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初中数学人教版八年级上学期 第十四章 14.2.1 平方差公式
一、基础巩固
1．（2019七下·余杭期末）下列多项式可以用平方差公式分解因式的是( )
A．4x2+y2 B．-4x2+y2 C．-4x2-y2 D．4x3-y2
【答案】B
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：A、 4x2+y2不能分解因式，故A不符合题意；
B、 -4x2+y2 = y2-4x2=(y-2x)(y+2x)，故B符合题意;
C、-4x2-y2 不能分解因式，故C不符合题意;
D、4x3-y2 不能分解因式，故D不符合题意.
故答案为：B
【分析】分别分析判断能否用平方差公式分解因式, 平方差公式表示为：a2-b2=(a+b)(a-b)。
2．（2019七下·兴化期末）下列多项式相乘，可以用平方差公式直接计算的是（ ）
A．(x＋5y)(x－5y) B．(－x＋y)(y－x)
C．(x＋3y)(2x－3y) D．(3x－2y)(2y－3x)
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. (x＋5y)(x－5y)能用平方差公式进行计算，故符合题意；
B. (－x＋y)(y－x)=－(x－y)(y－x)不能用平方差公式进行计算，故不符合题意；
C. (x＋3y)(2x－3y)不能用平方差公式进行计算，故不符合题意；
D. (3x－2y)(2y－3x)不能用平方差公式进行计算，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】两个二项式相乘，若果各有一项完全相同，剩下的一项只有符号不同，那么这两个二项式相乘即可利用平方差公式直接计算。
3．（2019七下·港南期末）化简(x-1)(x+1)的结果是 。
【答案】x2-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： (x-1)(x+1) = x2-1 ；
故答案为： x2-1 ；
【分析】 因为(x-1)(x+1) 符合平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2, 直接套用公式即可得出结果。
4．（2019·湘潭）若 ， ，则 ．
【答案】15
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴
故答案为：15
【分析】根据题意可知，将式子利用平方差公式进行化简，即可得到答案。
二、强化提升
5．（2019七下·西湖期末）如图，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ， ， 表示四个相同长方形的两边长（ ）.则① ；② ；③ ；④ ，中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图得x-y=n， x+y=m，
则(x-y)(x+y)=x2-y2=mn，
x-y+x+y=2x=m+n，
(x+y)-(x-y)=2y=m-n，
∴4xy=(m+n)(m-n)=m2-n2，
∴，
∴
∴①②③ 正确， ④ 错误；
故答案为：A.
【分析】根据图示把m、n用含x、y的代数式表示，两式结合，把x，y用m，n的代数式表示，根据x、y的值分别求出各选项左式的结果再比较即可判断。
6．（2019八下·昭通期末）计算：（2 ）2002（2 +5）2002＝ ．
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用；积的乘方
【解析】【解答】解： （2 ）2002（2 +5）2002
=[（2 ）（2 +5）]2002
=[(2)2-52]2002
=(24-25)2
=1；
故答案为：1.
【分析】由观察可得，底数（2 ）和2 +5）相乘符合平方差公式，根据积的乘方运算的逆运算，把两个底数合并计算，相乘的结果等于1，则原式值可求。
7．（2019七下·桂平期末）观察下面的解题过程，然后化简：
（2+1）（22+1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）
＝28﹣1
化简：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）＝ ．
【答案】 （316﹣1）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 （3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
＝（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）
=（34-1）（34+1）（38+1）
=（38-1）（38+1）
=（316-1）
故答案为：（316-1）
【分析】将原式恒等变形，使第一项和第二项能用平方差公式计算，平方差的结果正好和后一项又能运用平方差公式继续计算，这样反复计算，一直到最后一项即可。
8．（2019七下·东阳期末）已知 ，求代数式x2-4y2的值。
【答案】解： 由2x-4y=-3，得2(x-2y)=-3,
∴x-2y=-,
则 x2-4y2 =(x-2y)(x+2y)
=-×9
=；
故答案为：.
【知识点】平方差公式及应用；解二元一次方程组
【解析】【分析】 由2x-4y=-3，求得x-2y的值, 现知x-2y和x+2y的值，只要把代数式x2-4y2利用平方差公式分解因式，然后代入x-2y和x+2y的值即可得出结果。
三、真题演练
9．（2019·哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）
A．2a+2a=2a2 B．a2·a3=a6
C．(2a2)3=6a6 D．(a+b)(a-b)=a2-b2
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、 2a+2a=4a ，故A不符合题意；
B、 a2·a3=a5，故B不符合题意；
C、 (2a2)3=8a6 ，故C不符合题意；
D、（a+b）（a-b）=a2-b2,故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用合并同类项的法则，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用积的乘方运算法则可以C作出判断；根据平方差公式的计算方法，可对D作出判断。
10．（2019·宁波模拟）若x2－9＝(x－3)(x＋a)，则a＝ ．
【答案】3
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵x2-9=（x+3）（x-3）=（x-3）（x+a），
∴a=3．
故答案为：3
【分析】将等式的左边利用平方差公式分解因式，然后根据等式的性质即可得出答案。
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初中数学人教版八年级上学期 第十四章 14.2.1 平方差公式
一、基础巩固
1．（2019七下·余杭期末）下列多项式可以用平方差公式分解因式的是( )
A．4x2+y2 B．-4x2+y2 C．-4x2-y2 D．4x3-y2
2．（2019七下·兴化期末）下列多项式相乘，可以用平方差公式直接计算的是（ ）
A．(x＋5y)(x－5y) B．(－x＋y)(y－x)
C．(x＋3y)(2x－3y) D．(3x－2y)(2y－3x)
3．（2019七下·港南期末）化简(x-1)(x+1)的结果是 。
4．（2019·湘潭）若 ， ，则 ．
二、强化提升
5．（2019七下·西湖期末）如图，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ， ， 表示四个相同长方形的两边长（ ）.则① ；② ；③ ；④ ，中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
6．（2019八下·昭通期末）计算：（2 ）2002（2 +5）2002＝ ．
7．（2019七下·桂平期末）观察下面的解题过程，然后化简：
（2+1）（22+1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）
＝28﹣1
化简：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）＝ ．
8．（2019七下·东阳期末）已知 ，求代数式x2-4y2的值。
三、真题演练
9．（2019·哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）
A．2a+2a=2a2 B．a2·a3=a6
C．(2a2)3=6a6 D．(a+b)(a-b)=a2-b2
10．（2019·宁波模拟）若x2－9＝(x－3)(x＋a)，则a＝ ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：A、 4x2+y2不能分解因式，故A不符合题意；
B、 -4x2+y2 = y2-4x2=(y-2x)(y+2x)，故B符合题意;
C、-4x2-y2 不能分解因式，故C不符合题意;
D、4x3-y2 不能分解因式，故D不符合题意.
故答案为：B
【分析】分别分析判断能否用平方差公式分解因式, 平方差公式表示为：a2-b2=(a+b)(a-b)。
2．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. (x＋5y)(x－5y)能用平方差公式进行计算，故符合题意；
B. (－x＋y)(y－x)=－(x－y)(y－x)不能用平方差公式进行计算，故不符合题意；
C. (x＋3y)(2x－3y)不能用平方差公式进行计算，故不符合题意；
D. (3x－2y)(2y－3x)不能用平方差公式进行计算，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】两个二项式相乘，若果各有一项完全相同，剩下的一项只有符号不同，那么这两个二项式相乘即可利用平方差公式直接计算。
3．【答案】x2-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： (x-1)(x+1) = x2-1 ；
故答案为： x2-1 ；
【分析】 因为(x-1)(x+1) 符合平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2, 直接套用公式即可得出结果。
4．【答案】15
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴
故答案为：15
【分析】根据题意可知，将式子利用平方差公式进行化简，即可得到答案。
5．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图得x-y=n， x+y=m，
则(x-y)(x+y)=x2-y2=mn，
x-y+x+y=2x=m+n，
(x+y)-(x-y)=2y=m-n，
∴4xy=(m+n)(m-n)=m2-n2，
∴，
∴
∴①②③ 正确， ④ 错误；
故答案为：A.
【分析】根据图示把m、n用含x、y的代数式表示，两式结合，把x，y用m，n的代数式表示，根据x、y的值分别求出各选项左式的结果再比较即可判断。
6．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用；积的乘方
【解析】【解答】解： （2 ）2002（2 +5）2002
=[（2 ）（2 +5）]2002
=[(2)2-52]2002
=(24-25)2
=1；
故答案为：1.
【分析】由观察可得，底数（2 ）和2 +5）相乘符合平方差公式，根据积的乘方运算的逆运算，把两个底数合并计算，相乘的结果等于1，则原式值可求。
7．【答案】 （316﹣1）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 （3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
＝（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）
=（34-1）（34+1）（38+1）
=（38-1）（38+1）
=（316-1）
故答案为：（316-1）
【分析】将原式恒等变形，使第一项和第二项能用平方差公式计算，平方差的结果正好和后一项又能运用平方差公式继续计算，这样反复计算，一直到最后一项即可。
8．【答案】解： 由2x-4y=-3，得2(x-2y)=-3,
∴x-2y=-,
则 x2-4y2 =(x-2y)(x+2y)
=-×9
=；
故答案为：.
【知识点】平方差公式及应用；解二元一次方程组
【解析】【分析】 由2x-4y=-3，求得x-2y的值, 现知x-2y和x+2y的值，只要把代数式x2-4y2利用平方差公式分解因式，然后代入x-2y和x+2y的值即可得出结果。
9．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、 2a+2a=4a ，故A不符合题意；
B、 a2·a3=a5，故B不符合题意；
C、 (2a2)3=8a6 ，故C不符合题意；
D、（a+b）（a-b）=a2-b2,故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用合并同类项的法则，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用积的乘方运算法则可以C作出判断；根据平方差公式的计算方法，可对D作出判断。
10．【答案】3
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵x2-9=（x+3）（x-3）=（x-3）（x+a），
∴a=3．
故答案为：3
【分析】将等式的左边利用平方差公式分解因式，然后根据等式的性质即可得出答案。
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