第十九课时 1.3.4三角函数的应用
教学目标：
（1）会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；
（2）体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。
教学重点：函数y=Asinx和y=Asinωx的图象
教学过程：
一、讲解新课：
例1教材P42例1
例2教材P43例2
例3教材P44例3
二、课堂练习：
练习1 如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+B
(1)求这段时间的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式
ω与周期有关，可通过T=求得
练习2 已知函数y=sin2x+cos2x-2
(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象
(2)求这个函数的周期和单调区间
(3)求函数图象的对称轴方程
(4)说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的第十五课时 1.3.2三角函数的图像和性质（5）
教学目标：
（1）理解并掌握作正切函数图象的方法．
（2）理解并掌握用正切函数的图象解最简三角不等式的方法．
（3）掌握正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法
教学重点：三角函数的性质
教学过程：
一、复习引入：
正切线：
首先练习正切线，画出下列各角的正切线：
正切线是AT．
现在我们来作正切函数的图象．
二、讲解新课：
正切函数的图象：
1．首先考虑定义域：
2．为了研究方便，再考虑一下它的周期：
正切函数的性质：
1．定义域：
2．值域：
3．观察：当从小于，时，
当从大于，时，
4．周期性：
5．奇偶性：是 函数
6．单调性：在开区间 内，函数单调递增
三、讲解范例：
例1比较与的大小
例2讨论函数的性质
例3求函数y＝的定义域
例4观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0
例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小
四、课堂练习：教材P35 1、2、3、4
六、课后作业：教材P49 第9题第三课时 1.1.3弧度（二）
教学目标：
（1）巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．
（2）培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力
（3）通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系．
教学重点：运用弧度制解决具体的问题．
教学过程：
一、复习引入：
1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，rad
2. 角度制与弧度制的换算：
∵ 360=2 rad ∴180= rad
∴ 1=
二、讲解新课：
1．弧长公式：
由公式： 比公式简单
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
2．扇形面积公式 其中是扇形弧长，是圆的半径。
证：如图：圆心角为1rad的扇形面积为：
弧长为的扇形圆心角为
∴
比较这与扇形面积公式 要简单
三、讲解范例：
例1．求图中公路弯道处弧AB的长（精确到1m）图中长度单位为：m
解： ∵
∴
例2．已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
解：设扇形的半径为r，弧长为，则有
∴ 扇形的面积
例3 计算和
解：∵ ∴
∴
例4 将下列各角化成0到的角加上的形式
⑴ ⑵
解：
四、课堂练习：（略）
o
A
B第十四课时 1.3.2三角函数的图像和性质（4）
教学目标：
（1）理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；
（2）会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；
（3）掌握正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法
教学重点：三角函数的性质
教学过程：
一、复习引入：
1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)
余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是
(0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1)
3．定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，
分别记作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R
4．值域
正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1
5．周期性
正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π
6．奇偶性
y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数
正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称
7．单调性
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
二、讲解范例：
例1不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0
(1)sin(－)－sin(－)； (2)cos(－)－cos(－)．
例2 求函数y＝的值域
例3f(x)＝sinx图象的对称轴是
例4(1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数
(2)函数y＝3sin(－2x)在什么区间是减函数
三、课堂练习：
五、课后作业：
y
x
o
1
-1第九课时 1.2.3诱导公式（三）
教学目标：能熟练掌握诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学会关于90 k ± , 270 ± 四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。
教学重点：诱导公式
教学难点：诱导公式的灵活应用
教学过程：
一、复习引入：
二、讲解新课：
诱导公式6：
sin(90 ) = cos, cos(90 ) = sin.
tan(90 ) = cot, cot(90 ) = tan.
sec(90 ) = csc, csc(90 ) = sec
诱导公式7：
sin(90 +) = cos, cos(90 +) = sin.
tan(90 +) = cot, cot(90 +) = tan.
sec(90 +) = csc, csc(90+) = sec
如图所示 sin(90 +) = M’P’ = OM = cos
cos(90 +) = OM’ = PM = MP = sin
或由6式：
sin(90 +) = sin[180 (90 )] = sin(90 ) = cos
cos(90 +) = cos[180 (90 )] = sin(90 ) = cos
诱导公式8：
sin(270 ) = cos, cos(270 ) = sin.
tan(270 ) = cot, cot(270 ) = tan.
sec(270 ) = csc, csc(270) = sec
诱导公式9：
sin(270 +) = cos, cos(270 +) = sin.
tan(270 +) = cot, cot(270 +) = tan.
sec(270 +) = csc, csc(270+) = sec
三、讲解范例：
例1
证：
左边 = 右边 ∴等式成立
例2
解：
例3
解：
从而
例4
解：
四、课堂练习：
1．计算：sin315sin(480)+cos(330)
解：原式 = sin(36045) + sin(360+120) + cos(360+30)
= sin45 + sin60 + cos30 =
2．已知
解：第十八课时 1.3.3函数的图像和性质（3）
教学目标：
（1）会用“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象；
（2）会用图象变换的方法画y＝Asin(ωx＋)的图象；
（3）会求一些函数的振幅、周期、最值等
教学重点：函数y=Asinx和y=Asinωx的图象
教学过程：
一、复习引入：
1．振幅变换 2．周期变换 3 相位变换:
二、讲解新课：
例1 画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图
解：(五点法)由T＝，得T＝π 列表：
描点画图：
这种曲线也可由图象变换得到：
即：y＝sinx y＝sin(x＋)
y＝sin(2x＋) y＝3sin(2x＋)
一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：
先把正弦曲线上所有的点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)
另外，注意一些物理量的概念:
A ：称为振幅；T＝：称为周期；f＝：称为频率；
ωx＋：称为相位x＝0时的相位 称为初相
例2已知如图是函数y＝2sin(ωx＋)其中｜｜＜的图象，那么
Aω＝，＝ Bω＝，＝－ Cω＝2，＝ Dω＝2，＝－
三、课堂练习：
1已知函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，0＜＜2π)图象的一个最高点(2，)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6，0)，试求函数的解析式
2已知函数y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0，｜｜＜）在同一周期内，当x＝时，y有最小值－2，当x＝时，y有最大值2，求函数的解析式
3若函数y＝f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y＝sinx的图象，则有y＝f(x)是( )
Ay＝sin(2x＋)＋1 By＝sin(2x－)＋1
Cy＝sin(2x－)＋1 Dy＝sin(x＋)＋1
四、小结 平移法过程：
两种方法殊途同归
(1) y=sinx相位变换y=sin(x+φ)周期变换y=sin(ωx+φ)振幅变换
（2）y=sinx周期变换 y=sinωx相位变换 y=sin(ωx+φ)振幅变换
五、课后作业P46 7、8
左移 个单位
纵坐标不变
横坐标变为 倍
纵坐标变为 倍
横坐标不变
作y=sinx（长度为2的某闭区间）
得y=sin(x+φ)
得y=sinωx
得y=sin(ωx+φ)
得y=sin(ωx+φ)
得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上
沿x轴平 移|φ|个单位
横坐标 伸长或缩短
横坐标伸 长或缩短
沿x轴平 移||个单位
纵坐标伸 长或缩短
纵坐标伸 长或缩短第十三课时 1.3.2三角函数的图像和性质（3）
教学目标：
（1）理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性、单调性的意义；
（2）会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；
教学重点：三角函数的性质
教学过程：
一、复习引入：
1．怎样用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象、怎样作余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象：
2．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做___________和_____________.
3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)
（1）y=cosx, xR与函数y=sin(x+) xR的图象相同
（2）将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象
（3）也同样可用五点法作图：y=cosx x[0,2]的五个点关键是
(0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1)
4．用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式
二、讲解新课：
(1)定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，
分别记作：
y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R
(2)值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，
所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即
－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］
其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝_____________，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝_____________，k∈Z时，取得最小值－1
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝_____________，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝_____________，k∈Z时，取得最小值－1
(3)周期性
正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π
(4)奇偶性
由sin(－x)＝－sinx cos(－x)＝cosx
可知：y＝sinx为奇函数 y＝cosx为偶函数
∴正弦曲线关于_____________.对称,余弦曲线_____________.轴对称
(5)单调性
从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐_____，sinx的值由_____增大到_____.
当x∈［，］时，曲线逐渐______，sinx的值由____减小到_____
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间_______________________ (k∈Z)上都是增函数，
其值从－1增大到1；在每一个闭区间_____________________. (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
余弦函数在每一个闭区间_____________. (k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间_____________. (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
三、讲解范例：
例1课本例2
例2 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么
(1)y＝cosx＋1，x∈R；
(2)y＝sin2x，x∈R
例3求函数y＝－cosx的单调区间
四、课堂练习： P33 4 、5、6、7：
六、课后作业：P46 3、4
y
x
o
1
-1第二十一课时 2.1向量的线性运算（1）
教学目标：
（1）理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和；
（2）掌握两个向量加法的交换率和结合率，并会用它们进行向量运算.
（3）通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质.
教学过程：
一、情景创设和学生活动
问题1：利用向量的表示，从景点O到景点A的位移为OA，从景点A到景点B的位移为AB，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB，向量OA，AB，OB三者之间有何关系？
O
B
A
问题2：一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，飞机飞行的路程和位移分别是多少？
二、数学建构和数学理论
1． 向量减法的概念：（三角形法则）
问题3：数的加法运算有那些性质？向量的加法也有类似的性质么？向量加法的性质：
验证下面的性质：
（1） a＋0 = 0 ＋ a
（2） a ＋（－a）= （－a）＋ a = 0
（3） 加法满足交换率： a ＋ b = b ＋ a
（4） 加法满足结合率： （ a ＋ b） ＋ c = a ＋ （b ＋c ）
问题4：通过对 a ＋ b = b ＋ a 的验证能得到什么结论 ？
问题5：如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n个向量的和是多少？
三、数学应用
1．例题讲解
例1．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
（1） OA ＋ OC （2）BC ＋ FE （3） OA ＋ FE
例2．在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地度过长江，其航向应如何确定？
变式：若渡船以25km/h的速度按垂直于河岸的航向航行，那么受水流影响，渡船的实际航向如何？
例3．下列各式正确的是 （ ）
A．若a，b同向，则有| a | ＋ | b | = | a＋b |
B．a ＋ b 与| a | ＋ | b |表示的意义相同
C．若a，b不共线，则有| a ＋ b | ＞ | a | ＋ | b |
D．| a | ＜ | a ＋ b | 恒成立
2． 练习：63页 1，2，3，4
四、作业： 68页 1，2，3第十七课时 1.3.3函数的图像和性质（2）
教学目标：
（1）理解相位变换中的有关概念；
（2）会用相位变换画出函数的图象；
（3）会用“五点法”画出y＝sin(x＋)的简图
教学重点：函数y=Asinx和y=Asinωx的图象
教学过程：
一、复习引入：
1．振幅变换:y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
2．周期变换:函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）．ω决定了函数的周期
二、讲解新课：
例 画出函数y＝sin(x＋)，x∈R y＝sin(x－)，x∈R的简图
解：列表
x -
x+ 0 2
sin(x+) –1
描点画图
x
x－ 0
sin(x–) –1
通过比较，发现：
(1)函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向 平行移动个单位长度而得到
(2)函数y＝sin(x－)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有点向 平行移动个单位长度而得到
一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)
y＝sin(x＋)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换
三、课堂练习：
四、课后作业：第六课时 1.2.2同角三角函数的基本关系式（二）
教学目标：
（1）掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；
（2）通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；
（3）注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；
教学重点：同角三角函数的基本关系
教学难点：
（1）已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；（2）三角函数式的化简；
（3）证明三角恒等式．
教学过程：
一、复习引入：
同角三角函数的基本关系公式:
二、讲解范例：
例1化简：
解：原式
例2 已知
解：
（注意象限、符号）
例3求证：
三、、课堂练习：
1．已知cot=2，求α的其余三个三角函数值．
3．已知角的终边在直线y=3x上，求sin和cos的值．
3．已知tan =3，求下列各式的值第五课时 1.2.2同角三角函数的基本关系式（一）
教学目标：
（1）掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；
（2）通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；
（3）注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；
教学重点：同角三角函数的基本关系
教学难点：
(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；
(2)三角函数式的化简；
(3)证明三角恒等式．
教学过程：
一、复习引入：
1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）
则P与原点的距离
2．任意角的三角函数的定义及其定义域.
3. 三角函数在各象限内的符号规律：
第一象限全为正,二正三切四余弦.
4. 终边相同的角的同一三角函数值相等
诱导公式一（其中）: 用弧度制可写成
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三
角函数值问题．
二、讲解新课：
1．公式:
2．采用定义证明：
3．推广：这种关系称为平方关系,类似的平方关系还有：
这种关系称为商数关系,类似的商数关系还有：
这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有：
三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系。
注意：
1“同角”的概念与角的表达形式无关，
如：
2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。
3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号.
①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系).
②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系).?
③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系).?
三、讲解范例：
例1． 已知，并且是第二象限角，求的其他三角函数值．
例2． 已知，求sin、tan的值．
例3． 已知tan为非零实数，用tan表示sin，cos．
四、课堂练习：
1．已知 ， 求的值．
2．已知，求的值
3．已知tan=－3，则sin= ，cot =
思路分析：
由tan＝－3＜0知，在第二或第四象限，
∴可分类后用同角三角函数基本关系求解．（略）
由于这是一个填空题，
∴可先将角视为锐角，求出sin和cot的值，然后具体的再看角所在象限得出sin、cot的符号．
将视为锐角′，则有tan′=3，
∴′= cot′=,
∴在第Ⅱ或第Ⅳ象限．
∴
.
六、课后作业：第八课时 1.2.3诱导公式（二）
教学目标：能熟练掌握诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。
教学重点：诱导公式
教学难点：诱导公式的灵活应用
教学过程：
教学过程：
一、复习引入：
诱导公式一（其中）: 用弧度制可写成
公式二： 用弧度制可表示如下：
公式三：
公式四： 用弧度制可表示如下：
公式五： 用弧度制可表示如下：
二、讲解范例：
例1．求下列三角函数的值
(1) sin240 ； (2)；(3) cos(-252 )；(4) sin（-）
解：（1）sin240 =sin(180 +60 )＝－sin60 =
(2) =cos==；
(3) cos(-252 )=cos252 = cos(180 +72 )=－cos72 =－0.3090；
(4) sin（-）=－sin=－sin=sin=
例2．求下列三角函数的值
(1)sin(-119 45′)；(2)cos；(3)cos(-150 )；(4)sin.
解：(1)sin(－119 45′)=－sin119 45′=－sin(180 -60 15′)
= －sin60 15′=－0.8682
(2)cos=cos()=cos=
(3)cos(-150 )=cos150 =cos(180 -30 ) =－cos30 =；
(4)sin=sin()=－sin=.
例3．求值：sin－cos－sin
解：原式=-sin-cos-sin
=-sin-cos+sin
=sin+cos+sin =++0.3090=1.3090 .
例4．求值：sin(-1200 )·cos1290 +cos(-1020 )·sin(-1050 )+tan855 .
例5．化简：.
解：原式===1.
三、课堂练习：
1．已知sin(+π)＝ －，则的值是（ ）
（A） (B) －2 (C)－ (D)±
2．式子的值是 （ ）
（A） (B) (C) (D)-
5．已知对任意角均成立．若f (sinx)=cos2x，则f(cosx)等于（ ）．
（A）-cos2x (B)cos2x (C) -sin2x (D)sin2x第十六课时 1.3.3函数的图像和性质（1）
教学目标：
（1）理解振幅的定义及振幅变换和周期变换的规律;
（2）会用五点法画出函数y=Asinx和y=Asinωx的图象，明确A与ω对函数图象的影响作用；并会由y=Asinx的图象得出y=Asinx和y=Asinωx的图象
教学重点：函数y=Asinx和y=Asinωx的图象
教学过程：
一、复习引入：在现实生活中，我们常常会遇到形如的函数解析式(其中A，ω，都是常数)下面我们讨论函数，x∈R的简图的画法
二、讲解新课：
例1画出函数y=2sinx xR；y=sinx xR的图象（简图）
解：画简图，我们用“五点法”∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π
∴我们先画它们在［0，2π］上的简图列表：
x 0 2
sinx 0 1 0 -1 0
2sinx
sinx
(1)y＝2sinx，x∈R的值域是 ;
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍而得(横坐标不变)
(2)y＝sinx，x∈R的值域是 ;
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍而得(横坐标不变)
引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论：
1．y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(02．它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A
3．若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折
A称为振幅，这一变换称为振幅变换
例2 画出函数y=sin2x xR；y=sinx xR的图象（简图）
解：函数y＝sin2x，x∈R的周期T＝＝π
我们先画在［0，π］上的简图,在[0, ]上作图,列表：
2x 0 2
x
y=sin2x -1
函数y＝sinx，x∈R的周期T＝＝4π
我们画［0，4π］上的简图，列表：
0 2
x 2
sin 1
(1)函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的
(2)函数y＝sin，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变)而得到
引导, 观察启发: 与y=sinx的图象作比较
1．函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）
2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图第十课时 1.3.1三角函数的周期性
教学目标：
（1） 使学生理解函数的周期性的概念，并能运用它来判断一些简单、常见函数的周期性；
（2）使学生掌握简单的三角函数的周期的求法；
（3）培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和认证能力。
教学重点：函数周期性的概念。
教学难点：函数周期性的概念。
教学过程：
一、问题情景
在我们的周围，存在不少周而复始、循循不息的现象。例如，我们的日历年复一年地过去；为保护同学们的视力，班级的座位每隔一个星期轮换一次；做匀速圆周运动的轮子上的一点A，每隔相同的时间又回到原来的位置。…… 这种有规律性的重复，就是所谓的周期性现象。
观察函数的图象及诱导公式：
(正弦函数值当自变量每隔就重复出现一次，这是周期性.)
二、讲授新课
定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果在所有的周期中存在一个最小的正数，就把它叫做的最小正周期。
由定义，我们不难得出结论：函数与的周期都是。
三、例题
例1、求下列函数的周期：
（1）；
（2）；
（3）。
一般地，函数,或,的周期为。（注意：若，则。）
例2、判断的周期；
例3、已知满足：均有。求证：是周期函数，并求出它的一个周期。
四、课堂练习
（1）；
（2）
（3）。
y
o
x第二十课时 2.1向量的概念及其表示
教学目标：
（1）了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；
（2）理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念
（3）通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质.
教学过程：
1． 情景创设与学生活动
问题1：湖面上有3个景点O，A，B，如图所示.一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客送至景点B，从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移.位移与距离这两个量有什么不同？
O B
A
问题2：下列物理量中，那些量分别与位移和距离这两个量类似：（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；（2）物体所受重力（3）物体的质量为a千克；（4）1月1日的4级偏南风的风速。
问题3：物理中，速度，力用什么表示？
二．建构数学
1．向量的概念及表示
（1） 向量的定义：
（2） 向量的表示：
（3） 向量的大小及表示
（4） 零向量：
（5） 单位向量：
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？
问题4：在平行四边形ABCD中，向量与CD，AB与DC有什么关系？
2、向量的关系
（1） 平行向量
（2） 相等向量
（3） 相反向量
问题5：1.向量能否平移？
2. 要确定一个向量必须确定什么？要确定一个有向线段必须确定什么？两者有何区别？
3． 数学应用：
例1．下列命题中真命题是（ ）
A．任何两个非零向量的单位向量都是相等的向量
B．任何两个非零向量的单位向量是相等向量或互为相反向量
C．一个非零向量的单位向量有两个，它们互为相反向量
D．任何非零向量的单位向量的模相等
例2．判断下列命题中正确的是（ ）
（1） 已知∥，那么向量，的方向相同或相反
（2） 已知向量与向量CD是共线向量，那么四点A，B，C，D必在同一直线
（3） 任何两个向量必可比较大小
例3．已知O为正六边形ABCDEF的中心，如图，所标出的向量中：
（1） 试找出与FE共线的向量；
（2） 确定与FE相等的向量；
（3） OA与BC向量相等么？
例4．如图，在4×5的方格纸中有一个向量AB，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？（AB除外）第七课时 1.2.3诱导公式（一）
教学目标：
（1）通过本节内容的教学，使学生掌握180 +，-，180 -，360 －角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
（2）通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；
（3）通过公式二、三、四、五的探求，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．
教学重点：诱导公式
教学难点：诱导公式的灵活应用
教学过程：
一、复习引入：
公式一：
用弧度制可写成：
（其中）
这组公式可以统一概括为的形式，其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正。
二、讲解新课：
公式二：
用弧度制可表示如下：
sin(180 +)=-y, cos(180 +)=-x,
所以 sin(180 +)=-sin，
cos(180 +)=-cos．
公式三：
sin=y， cos=x,
sin(-)=-y, cos(-)=x,
所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cos
公式四：
用弧度制可表示如下：
公式五：
五组诱导公式可概括为：
+k·360 （k∈Z），-，180 ±，360 -的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．
三、讲解范例：
例1．下列三角函数值： （1）cos210 ； (2)sin
解：（1）cos210 =cos(180 +30 )=－cos30 =－；
（2）sin=sin()=－sin=－.
例2．求下列各式的值：（1）sin(－)；(2)cos(－60 )－sin(－210 )
解：（1）sin(－)=－sin()=sin=；
（2）原式=cos60 +sin(180 +30 )=cos60 －sin30 =－=0
例3．化简
解：原式=
= ==－1
例4．已知cos(π+)=－ ，<<2π，则sin(2π－)的值是（ ）．
（A） (B) (C)－ (D)±
四、课堂练习：（略）第一课时 1.1.1 任意角
教学目标：
（1）掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
（2）掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法。
（3）体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。
教学重点：掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法。
教学难点：体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。
教学过程：
一、问题情境：
1．复习：初中是如何定义角的？
2．情境：生活中很多实例会不在范围，你能举出一些吗？
3．问题：这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？
二、知识准备：
1．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由_______________，绕着______________________，就形成角α．___________________叫做角α的始边，____________________叫做角α的终边，___________________叫做角α的顶点．
⑵．“正角”与“负角”“0角”
我们把_______________________叫做正角，把_______________________叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，
特别地，当一条射线______________时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角.
⑶意义
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1.角有正负之分 2 角可以任意大 3 可以为零角
2．“象限角及轴线角”
角的顶点重合于___________，角的始边重合于_______，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
3．终边相同的角
⑴观察：390，330角，它们的终边都与________角的终边相同
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和：
390=______+____360 330=______+_____360
⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：
三、范例分析：
例1在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角
例2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在间的角写出来：
（1） （2） （3）
四、课堂练习：
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？
2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°．第二十二课时 2.1向量的线性运算（2）
教学目标：
（1）理解向量减法的含义,会做两个向量的差.
（2）过知识发生发展过程教学使学生感受和领悟,数学发展的过程及其思想.
（3）通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质.
教学过程：
一,情景创设与教学活动
问题1.向量的加法运算法则是什么
问题1.数的减法运算是如何定义的
二.数学建构
向量减法概念
三.数学运用
例1. 如图已知向量不共线,求做向量.
问题3:若知向量是共线向量,求作向量,由例1得到如果两个向量有相同的起点,则它们的差向量的作图方法是:
.
问题4:若,则成立,向量是否有成立 你能证明吗
例2. 如图,是平行四边形的对角线的交点,若,,
试证明..
例3.求证:当两个向量不共线时:
⑴
⑵
四.课堂小结
1.向量减法是向量加法的逆运算.
2.向量减法的性质: 即,可把向量减法运算转化为向量加法的运算.
由于向量加减法都是用几何法(作图)来定义的,不管是三角形法则还是平行四边形法则与几何意义密不可分,因此,解决向量加法,减法问题,数形结合必不可少.
五.作业
4
课课练 1-8第十一课时 1.3.2三角函数的图像和性质（1）
教学目标：
（1）了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，理解正、余弦、正切函数周期性的意义；
（2）会求一些简单三角函数的周期；
（3）掌握正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法
教学重点：三角函数的图像
教学过程：
一、复习引入：函数有那些性质？
二、知识准备：
sin(x＋2kπ)= __________，cos(x＋2kπ)＝___________； (k∈Z)知：
周期性:正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个_____________T，使得当x取__________________________ 时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，_____________ T叫做这个函数的周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个_______________________，那么这个_____________就叫做f(x)的最小正周期
一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R及函数y＝Acos(ωx＋)，x∈R(其中A、ω、为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝__________，
三、范例分析
四、课堂练习
1、课本P27 1，2，3，4
五、课后作业
课本P46 1，10第十二课时 1.3.2三角函数的图像和性质（2）
教学目标：
（1）理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法．
（2）理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法．
（3）理解并掌握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法．
教学重点：三角函数的图像
教学过程：
一、问题情境：
怎样作出正弦函数的图象？
二、知识准备
1．正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有
，
有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．
2．用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）：
3．怎样作余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象: 阅读教材P29
以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
4．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)
探究：
（1）y=cosx, xR与函数y=sin(x+) xR的图象相同
（2）将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象
（3）也同样可用五点法作图：y=cosx x[0,2]的五个点关键是
(0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1)
三、讲解范例：
例1课本P31例1
例2 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]， (2)y=-cosx，x∈[0，2π]，
例3利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：
四、课堂练习：P33 1，2，3
五、课后作业：P46 2
y
x
o
1
-1第四课时 1.2.1任意角的三角函数
教学目标：
（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；
（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
教学重点：任意角三角函数的定义、定义域，三角函数值的符号，诱导公式一；
教学难点：任意角三角函数的定义、三角函数值的符号，诱导公式一；
教学过程：
1. 引入课题
1. 复习弧度制：1弧度的角——把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制；
2. ，这里是用弧度作单位的角；
3. 复习弧度与角度的换算：
4. 由于角的概念的推广，角α可以是任意角，因此三角函数的概念也可以推广到任意角的情形。
2. 新课教学
（一）定义；
1. 设α是任意角，p（x，y）是角α终边上任意一点，PO==r（r＞0），则角α的六个三角函数是：
正弦：sin=y/r 余弦：cos=x/r
正切：tan=y/x 余切：cot=x/y
正割：sec=r/x 余割：csc=r/y
2. 同样，三角函数的值是角终边上任意一点p的坐标x、y及点P与原点O的距离r这三者中某两个的比值；这个比值与P点在终边上的位置无关，而是与角的大小有关。因此，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，故称上述函数为任意角的三角函数。
3. 由于引进了弧度制，则在实数（角）与实数（比值-三角函数值）之间建立了一一对应关系，因此三角函数也可以看作是“实数”的函数。
4. 三角函数的定义域
通过对三角函数定义的讨论，推导出任意角三角函数的定义域。
三角函数 定义域
sin R
cos R
tan
cot
（二）任意角三角函数值的符号特征：
例题1：已知角的终边经过点p（2，-3），求的六个三角函数值；
例题2：求下列各角的六个三角函数值：
（1）0 （2） （3） （4）
（三）应用举例：
例题3：求 210°的六个三角函数值。
例题4：求下列各三角函数值：
（1） （2）
（3） （4）
例题5：确定下列各三角函数值的符号：
（1）cos250°， （2）sin（-5π/4），
（3）tan（-672°10`）， （4）ctg（11π/3）。
例题6：已知sinθ＜0，tgθ＞0，确定θ是第几象限的角？
问题：已知θ是第三象限的角，确定sinθ，tgθ的符号？
求证：角θ为第三象限角的充要条件为：sinθ＜0，tgθ＞0
（五）三角函数线
单位圆：圆心在原点O，半径等于单位长度的圆；
有向线段的定义：带有方向的线段；
从代数角度看：三角函数是以角为自变量以比值为函数值的函数；
从几何角度看：三角函数值可以用单位圆上的有向线段表示：
（1）正弦线：
（2）余弦线：
（3）正切线：
（4）余切线：
练习：P15-1、2第二课时 1.1.2 弧度（一）
教学目标：
（1）理解1弧度的角、弧度制的定义.
（2）掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.?
（3）熟记特殊角的弧度数
教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.
教学难点：弧度的概念及其与角度的关系.?
教学过程：
一、问题情境：
1．复习：角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
⑵ “正角”与“负角”“0角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，
2．情境：度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？
规定周角的作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为
二、学生活动：
探究：30°、60°的圆心角，半径r为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l，再计算弧长与半径的比。
结论：圆心角不变，则比值不变，
因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制。
三、理论建构：
1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，rad
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角= rad、周角=2 rad）
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）
⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同。
⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
2. 角度制与弧度制的换算：
∵ 360=2 rad ∴180= rad
∴
四、数学运用：
例1 把化成弧度
解：
∴
例2 把化成度
解：
一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π
角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π
应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集R
例3用弧度制表示：
1 终边在轴上的角的集合
2 终边在轴上的角的集合
3 终边在坐标轴上的角的集合
五、课堂练习：（略）
正角
零角
负角
正实数
零
负实数