江苏省东台市安丰中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学试题

东台市安丰中学2013-2014学年度第二学期
高二数学期中试卷
分值160分 时间120分钟
命题：徐建华 校核：万元湘
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案直接填空在答题纸相应位置上。）
1、函数定义域是__ ▲ ；
2、已知复数，则= ▲ ；
3、已知命题p:, 则为 ▲ （填“真”或“假”）命题；
4、双曲线的右准线方程为 ▲ ；
5、已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为 ▲ ;
6、(文科)已知不等式（）成立的一个充分条件是，则实数的取值范围是_____▲____;
（理科）将5名实习教师分配到高一年级的4个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有_____▲____种；（用数字作答）
7、已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ▲ ;
8、(文科)关于x的方程内恰有唯一实数解，则实数的取值范围是▲ ;
（理科）有A、B、C、D、E五位同学参加比赛，决出了第一到第五的名次。A、B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位同学的名次排列的种数为 ▲ ；
9、(文科)已知函数 ，则不等式的解集为 ▲ ；
（理科）的展开式中，若第4r项和第r+2项的二项式系数相等，则r= ▲ ；
10、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 ▲ 组；
①；②；③；④.
11、给出下列等式：，…请从中归纳出第个等式：= ▲ ；
12、已知在点处的切线方程为.请类比此结论，在椭圆中也有类似结论：在椭圆上一点处的切线方程为 ▲ ；
13、过点恰可以作曲线的两条切线，则的值为 ▲ ；
14、的最大值和最小值的乘积为 ▲ ；
二、解答题：（本大题共6小题，计90分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15、（本小题14分）、（文科）设：函数在内单调递减；：曲线与轴交于不同的两点．
（1）若为真且为真，求的取值范围；
（2）若与中一个为真一个为假，求的取值范围．
（理科）某医院有内科医生5名，外科医生4名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，
（1）一共有多少种选法？
（2）其中某内科医生甲必须参加，某外科医生乙因故不能参加，有几种选法？
（3）内科医生和外科医生都要有人参加，有几种选法？
16、（本小题14分）（文科）已知函数（）.
(I)若的定义域和值域均是，求实数的值；
(II)若在区间上是减函数，且对任意的，，总有，求实数的取值范围.
（理科）记的展开式中，的系数为，的系数为,其中
(1)求（2）是否存在常数p,q(p17、（本小题14分）、（文科）设集合为函数的定义域,集合为函数的值域,集合为不等式的解集．
（1）求；
（2）若,求的取值范围．
（理科）如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，.
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60o；
（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的m，
⊥AP，并证明你的结论.
18、（本小题满分16分）已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围．
19、（本小题满分16分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数）的图象，且点M到边OA距离为．
（1）当时，求直路所在的直线方程；
（2）当t为何值时，地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？
20、（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1、F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，且＋5＝0.
(1) 求椭圆E的离心率；
(2) 已知点D(1，0)为线段OF2的中点，M为椭圆E上的动点(异于点A、B)，连结MF1并延长交椭圆E于点N，连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连结PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1＋λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

东台市安丰中学2013-2014学年度第二学期
高二数学期中
参考答案
填空题：
1、 2、 3、假 4、 5、（1,2）
6、 ；240 7、 8、；18
9、4； 10、①④ 11、
12、 13、 0或1或9 14、
二、解答题：
15、（文科）由题意得，， ---4分
（1） ---7分
（2） ---14分
（理科） （1） ---4分
（2） ---8分
（3） ---14分
16、（文科）（1）因为函数f(x)对称轴为x=a,抛物线开口向上，在 （1，a）上单调递减，
则f(1)=a,f(a)=1,代入解得a=2 ---6分
（2）可得，显然在区间最大值应为，最小值应为
所以，解得 ---14分
（理科）（1） ---4分
（2）可用数学归纳法证明---14分
17、（文科）解：（1）解得A=（-4，2）---2分
B=---5分
所以----7分
（2）a的范围为<0 ---14分
17(理科)【解】（１）建立空间直角坐标系，则
A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m)，C(0,1,0), D(0,0,0),
B1(1,1,1), D1(0,0,2).所以
又由的一个法向量.设与所成的角为，
则=，………5分
解得.故当时，直线AP与平面所成角为60o.……7分
（２）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，
则.
依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等价于
即Q为的中点时，满足题设的要求. ……14分
18、解：（1）因为 ……2分
令得
由时，在根的左右的符号如下表所示
极小值
极大值
极小值
所以的递增区间为 ……6分
的递减区间为 ……8分
（2）由（1）得到，
要使的图像与直线恰有两个交点，只要或， ……14分
即或. ……16分
19、（1） ……6分
（2），过切点M的切线
即，令得，故切线与AB交于点；
令，得，又在递减，所以
故切线与OC交于点。地块OABC在切线右上部分区域为直角梯形， ……12分
面积，等号，。 ……16分
20、解：(1) ∵ ＋5＝0，∴ ＝5.∴ a＋c＝5(a－c)，
化简，2a＝3c，故椭圆的离心率e＝＝.(3分)
(2) 存在满足条件的常数λ，λ＝－.
∵ 点D(1，0)为OF2的中点，∴ c＝2，从而a＝3，b＝，左焦点F1(－2，0)，
椭圆E的方程为＋＝1.(5分)
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
则直线MD的方程为x＝y＋1，
代入椭圆方程＋＝1，整理，得y2＋y－4＝0.(7分)
∵ y1＋y3＝，∴ y3＝.
从而x3＝，故点P.(9分)
同理，点Q.(10分)
∵ 三点M、F1、N共线，∴ ＝，从而x1y2－x2y1＝2(y1－y2)．(12分)
从而k2＝＝＝
＝×＝k1.(15分)
故k1－k2＝0.从而存在满足条件的常数λ，λ＝－.(16分)