尖山中学校2022-2023学年高一下学期3月第一次月考
数学试卷
考试时间：120分钟
一、单选题(5×8=40)
1．已知角的终边与单位圆的交于点，则为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，向量在方向上的投影是（ ）
A．12 B．4 C．－8 D．2
3．函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的非奇非偶函数 D．最小正周期为的偶函数
4．如图，正方形中，分别为的中点，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中正确的个数是（ ）
①起点相同的单位向量，终点必相同； ②已知向量，则四点必在一直线上；
③若，则； ④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
A．0 B．1 C．2 D．3
6．当，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．的值等于（ ）．
A． B． C． D．
8．函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．函数的解析式为
B．函数的单调递增区间为
C．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度
D．函数的图象关于点对称
二、多选题(5×4=20,全对的得5分，部分对的得2分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的是（ ）
A．若的终边上的一点坐标为（），则
B．若是第一象限角，则是第一或第三象限角
C．若，，则
D．对，恒成立
10．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象关于点对称
12．在平行四边形中，若，则（ ）
A． B．
C． D．若
三、填空题(5×4=20)
13．已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为_____．
14．化简：_____．
15．若，且，则________．
16．已知函数，且，，则______．
四、解答题(17题10分，18、19、20、21、22题12分)
17．已知平面向量，，
(1)若，求实数x的值；
(2)若，求实数x的值．
18．已知角的终边经过点，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
19．已知函数的部分图象如图.
(1)求的表达式;
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线,把上各点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍得到函数的图象.若关于的方程在恰有一个实数解,求实数的取值范围.
已知向量和，，且，求的值.
21．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：m）（在水面下，d则为负数）．若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位： ）之间的关系．
(1)求A、、、K的值；
(2)求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
22．某种波的传播是由曲线来实现的，我们把函数解析式称为“波”，把振幅是A的波称为“A类波”，把两个解析式相加称为“波的叠加”．
(1)若是“2类波”，求当时此函数的值域；
(2)将两个“1类波”，叠加后，会形成“A类波”，求A的值.高2025级高一下第一次月考
参考答案：
1．A
【分析】直接利用三角函数的定义，可得结果.
【详解】由三角函数的定义可得.
故选：A.
2．B
【分析】根据题意，结合向量投影公式直接计算即可.
【详解】记向量与的夹角为，
所以在方向上的投影为.
故选：B.
3．A
【分析】利用诱导公式化简，由此判断函数的奇偶性以及最小正周期.
【详解】，
故f(x)是最小正周期为2π的奇函数．
故选：A
4．C
【分析】根据平面向量线性运算可得，从而得到的值.
【详解】，，，
.
故选：C.
5．A
【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，
【详解】对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，
对于B，向量，则四点共线或，故B错误，
对于C，若，当时，不一定平行，故C错误，
对于D，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D错误，
故选：A
6．B
【分析】利用诱导公式和平方关系求解.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
故选：B
7．A
【分析】利用诱导公式及两角和与差的余弦公式，即可得解.
【详解】
故选：A.
8．D
【分析】由题意求出的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BD；由三角函数的平移变换可判断C.
【详解】对于A选项，不妨设，则，，
由，则，
两式相减得，所以①，
设函数的最小正周期为，因为，
所以，结合①，，
因为，所以，可得，
因为，所以，，所以，故A正确；
对于B，由，
解得：，故B正确；
对于C，将函数向右平移个单位得到，
向上平移一个单位长度可得，故C正确；
对于D，令，解得：，
函数的图象关于点对称，所以D不正确；
故选：D.
9．BC
【分析】A选项，利用三角函数定义求解余弦值；B选项，利用象限角范围进行求解；C选项，对平方后得到，进而得到；D选项，，，从而作出判断.
【详解】若，此时，故A错误；
若是第一象限角，则，，所以，，当为奇数时，此时是第三象限角，当为偶数时，此时是第一象限角，故B正确；
，两边平方得：，则，因为，所以，故，C正确；
，，故D错误.
故选：BC
10．ABD
【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得，的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得，的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.
【详解】因为，
所以，则，
因为，所以，，
所以，故A正确；
所以，
所以，故D正确；
联立，可得，，故B正确；
所以，故C错误.
故选：ABD.
11．AD
【分析】利用代入检验法可判断各选项的正误.
【详解】，所以A正确；
，故直线不是函数的对称轴，所以B不正确；
，所以C不正确；
，所以D正确.
故选：AD.
12．ACD
【分析】利用向量的线性运算、向量数量积的运算性质结合条件逐项判断即得.
【详解】∵在平行四边形中，，
∴分别为AB、AD的中点，
∴，故A正确；
因为，故B错误；
因为，故C正确；
若，则，又，
∴，
∴
∴，故D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．
【详解】根据扇形的弧长公式可得，
根据扇形的面积公式可得．
故答案为：．
14．1
【分析】结合两角和的正切公式求得正确答案.
【详解】由于，
所以，
所以.
故答案为：
15．
【分析】由得，结合倍角公式可得，由、结合角的范围排除即可.
【详解】由得，
又，则有，解得或.
∵，，∴，∴，故，故.
故答案为：
16．
【分析】根据可得函数的图象关于直线对称，再根据的对称轴求解即可.
【详解】，令，得，又，所以函数的图象关于直线对称，即．
因为，所以，，所以，所以．
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】（1）解：因为，且，
所以，解得；
（2）解：因为，所以，
又且，所以，解得．
18．（1）；（2）
【分析】（1）先求任意角的三角函数的定义求出的值，然后利用诱导公式化简，再代值计算即可，
（2）利用诱导公式化简即可
【详解】∵角的终边经过点，
∴，，．
（1）原式．
（2）原式．
19．(1)
(2)或
【分析】(1)由图象结合五点法求出函数解析式即可;
(2)由三角函数变换求出解析式,根据题意进行分离,变为与有一个交点,,对进行换元,画出函数图象,根据图象即可分析出范围.
【详解】（1）解:由图可得:,
,
,
,
,
此时:,
,
解得: ,
即,
,
故,
综上: .
（2）由(1)知,
向右平移个单位长度得到曲线:,
再将横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,变为:,
因为关于的方程在恰有一个实数解,
即有一个根,
即与有一个交点,
令,
则即在上与有一个交点,
画出图象如下:
由图可知,实数的取值范围为或.
20．
【分析】运用平面向量加法的坐标表示公式，结合平面向量模的公式，通过，可以得到，运用二倍角的余弦公式，得到，根据，可以求出的取值范围，最后求出的值.
【详解】∵，
∴
.
∵，∴.
又∵，∴.
∵，∴.∴.
∴.
【点睛】本题考查了平面向量加法的坐标表示公式、模公式，考查了辅助角公式、二倍角的余弦公式，考查了数学运算能力.
21．(1)，，，
(2)
【分析】（1）根据题意可确定的值，根据周期确定，由 时，即可求得，即得答案；
（2）由（1）可得,令其等于6，结合正弦函数性质，即可求得答案.
【详解】（1）由图可知d的最大值为6，最小值为 ，即 解得,
因为每转1圈，所以函数的最小正周期，可得，
则,因为当 时， ，即，
所以，由，可得．
（2）由（1）可得，令，得，
则，,得时,,
故至少经过后盛水筒W出水后就可到达最高点．
22．(1).
(2).
【分析】（1）由题意可知,确定，根据正弦函数的性质即可确定答案；
（2）利用两角和的正弦公式化简为，即可确定A的值.
【详解】（1）由题意知，，
故,
则函数的值域为．
（2）由题意得
，
故.
