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19.2 菱形
2.菱形的判定
学习目标：
1.理解并掌握菱形的定义及两个判定定理；
2.会用这些判定方法进行有关的论证和计算；
3.培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力。
学习重点：菱形的两个判定定理．
学习难点：判定定理的证明及运用．
学习过程：
一、知识回顾：菱形有哪些特殊性质？
边：__________________________;______________________________
角：__________________________;______________________________
对角线：_____________________________;______________________________
二、合作探究
探究一：菱形的判定方法一
1.菱形的定义：
有 的 叫做菱形。
2.用符号语言可以表示为：
∵四边形ABCD是 四边形 ∵ ＝ ， ∴□ ABCD是菱形
3.由菱形的定义可以作为菱形的判定方法一。
探究二：菱形的判定方法二
( 画图)自学教材114页试一试部分内容）
2.你发现四边形ABCD四边的关系是： D
3.（猜想）四边相等的四边形ABCD是一个_____形。
4.（证明）证明：“四边相等的四边形是菱形” A C
已知：在四边形ABCD中，____=____=____=____
求证：四边形ABCD是_____。 B
证明：
5.（总结）菱形的判定方法二(定理1）: 。
用符号语言表示为：在四边形ABCD中，
∵ ____=____=____=____
∴四边形ABCD是 形
探究三:菱形的判定方法三
阅读教材116-117页“探究”部分内容并完成下面各题。
由“在一长一短的木条中点处固定一个小钉”可知： = ， =
∴四边形ABCD是 四边形
2.转动两根木棒，当它们的夹角= °时即___ ⊥ ___时，四边形变成了菱形。
3.（猜想）对角线互相 的平行四边形是菱形。
4.请利用下图证明你的猜想：
已知：如图，在□ABCD中，AC和BD是对角线，并且AC⊥BD于点O,求证：□ABCD是菱形。
5.总结写出菱形判定方法三（定理2）:
结合上图用符号语言可以表示为：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC BD，∴□ABCD是菱形
三、新知应用
1.判断下列说法是否正确。
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
(2)一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）
(3)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
(4)对角线相等的四边形是菱形（ ）
2、已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形。
四、自学小结：
1、菱形的判定方法一：
2、菱形的判定定理一：
3、菱形的判定定理二：
五：拓展延伸
1、已知：如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，
求证：四边形EFGH是菱形。
2、如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6
求证:四边形ABCD是菱形。
3、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．
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根据菱形的定义,可得菱形的第一个 判定的方法
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
数学语言：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
还有其它方法吗
探究新知
矩形与菱形
矩形 菱形
定义
有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
具有平行四边形的一切性质
性质
边
角
对角线
四个角都是直角
相等
互相垂直且平分每一组对角
判定
有一角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
三个角都是直角的四边形
四条边都相等
知识回顾
你的想法正确吗？
如何证明你的猜想？
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？说出你的理由
猜想：有四条边相等的四边形是菱形。
A
B
C
D
O
探究新知
命题：有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形
D
A
B
C
证明：
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
猜想论证
菱形的判定定理1：
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=DA
A
B
C
D
菱形ABCD
∵在四边形ABCD中AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
四边形ABCD
A
B
C
D
数学语言
论证归纳
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
探究新知
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
已知：在 中，AC ⊥ BD
ABCD
ABCD
求证： 是菱形
A
B
C
D
O
∟
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD;
∴BA=BC
∴ ABCD是菱形
猜想论证
菱形的判定2： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
∵在□ABCD中，AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
数学语言
论证归纳
1、判断下列三个图形是菱形吗
5
5
3
4
3
4
5
5
5
5
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
有四条边相等的四边形是菱形。
3
3
4
4
┍
新知应用
2、判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等
的四边形是菱形； （ ）
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一
组对角的四边形是菱形． （ ）
╳
√
╳
╳
∟
A
D
B
C
∟
A
B
C
D
新知应用
1、□ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，BO＝3。
求证：□ ABCD是菱形。
方法3：四条边相等的四边形
是菱形。（判定定理2）
方法1：一组邻边相等的平行四边形
是菱形（定义）
方法2：对角线互相垂直的平行四边形
是菱形 (判定定理1）
交流：你用的是哪一种方法？你认为哪一种方法最好？
独立思考：你用哪一种方法？
新知应用
1、已知 □ ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别添加下列条件：（1）∠ABC=900 （2）AC ⊥BD （3）AB=BC （4）AC平分∠BAD （5）AO=DO 使得四边形ABCD是菱形的条件的序号有_________
2 、下列条件中,不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形的是（ ）
Ａ、AC⊥BD ，AC与BD互相平分
Ｂ、AB=BC=CD=DA
Ｃ、AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ、AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
(2) (3) (4)
C
B
O
A
D
C
课堂练习
3、□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形； （2）若AC=BD，则□ABCD是 形； （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形； （4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。
A
B
C
D
O
矩
菱
矩
菱
课堂练习
（1)下列命题中正确的是（ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
（2）对角线互相垂直且平分的四边形是（ ）
A.矩形 B.一般的平行四边形
C.菱形 D.以上都不对
C
（3)下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
C
课堂练习
24㎝
菱形
5、一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四边形为 ，其面积为 。
A
B
C
D
E
F
6、如图在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD
则CE CF，BE DF。
＝
＝
课堂练习
四条边都相等
菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
一组对边平行且相等
两组对边分别平行或相等
四边形
平行四边形
两组对角分别相等
每条对角线平分一组对角
知识小结
1、如图 ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6
求证:四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
∴四边形ABCD是菱形.
∴OA=OC=4 OB=OD=3
证明:
又∵AB=5
∴AC⊥BD
∴∠AOB=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AB2=AO2+BO2
课后作业
2、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形
∴ □AEDF是菱形
证明：∵DE∥AC DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∵ DE∥AC
∴∠2=∠3
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠1=∠2
∴AE=DE
∴ ∠1=∠3
课后作业
3、如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
∵点E、F、G、H为各边中点
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形
课后作业
由菱形的性质：“每条对角线平分一组对角”，我们还可以得到判定菱形的方法：
每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
对此感兴趣的同学，可以试着用逻辑推理的方法进行证明．
拓展应用
