4、若实数 满足 ，
则 的最大值是（ ）
等号成立的充要条件是 m＝x 且n＝y ，但由于 a≠b ，故等号不能成立，因此， （a＋b）/2 不是最大值，这告诉我们一条重要经验：使用平均值不等式求最值时，一定要认真研究等号能否成立。
有最大值
时，
则
正解: 设
例 题
B
例题
5、解不等式 ≥2
解：不等式等价于 ≥0
即
≤0
15
5
3
2
由标根法知原不等式的解是
即
≤0
课 后 练 习
2、a∈R，b∈R，用求差比较法和综合法证明：a2＋b2≥2a＋2b－2。
1、解不等式：
（2x＋1 ） （ x2＋2x－8 ）＞0
3、a∈R+，b∈R+，2a＋3b=2,求 ab的最大值及取得最大值时a，b的值(共18张PPT)
不 等 式 的 证 明
数学更高的价值在于培养纯粹的思维能力，启发人们向往理念的端倪;便于将灵魂从变化世界转向真理的实在.
柏拉图 《理想国》
不等式的证明方法简介
1、比较法：作差比较与作商比较
2、综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立的方法。
3、分析法：从要求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即由果上索因。
4、函数性质法（如函数单调性等）
5、放缩法
6、构造法（构造几何图形、方程或函数等）
7、反证法
已知：
求证：
在 上是增函数，
当 时，有
即
证明1：
（构造函数法）
设
练习：若
且
求证：
证明：
易证函数
在
上单调递减。则
故 在 与1之间，
分
与1为定比
证明2：
（构造公式法）
即
又
（构造几何图形）
证明3：
如图，作 使
连接OF交AB的延长线与E。
连结AC、BD相交与O，延长CD到F，
世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步步推进，以至它的每个命题都是绝对不容置疑的…
——爱因斯坦
上帝是一个几何学家，他按照几何的模式来创造了世界.
柏拉图
练习：若
则
证明：如图，设A（1，a），B（1，b），则
y
x
O
A
B
证明：要证
只需证
即
也即
而
成立
所以原不等式成立
（分析法）
证明：
（综合法）
谢 谢(共19张PPT)
含有绝对值的不等式
问题
我们在初中学过绝对值的有关概念，
请说出绝对值是怎样定义的？
当 时，则有：
那么 与 及 的大小关系怎样？
问题
这需要讨论：
当
综上可知：
当
当
问题
我们已学过积商绝对值的性质，
哪位同学能回答？
或 .
当 时，有：
定理探索
我们猜想：
和差的绝对值不一定等于绝对值的和差，
怎么证明你的结论呢？
定理探索
用分析法，要证 ，
只要证
即证
而 显然成立，
故
那么怎么证 ？
同样可用分析法，
定理探索
当 时，显然成立，
当 时，要证
只要证 ，
即证
而 显然成立．
从而证得 .
定理探索
还有别的证法吗？
由 与 ，
得 .
用 可得什么结论？
当我们把 看作一个整体时，
上式逆
定理探索
证明 吗？
能用已学过得的
可以 表示为
即
即 .
就是含有绝对值不等式的重要定理，
推论
由于定理中对 两个实数的绝对值，
那么三个实数和的绝对值呢？
个实数和的绝对值呢？
亦成立
对 没有特殊要求，如果用 代换
这就是定理的一个推论，由于定理中
会有什么结果？
推论
用 代 得 ，
即
这就是定理的推论
成立的充要条件是什么？
那么 成立的充要条件是什么？
例题
求证 .
例1 已知 ，
求证 .
例2 已知 ，
证明：
例题
例3 求证 .
证明：在 时，显然成立.
当 时，左边
练习
②已知 求证 .
1．①已知 ，求证 .
② .
① ；
2．已知 ，求证：
3．求证 .
小结
、 看作是三角形三边，很象三角形两边
把 、
1．定理 .
之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样
理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可
以推广到比较复数的模长，并有其几何意义，
有时也称其为“三角形不等式”.
小结
用定理 及其推论．
2．平方法能把绝对值不等式转化为不含绝
对值符号的不等式，但应注意两边非负时才可
平方，有些证明并不容易去掉绝对值符号，需
3．对
要特别重视.
作业
1．若 ，则不列不等式
C． D．
A． B．
一定成立的是（ ）．
2．设 为满足 的实数，那么（ ）．
A． B．
C． D．
作业
3．能使不等式 成立的正整数 的
值是__________.
（2） .
（1） ；
4．求证：
求证 .
5．已知 ，(共16张PPT)
含参数不等式的解法
例1．解关于x的不等式
分析：
解：
原不等式可化为：
参变数可分为三种情况，即 ，分别解出当 时的解集即可。
当 时,则
当 时,则
当 时,则原不等式变为:
例2．解关于x的不等式
分析：
原不等式可化为:
则原不等式的解集应 之外,但是 谁大 需要讨论.而 ,
解:
原不等式可化为:
例3. 解关于x的不等式
分析：
原不等式可转化为：
先分 或 或 三种情况再具体分析
解：原不等式可转化为：
当 时，则不等式可化为：
原不等式的解集为：
当 时，则不等式可转化为：
原不等式的解集为
当 时，则原不等式可化为：
例4.解关于x的不等式
分析：
因为a作为对数的底数，故a的取值为
所以要分成
两种情况进行讨论．
解：
原不等式可化为：
当 时，原不等式等到价于不等式组：
当 时，原不等式等价于不等式组：
综上所述，当 时，不等式的解集为：
当 时，不等式的解为：
课堂练习：
小结:
1、解含参数的不等式,往往要对参数的取值进行分类讨论,分类讨论要做到不重、不漏。
2、不等式的解集按参数的分类写出，千万不可合并
作业：(共26张PPT)
一元二次不等式解法（1）
问题
1.一次函数y= ax＋b （a≠0）的图象是什么？
2.二次函数 y= ax2＋bx＋c （a≠0）的图象是什么？
答案
1.一次函数y= ax＋b （a≠0）的图象是一条直线;；
2.二次函数 y= ax2＋bx＋c （a≠0）的图象是一条抛物线。
一元二次不等式的解法
=
=
<
<
>
>
一元一次不等式可用图象法求解
方程的解即函数图象与x轴交点的横标，不等式的解集即函数图象在x轴下方或上方图象所对应x的范围。
一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系:
=
=
>
>
>
>
X=-2或x=3
｛x|x<－2或x>3｝
｛x| -2问：
方程ax2＋bx＋c=0、
不等式ax2＋bx＋c <0、
或ax2＋bx＋c >0
与函数y= ax2＋bx＋c的图象有什么关系？
方程的解即函数图象与x轴交点的横标，不等式的解集即函数图象在x轴下方或上方图象所对应x的范围。
方程的解即函数图象与x轴交点的横标，不等式的解集即函数图象在x轴下方或上方图象所对应x的范围。
利用二次函数图象能解一元二次不等式！
问：y= ax2＋bx＋c（a>0）与x轴的交点情况有哪几种？
Δ>0 Δ=0 Δ<0
请同学们完成下表:
一元二次方程、不等式的解集
解不等式应用举例:
2x2－3x－2 > 0；
－3x2＋6x > 2；
4x2－4x＋1 > 0；
－x2 ＋2x－3 > 0。
例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ >0,
方程的解2x2－3x－2 的解是
所以,不等式的解集是
2x2－3x－2 > 0
－2x2＋3x＋2 > 0
-2
3
2x2－3x－2 ≤ 0
2x2－3x－2 < 0
利用一元二次函数图象解一元二次不等式
其方法步骤是:
先求出Δ和相应方程的解，
再画出函数图象，根据图象写出不等式的解。
若a<0时,先变形!
例2.解不等式 －3x2＋6x > 2
略解: －3x2＋6x > 2
3x2－6x＋2 < 0
例3.解不等式 4x2－4x＋1 > 0
解:因为△ =0,方程4x2－4x＋1 =0的解是
所以,原不等式的解集是
4x2－4x＋1 <0
无解
例4.解不等式 －x2 ＋2x－3 > 0
略解: －x2 ＋2x－3 > 0
x2 -2x+3 < 0
无 解
x2 -2x+3 >0
课堂练习
课本P20.1、2、3
练习 课本P20.1、2、3
（1） ，
（2） ，
（3） ф
2 . (1)
(2)
(3)
3.
利用一元二次函数图象解一元二次不等式
其方法步骤是:
先求出Δ和相应方程的解，
再画出函数图象，根据图象写出不等式的解。
若a<0时,先变形!
课后：
（1） 作业 P21.习题1.5 1、3、5；
（2） 归纳一元一次不等式的解集；
（3） 预习 P20.~P21。
预习提纲
(1) 一元二次不等式能否可化为不等式组来解
（2）简单的分式不等式如何求解？(共16张PPT)
第一课
(不等式练习-1)
第二课
一、一元二次不等式
第二课
三、
四、
(不等式练习-2)
第三课
(不等式练习-3)
、葚础训练题
1.下列函数中,y的最小值为4的是()
(A)y=r+
(B)y=2(2+2-)
(C)y=
2(x2+5)
x2+4
(D)y=sinr+-(oSIO
2.若ab为正数,且a≠b,m,n∈N,则差式
(a"+"十b"+")一(a"b”+a"b")的符号是
(A)恒正
(B)恒负
(C)与ab的大小有关
(D)与(m+n)的奇偶性有关
3函数y=4x+,当x>0时,它有最
tx<0时,它有最值
4.要用50米篱笆在一个墙角处建造一个长方
形的牲畜围栏,则当围栏的长为米,宽为米
时國栏的面积最大,最大值为
2如图所示,有
块铁皮,在直角坐标平面
内其边缘由x轴上的线
段和函数y=3
2√9-xMc1oDx
的图象构成,现要将这块快皮加工成如图所示的矩
形部件,求矩形的最大面积以及取得最大面积时矩
形的边长
三、练习题
1.若a>b则在如下四个不等式①<②
a3>b③lg(a2+1)>lg(b2+1);④2>2·中,正确
的有
(A)②和③
(B)①和③
(C)③和④
D)②和④
2.设0则
(A)M(B)Q(C)Q(D)M3.函数y=4x+在区间,+上有最
小值
,此时x=
;函数
2x4+8
(x≠0)有最大值
,此时x=
4.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的
对应边,若∠C=90,则9十的取值范围是
5若xy为正实数,且2x+3y=10,则lgx+
gy的最大值为
7.(1)已知x,y为正实数,且2x+y=1,求证
2+≥3+2√2,并求等号成立时x,y的值
(2)已知x≥0,y≥0且2x+y=1,求3x2+2y
的最大值与最小值
分式不等式
顾目
内容
一般地,分母中含有未知数的不等式,叫
定义
做分式不等式
般f(x)
>0或
f(r)
形式g(x)
8(x)<0
0(或<0)f(x)·g(x)>0(或<0)
法(2)
fc
g(x)=0(或≤0)
心ff(x)·6(x)≥0(或≤0)
g(x)≠0
(1)要注意将原分式不等式转化为
f(x)
g(r
0(或<0)的形式
(2)要确定值域和排除分母为零的情况
(3)也要将分式不等式转化为不等式组
解之.例如:
f(r)
0转化为
g(x)
说明
8(x)>0①或
/(x)<0
g(x)<0
(x)<0转化为ff(x)>0
g(x)<0①或
f(x)<0
g(x)<0
然后取①和②的解集的并集,即为原分
式不等式的解集