数学归纳法例题解析
图片预览
文档简介
数学归纳法例题解析
一.教学内容：
数学归纳法
二. 重点、难点：
1. 使用范围：与正整数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 有关的命题的证明。
2. 使用步骤：① 对 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的初始值（通常为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ）对应命题进行证明；② 假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立，再证明 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立（证明 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，必用 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立的结论）
3. 对 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 证明时，代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的结论，还应充分利用其它证明方法，如：分析法、综合法、比较法、反证法、数形结合等。
4. 证明题目：恒等式、不等式、几何计数、整除、数列通项、前 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 项和等。
(1)数学归纳法的基本形式
设P(n)是关于自然数n的命题，若
1°P(n0)成立(奠基)
2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.
(2)数学归纳法的应用
具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.
是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (an2+bn+c).
例1、试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.
命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式.
知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.
错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.
技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.
证明：(1)设a、b、c为等比数列，a= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,c=bq(q＞0且q≠1)
∴an+cn= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" +bnqn=bn( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" +qn)＞2bn
(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＞( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )n(n≥2且n∈N*)
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
②设n=k时成立，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
则当n=k+1时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)
＞ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (ak+ck)(a+c)
＞( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )k·( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )=( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )k+1
例2、在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成等比数列.
(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论；
(3)求数列{an}所有项的和.
命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.
知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.
错解分析：(2)中，Sk=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 应舍去，这一点往往容易被忽视.
技巧与方法：求通项可证明{ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" }是以{ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" }为首项， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为公差的等差数列，进而求得通项公式.
解：∵an,Sn,Sn－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )(n≥2) (*)
(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
由a1=1，a2=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,S3= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" +a3代入(*)式得：a3=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
同理可得：a4=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,由此可推出：an= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.
②假设n=k(k≥2)时，ak=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立，故Sk2=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ·(Sk－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )
∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0，∴Sk= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (舍)
由Sk+12=ak+1·(Sk+1－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
由①②知，an= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 对一切n∈N成立.
(3)由(2)得数列前n项和Sn= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,∴S= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" Sn=0.
难点训练
一、选择题
1、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A.30 B.26 C.36 D.6
2、用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )
A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4
二、填空题
3、观察下列式子： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" …则可归纳出_________.
4、已知a1= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,an+1= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想an=_________.
三、解答题
5、用数学归纳法证明4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" +3n+2能被13整除，其中n∈N*.
6、若n为大于1的自然数，求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .
7、已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" logabn+1的大小，并证明你的结论.
8、设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表达式，又如果 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" S2n＜3,求q的取值范围.
参考答案
难点磁场
解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
于是，对n=1,2,3下面等式成立
1·22+2·32+…+n(n+1)2= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2
设n=k时上式成立，即Sk= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (3k2+11k+10)
那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (3k2+5k+12k+24)= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ［3(k+1)2+11(k+1)+10］
也就是说，等式对n=k+1也成立.
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立.
难点训练
一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，
f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1?－(2k+7)·3k
=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2?(k≥2)
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.
答案：C
2.解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.
答案：C
二、3.解析： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (n∈N*)
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (n∈N*)
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
三、5.证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除
(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，
42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3
=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2?)
∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除
∴当n=k+1时也成立.
由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.
6.证明：(1)当n=2时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
(2)假设当n=k时成立，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
7.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,∴bn=3n－2
(2)证明：由bn=3n－2知
Sn=loga(1+1)+loga(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )+…+loga(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )
=loga［(1+1)(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )…(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )］
而 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" logabn+1=loga HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,于是，比较Sn与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" logabn+1?的大小 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 比较(1+1)(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )…(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的大小.
取n=1，有(1+1)= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
取n=2，有(1+1)(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
推测：(1+1)(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )…(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )＞ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (*)
①当n=1时，已验证(*)式成立.
②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )…(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )＞ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
则当n=k+1时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,即当n=k+1时，(*)式成立
由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.
于是，当a＞1时，Sn＞ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" logabn+1?,当 0＜a＜1时，Sn＜ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" logabn+1?
8.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,∴q≠0,a2=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,
∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1?
两式相除，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,即an+2=q·an
于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" qn(n=1,2,3,…)
综合①②，猜想通项公式为an= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
下证：(1)当n=1,2时猜想成立
(2)设n=2k－1时，a2k－1=2·qk－1则n=2k+1时，由于a2k+1=q·a2k－1?
∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.
可推知n=2k+1也成立.
设n=2k时，a2k=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" qk,则n=2k+2时，由于a2k+2=q·a2k?,
所以a2k+2=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" qk+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.
综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.
这样所求通项公式为an= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)
=2(1+q+q2+…+qn-1?)－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (q+q2+…+qn)
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
由于|q|＜1,∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
依题意知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
例1、错例分析：用数学归纳法证明：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
请读者分析下面的证法：
证明：①n=1时，左边 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，右边 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，左边=右边，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
那么当n=k+1时，有：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
这就是说，当n=k+1时，等式亦成立．
由①、②可知，对一切自然数n等式成立．
评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错 ( http: / / www.21cnjy.com )误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．
正确方法是：当n=k+1时．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，
例2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)
都成立，并证明你的结论．
分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来{an}，然后再证明一般性．
解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3．
故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立．
下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．
因为起始值已证，可证第二步骤．
假设n=k时，等式成立，即
a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)
那么当n=k+1时，
a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1
= k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3]=(k+1)(k2+2k+3k+6)
=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]
这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立．
综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．
例3．证明不等式 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (n∈N)．
证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．
左边<右边，不等式成立．
②假设n=k时，不等式成立，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
那么当n=k+1时，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
这就是说，当n=k+1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．
说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，当代入归纳假设后，就是要证明：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．
例4．已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an．
求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．
分析：本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．
①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．
②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，
a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4 ( http: / / www.21cnjy.com )+a4k+3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1
由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．
因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．
由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除．
例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？
分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．
当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．
由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．
由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．
用数学归纳法证明如下：
①当n=2时，上面已证．
②设n=k时，f (k)=k2，那么当n= ( http: / / www.21cnjy.com )k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．
∴ f (k+1)=k2+k+(k+1) =k2+2k+1=(k+1)2
∴ 满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．
由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．
说明：这里要注意；增加一个 ( http: / / www.21cnjy.com )半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．
例6、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 。
证明：
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 右，成立
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
即： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，
左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 右
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，成立
综上所述，由（1）（2）对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 命题成立
例7、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
证明：
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 右
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
即： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 右
即： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
综上所述由（1）（2）命题对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
另解：令 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
例8、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
证明：
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 右
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
即： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
欲证：左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 右
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ 左边 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
综上所述由（1）（2）对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 命题成立
例9、 对于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 。
证明：
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 右
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
即： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 右
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
综上所述由（1）（2）对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 命题成立
例10、对于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，可被 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 整除。
证明：
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
即： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
综上所述由（1）（2）对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
例11、 求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 可被17整除。
证明：
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" M， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
综上所述由（1）（2）对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 命题成立
例12、 平面上有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 条直线（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ）任意两条不平行，任意三条不共点。
求证：
（1）共有交点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 个
（2）构成线段或射线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 条
（3）将平面分成 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 部分
证明：
（1）① HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
② 假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
第 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 条直线与前 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 条有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 个交点
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∴ 成立
综上所述对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
（2）① HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，成立
② 假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
第 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 条直线上有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 个交点，将第 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 直线分成 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 部， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 个交点在原 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 条线上，每一点将所在线段或射线分成两部分
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （略）
（3）① HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
② 假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立，即： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
第 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 条直线分成 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 段，每一段将原来那一部分成两部分
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
综上所述由（1）（2）对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
例13、 是否存在常数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 使 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 恒成立。
证明：令 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 1，2，3
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
下证明对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 恒成立
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，显然成立
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
综上所述由（1）（2）对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 命题成立
例14、 数列 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 满足 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ）， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ），求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
解： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ 推测 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
证明：
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
综上所述对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
【模拟试题】
1. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为常数），试判断 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 是否为数列 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 中的一项。
2. 数列 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 满足 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（1）求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立；
（2）令 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，试比较 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 大小关系。
3. 函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的最大值不大于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，又 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（1）求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（2）设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
4. 设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为常数， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 证明对任意 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
[参考答案]
1. 证明： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 推测 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
综上所述对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 不是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 中的一项
2. （1）① HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
② 假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
综上所述由①②对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
3. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
综上所述对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
4. 证明：
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
综上所述对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 命题成立
一.教学内容：
数学归纳法
二. 重点、难点：
1. 使用范围：与正整数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 有关的命题的证明。
2. 使用步骤：① 对 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的初始值（通常为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ）对应命题进行证明；② 假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立，再证明 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立（证明 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，必用 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立的结论）
3. 对 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 证明时，代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的结论，还应充分利用其它证明方法，如：分析法、综合法、比较法、反证法、数形结合等。
4. 证明题目：恒等式、不等式、几何计数、整除、数列通项、前 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 项和等。
(1)数学归纳法的基本形式
设P(n)是关于自然数n的命题，若
1°P(n0)成立(奠基)
2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.
(2)数学归纳法的应用
具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.
是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (an2+bn+c).
例1、试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.
命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式.
知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.
错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.
技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.
证明：(1)设a、b、c为等比数列，a= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,c=bq(q＞0且q≠1)
∴an+cn= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" +bnqn=bn( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" +qn)＞2bn
(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＞( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )n(n≥2且n∈N*)
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
②设n=k时成立，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
则当n=k+1时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)
＞ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (ak+ck)(a+c)
＞( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )k·( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )=( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )k+1
例2、在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成等比数列.
(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论；
(3)求数列{an}所有项的和.
命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.
知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.
错解分析：(2)中，Sk=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 应舍去，这一点往往容易被忽视.
技巧与方法：求通项可证明{ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" }是以{ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" }为首项， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为公差的等差数列，进而求得通项公式.
解：∵an,Sn,Sn－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )(n≥2) (*)
(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
由a1=1，a2=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,S3= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" +a3代入(*)式得：a3=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
同理可得：a4=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,由此可推出：an= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.
②假设n=k(k≥2)时，ak=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立，故Sk2=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ·(Sk－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )
∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0，∴Sk= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (舍)
由Sk+12=ak+1·(Sk+1－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
由①②知，an= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 对一切n∈N成立.
(3)由(2)得数列前n项和Sn= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,∴S= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" Sn=0.
难点训练
一、选择题
1、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A.30 B.26 C.36 D.6
2、用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )
A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4
二、填空题
3、观察下列式子： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" …则可归纳出_________.
4、已知a1= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,an+1= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想an=_________.
三、解答题
5、用数学归纳法证明4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" +3n+2能被13整除，其中n∈N*.
6、若n为大于1的自然数，求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .
7、已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" logabn+1的大小，并证明你的结论.
8、设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表达式，又如果 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" S2n＜3,求q的取值范围.
参考答案
难点磁场
解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
于是，对n=1,2,3下面等式成立
1·22+2·32+…+n(n+1)2= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2
设n=k时上式成立，即Sk= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (3k2+11k+10)
那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (3k2+5k+12k+24)= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ［3(k+1)2+11(k+1)+10］
也就是说，等式对n=k+1也成立.
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立.
难点训练
一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，
f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1?－(2k+7)·3k
=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2?(k≥2)
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.
答案：C
2.解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.
答案：C
二、3.解析： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (n∈N*)
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (n∈N*)
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
三、5.证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除
(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，
42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3
=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2?)
∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除
∴当n=k+1时也成立.
由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.
6.证明：(1)当n=2时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
(2)假设当n=k时成立，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
7.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,∴bn=3n－2
(2)证明：由bn=3n－2知
Sn=loga(1+1)+loga(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )+…+loga(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )
=loga［(1+1)(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )…(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )］
而 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" logabn+1=loga HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,于是，比较Sn与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" logabn+1?的大小 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 比较(1+1)(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )…(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的大小.
取n=1，有(1+1)= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
取n=2，有(1+1)(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
推测：(1+1)(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )…(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )＞ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (*)
①当n=1时，已验证(*)式成立.
②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )…(1+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )＞ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
则当n=k+1时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,即当n=k+1时，(*)式成立
由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.
于是，当a＞1时，Sn＞ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" logabn+1?,当 0＜a＜1时，Sn＜ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" logabn+1?
8.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,∴q≠0,a2=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,
∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1?
两式相除，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,即an+2=q·an
于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" qn(n=1,2,3,…)
综合①②，猜想通项公式为an= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
下证：(1)当n=1,2时猜想成立
(2)设n=2k－1时，a2k－1=2·qk－1则n=2k+1时，由于a2k+1=q·a2k－1?
∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.
可推知n=2k+1也成立.
设n=2k时，a2k=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" qk,则n=2k+2时，由于a2k+2=q·a2k?,
所以a2k+2=－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" qk+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.
综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.
这样所求通项公式为an= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)
=2(1+q+q2+…+qn-1?)－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (q+q2+…+qn)
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
由于|q|＜1,∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
依题意知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
例1、错例分析：用数学归纳法证明：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
请读者分析下面的证法：
证明：①n=1时，左边 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，右边 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，左边=右边，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
那么当n=k+1时，有：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
这就是说，当n=k+1时，等式亦成立．
由①、②可知，对一切自然数n等式成立．
评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错 ( http: / / www.21cnjy.com )误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．
正确方法是：当n=k+1时．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，
例2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)
都成立，并证明你的结论．
分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来{an}，然后再证明一般性．
解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3．
故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立．
下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．
因为起始值已证，可证第二步骤．
假设n=k时，等式成立，即
a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)
那么当n=k+1时，
a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1
= k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3]=(k+1)(k2+2k+3k+6)
=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]
这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立．
综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．
例3．证明不等式 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (n∈N)．
证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．
左边<右边，不等式成立．
②假设n=k时，不等式成立，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
那么当n=k+1时，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
这就是说，当n=k+1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．
说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，当代入归纳假设后，就是要证明：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．
例4．已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an．
求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．
分析：本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．
①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．
②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，
a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4 ( http: / / www.21cnjy.com )+a4k+3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1
由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．
因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．
由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除．
例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？
分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．
当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．
由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．
由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．
用数学归纳法证明如下：
①当n=2时，上面已证．
②设n=k时，f (k)=k2，那么当n= ( http: / / www.21cnjy.com )k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．
∴ f (k+1)=k2+k+(k+1) =k2+2k+1=(k+1)2
∴ 满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．
由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．
说明：这里要注意；增加一个 ( http: / / www.21cnjy.com )半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．
例6、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 。
证明：
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 右，成立
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
即： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，
左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 右
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，成立
综上所述，由（1）（2）对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 命题成立
例7、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
证明：
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 右
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
即： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 右
即： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
综上所述由（1）（2）命题对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
另解：令 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
例8、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
证明：
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 右
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
即： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
欲证：左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 右
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ 左边 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
综上所述由（1）（2）对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 命题成立
例9、 对于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 。
证明：
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 右
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
即： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 右
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
综上所述由（1）（2）对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 命题成立
例10、对于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，可被 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 整除。
证明：
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
即： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
综上所述由（1）（2）对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
例11、 求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 可被17整除。
证明：
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" M， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
综上所述由（1）（2）对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 命题成立
例12、 平面上有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 条直线（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ）任意两条不平行，任意三条不共点。
求证：
（1）共有交点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 个
（2）构成线段或射线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 条
（3）将平面分成 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 部分
证明：
（1）① HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
② 假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
第 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 条直线与前 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 条有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 个交点
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∴ 成立
综上所述对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
（2）① HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，成立
② 假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
第 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 条直线上有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 个交点，将第 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 直线分成 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 部， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 个交点在原 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 条线上，每一点将所在线段或射线分成两部分
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （略）
（3）① HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
② 假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立，即： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
第 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 条直线分成 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 段，每一段将原来那一部分成两部分
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
综上所述由（1）（2）对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
例13、 是否存在常数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 使 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 恒成立。
证明：令 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 1，2，3
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
下证明对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 恒成立
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，显然成立
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
左 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
综上所述由（1）（2）对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 命题成立
例14、 数列 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 满足 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ）， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ），求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
解： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ 推测 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
证明：
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
综上所述对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
【模拟试题】
1. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为常数），试判断 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 是否为数列 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 中的一项。
2. 数列 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 满足 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（1）求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立；
（2）令 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，试比较 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 大小关系。
3. 函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的最大值不大于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，又 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（1）求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（2）设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
4. 设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为常数， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 证明对任意 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
[参考答案]
1. 证明： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 推测 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
综上所述对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 不是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 中的一项
2. （1）① HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
② 假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
综上所述由①②对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
3. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
综上所述对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
4. 证明：
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
（2）假设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时成立
即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立
综上所述对一切 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 命题成立