广西桂林市国龙外国语学校2023届高三下学期3月模拟预测考试理科数学试卷（PDF版含答案）

2023 桂林市国龙外国语学校高三数学 3 月预测考试理科试卷
一、选择题（本题共 12 题，每题 5 分，满分 60 分；每小题有且仅有一个选项是正确的）
1、设集合 M = {(x, y)|x2 = y}, N = {(x, y)| |y| = x}，则集合 M ∩ N的真子集的个数为（ ）个
A. 3 B. 4 C. 7 D.15
z + z
2、复数 z的共轭复数z对应点的坐标为( 1,2)，则 的虚部为（ ）zz + i
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
12 12 13 13
3．下表是某生活超市 2021 年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：
生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其它区
营业收入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7%
净利润占比 65.8% 4.3% 16.5% 20.2% 1.8%
该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论：
①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；
②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；
③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；
④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过 40% . 其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④
4．若非零向量 a ，b 满足 a 3 b ， 2a 3b b ，则 a与b 的夹角为（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
5．过抛物线 y2 4x的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B两点，O为坐标原点．若 AF 3，且 AOB 3 2的面积为 ，
2
则点 B的纵坐标为（ ）
1
A 2． 1 B． C． 2 D．
2 2
6．若 1 2x 5 a0 a1x a x2 a x3 a x42 3 4 a5x5，则 a1 a3 a5 （ ）
A．121 B．-122 C．-121 D．122
7．净水机常采用分级过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的 PP 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结
构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层 PP 棉滤芯可以过滤掉三
分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为 25mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超
过 2.5mg/L，则 PP 棉滤芯层数最少为（ ）（参考数据： lg 2 0.30， lg 3 0.48）
A．5 B．6 C．7 D．8
1
8．如图所示的程序框图中，若输出的函数值 f x ，则输入的实数 x （ ）
2
1
A．
2
B． 2
C 2．
2
1
D． 或
2 2
9．我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何
体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线 y x2 (0 y L)绕 y
轴旋转一周得几何体 Z ，将 Z 放在与 y轴垂直的水平面 上，用平行于平面 ，且与 Z 的顶点O距离为 l的平面截几何
体 Z ，得截面圆的面积为 ( l )2 l .由此构造右边的几何体 Z1：其中 AC 平
面 ， AC L， AA1 ， AA1 ，它与 Z 在等高处的截面面积都相等，
图中 EFPQ为矩形，且 PQ ， FP l，则几何体 Z 的体积为（ ）
1 1
A． L2 B． L3 C． L2 D． L3
2 2
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10．设 an 是等差数列，且公差不为零，其前 n项和为 Sn．则“ n N ，an 1 an ”是“ Sn 为递增数列”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
π
11．已知函数 f (x) asin x 2 3cos x的一条对称轴为 x ， f (x1) f (x2 ) 0，且函数 f (x)在 (x1, x2 )上具有单6
调性，则 | x1 x2 |的最小值为
2π π π
A． B． C
4π
． D．
3 3 6 3
12 x．若对函数 f x 2x sin x 的图象上任意一点处的切线 l1，函数 g x me m 2 x的图象上总存在一点
处的切线 l2，使得 l1 l2，则m的取值范围是（ ）
e e
A． ,0 B．2
0,
2
C． 1,0 D． 0,1

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
x 3

13．若 x，y满足 x y 2，则 x 2y的最大值为______.

y x
2
14 C : y x
2
．若双曲线 2 1的一条渐近线方程为 y 3x，则双曲线C的离心率为 ．6 b
15．△ABC中，角 A，B，C所对的三边分别为 a，b，c，c＝2b，若△ABC的面积为 1，则 BC的最小值是______．
16．已知定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f 1 x f 1 x 4 .若 f 0 0，且 f x 在 0,1 单调递增，则满足
f (x) sin πx 2的 x的取值范围是 .
4
三、解答题（本题满分 70 分，17--21 为必答题，每题 12 分；22--23 两题为选做题，每题 10 分）
17．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发
芽率，并按发芽率分为8组： 0.486,0.536 、 0.536,0.586 、L 、 0.836,0.886 加以统计，得到如图所示
的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于 0.736的种子定为“A级”，发芽率低于
0.736但不低于 0.636的种子定为“ B级”，发芽率低于 0.636的种子定为“C级”．
（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率；
（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A级”、“ B级”、“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某
人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费 X 元，以频率为概率，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的
种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变
大了还是变小了？（结论不需要证明）．
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18（本题 12 分）、三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 AA1C1C是矩形，E是 1 1的中点，且 AB = AC = 2, A1E ⊥ EC.
（1）证明：直线 AA1为异面直线 AC和A1B1的公垂线.
（2）若 AC和A1B1的距离为 4，二面角 C AA °1 B1为60 ，求直线 BA1与平面 CA1E所成角的正弦值。
19（本题 12 分）、设数列 的前 n项和为 ，且 与 4 的等差中项为 .
（1）证明：数列 + 2 是等比数列。
an + 2 1 1 1 1
（2）设bn = log3 2 ，证明： 1 + b 1 + 1 + 1 +
b
1 b3 b5 b
> 2n+1
2n 1
20．（本题 12 分）如图，已知点 F1 1,0 ，F2 1,0 ，以线段 F2G为直径的圆内切于圆O : x2 y 2 4．
(1)证明 GF1 GF2 为定值，并写出点G的轨迹 E的方程；
(2)设点 A,B,C是曲线 E上的不同三点，且OA OB OC 0，求 AOB的面积．
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21 n 2 n．（本题 12 分）已知函数 f x x x cosx（其中n Z）．
π
(1) n 1 f x 若 ，判断函数 在 0, 2 上的单调性；
(2)若 n 1，判断函数 f x 零点个数，并说明理由；
(3)若 n 0，求证： f x 2 x
ex 1
0
以下两题为选做题，考生只需从中选出一题解答即可
= 2 / =
22（本题 12 分）、曲线 E： = 2 , 为参数，在伸缩变换 / = 1 下曲线 E 变为曲线 C，直线 的参数方程
2
= 1 +
为 = 1 + 2 ，以坐标原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点 P的极坐标方程为 2, .4
（1）求曲线 C 的普通方程和直线 的极坐标方程。
（2）设直线 与曲线 C 交于 A、B 两点，求|PA| + |PB|的值
23（本题 10 分）、已知三个正实数 a, b, c 满足 ab + 3bc + 2ca = 4abc
1 1 1 8
（1）证明： + + ≥
a2 b2 c2 7
（2）当 c = 1 时，求|2a 1| + |2 3b|的最小值
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2023桂林市国龙外国语学校高三数学 3月预测考试理科试卷
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C D C C B B D C C A D
1 1
12 详解：由 f x 2x sin x ，得 f x 2 cos x 1,3 ，所以 1, =A，
2 cos x 3
由 g x mex m 2 x x，得 g x me m 2 .
(1)当m 0时，导函数单调递增， g x m 2, ，
由题意得 x1, x2 , f (x1)g x2 1 g x2
1
A B
f (x1)
故m 2 1，解得0 m 1；
1
(2)当m 0时，导函数单调递减， g x ,m 2 ，同理可得m 2 ，与m 0矛盾，舍去；
3
（3）当m 0时，不符合题意.
综上所述：m的取值范围为 0,1 .
二、填空题
13 2 3．3 14． 15． 3 16． 1 8k,3 8k ,k Z
3
1 1 1
15 题【详解】因为△ABC的面积为 1，所 bc sin A b 2b sin A b2 sin A 1 2，可得b ，
2 2 sin A
由 BC AC AB，可得 | BC |2 | AC |2 | AB |2 2AC AB b2 c2 2bc cos A b2
2b 2 2b 2b cos A 5b2 4b2 cos A 5 4cos A 5 4cos A ，
sin A sin A sin A

sin A 1 m sin A

设 ，其中 A (0, π)，
4cos A 5 4 cos A 5
4
sin A sin A 0

因为 P
5 ,0
cos A 5 5 cos A 表示点 与点（cosA，sinA）连线的斜率， 44 4
如图所示，当过点 P的直线与半圆相切时，此时斜率最小，
在直角△OAP中，OA 1,OP
5
3，可得 PA ，
4 4
k 4所以斜率的最小值为 PA tan APO ，3
1 4 1
所以 m的最大值为 ，所以 | BC |2 3，所以 | BC | 3，即 BC的最小值为 ，4 3
3
3
故答案为： 3．
16【详解】因为 f x 是偶函数，所以 f x f x ，
由 f 1 x f 1 x 4 ，可得 f x 关于 1,2 对称，
因为 f 1 x f 1 x 4 ，所以 f 1 x 3 f 1 x 3 4，
则 f x 4 f 1 x 3 f 1 x 3 4 f x 2 4，
因为 f x 是偶函数，所以 f x 2 f x 2 ，
因为 f 1 x f 1 x 4，所以 f 1 x 1 f 1 x 1 4，
则 f x 4 f x 2 4 f 1 1 x 4 f 1 1 x f x f x ，
所以函数 f x 是周期为 4的周期函数.
因为 f x 是偶函数，且在 0,1 单调递增，所以 f x 在 1,0 单调递减，
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令 f 1 x f 1 x 4 中 x 0，则 f 1 f 1 4，则 f 1 2，
又因为 f x 关于 1,2 对称，所以 f x 在 1,2 上单调递增， 2,3 上单调递减，
结合函数 f x 是周期为 4的周期函数，
综上可得 f x 在 0,2 ， 4,6 上单调递增， 2,4 ， 6,8 上单调递减.
y π T
2π
8 π
因为 sin x 的最小正周期为 π ，结合 y sin x 图象可知，
4 4 4
y sin π x 在 0,2 ， 6,8 上单调递增，在 2,6 上单调递减，
4
令 f 1 x f 1 x 4 中 x 1，则 f 2 f 0 4，则 f 2 4，
π
当 x 1, y sin π 2 ，又 f 1 2，所以 f 1 sin 2 ，
4 2 4
x 3, y sin 3π 2当 ，又 f 3 f 1 f 1 2 3π，所以 f 3 sin 2 ，
4 2 4
所以当 x 0,8 时， f (x) πx sin 2，解得 x 1,3 .
4
π
又因为 f x 与 y sin x 均为周期函数，且 8 均为其周期，
4
πx
所以 f (x) sin 2的 x的取值范围是 1 8k,3 8k ,k Z .
4
故答案为： 1 8k,3 8k ,k Z .
三、解答题
17．（Ⅰ）0.8； （Ⅱ）分布列详见解析，数学期望为 31； （Ⅲ）方差变大了．
【详解】（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C级”种子”，
由图表，得 0.4 1.2 a 4.0 6.0 4.4 1.2 0.4 0.05 1，解得 a 2.4，
由图表，知“C级”种子的频率为 0.4 1.2 2.4 0.05 0.2，
故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C级”的概率为 0.2．
因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C级”种子”为对立事件，
所以事件M 的概率P M 1 0.2 0.8；
（Ⅱ）由题意，任取一颗种子，恰好是“A级”康乃馨的概率为 4.4 1.2 0.4 0.05 0.3，
恰好是“ B级”康乃馨的概率为 4.0 6.0 0.05 0.5，
恰好是“C级”的概率为 0.4 1.2 2.4 0.05 0.2．
随机变量 X 的可能取值有 20、25、30、 35、 40，
P X 20 0.22且 0.04，P X 25 2 0.5 0.2 0.2，
P X 30 0.52 2 0.3 0.2 0.37，P X 35 0.3 0.5 2 0.3，
P X 40 0.32 0.09 .
所以 X 的分布列为：
X 20 25 30 35 40
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
故 X 的数学期望E X 20 0.04 25 0.2 30 0.37 35 0.3 40 0.09 31．
（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了．
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18 85．（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）4 ；
85
【详解】（Ⅰ）在三棱柱中，AB//A1B1, AC//A1C1, AB = A1B1, AC = A1C1
又 E 为 1 1的中点，所以A1E ⊥ 1 1.
又A1E ⊥ EC， 所以 1 ⊥ 平面 B 1 1
而 1 平面 1 1
∴ A1E ⊥ B1B.
∵ A1A//B1B.
∴ A1A ⊥ A1E.
又侧面 AA1C1C是矩形，所以 1 ⊥ 1 1
1 1与A1E是平面 1 1 1内的两条相交直线，
所以A1A ⊥ 平面 A1B1C1
而 1 1 平面A1 1 1
∴ A1A ⊥ 1 1.
又A1A ⊥ AC，AC 和 A1B1都与 A1A 相交，所以直线 AA1为异面直线 AC和A1B1的公垂线.
（Ⅱ）由题知及（Ⅰ）得A1A=4，∠C1A1B1 = 60 。
取 BC 的中点为 F，则 EF ⊥ 平面A1 1 1。
取 E为坐标原点，CA1、EC1、EF 分别为 X 轴、Y 轴、Z 轴建立空间直角坐标系，如图所示。
则 E(0,0,0), A1( 3, 0, 0), B(0, 1,4), C(0,1,4)
∴ A1B = ( 3, 1,4), EA1 = ( 3, 0,0), EC = (0,1,4).
设平面 CA1E的法向量为 = ( , , )
则 ⊥ EA1, a ⊥ EC
∴ 3x = 0 x = 0
y + 4z = 0 y = 4z.
取 z = 1,得a = (0, 4,1)
设直线 BA1与平面 CA1E所成角为θ，则
|AB a| 8 4 85
sinθ = |cos < A1B, a > | =
1 = =
|A1B|| a| 20 17 85
4 85
所以直线 BA1与平面 CA1E所成角的正弦值为 85
19．（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见证明；
详解（Ⅰ）依题知得 2 2 = 4
∴ 2Sn = 3an 4n.
当 n = 1 时， 1 = 4
当 n ≥ 2时，2Sn 1 = 3an 1 4n + 4
∴ 2Sn 2Sn 1 = 3an 3an 1 4.
2an = 3an 3an 1 4 an = 3an 1 + 4 an + 2 = 3 an 1 + 2
∵ a1 + 2 = 6 ≠ 0.
an + 2∴ = 3
an 1 + 2
所以，数列 + 2 是等比数列。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 + 2 = 6 3 1 = 2 3
a + 2
∴ b nn = log3 = n2
即证明： 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1+ 1 > 2n + 1
1 3 5 2n 1
下面用数学归纳法证明此不等式：
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（1）当 n=1 时，不等式左边=2> 2 × 1 + 1，不等式成立
（2）假设当 n = k(k ≥ 1, k ∈ N )时不等式成立，即：
1 1 1 1
1 + 1 + 1 + 1 + > 2k + 1
1 3 5 2k 1
那么，当 = + 1时，左边= 1 + 1 + 1 1 + 1 1+ 1 1 + 1 > 2k + 1 1 + 1
1 3 5 2k 1 2k+1 2k+1
要证 2k + 1 1 + 1 > 2k + 3 1 2，只要证 > 2 + 3 2 + 1 =
2k+1 2 +1 2 +3+ 2 +1
∵ k ≥ 1, ∴ 2k + 3 > 2k + 1
2 2 1
∴ < =
2 + 3 + 2 + 1 2 + 1 + 2 + 1 2 + 1
1
所以不等式 2k + 1 1 + > 2k + 3成立
2k+1
即当 = + 时不等式成立
综合（1）、（2）原不等式对一切正自然数 n 成立
2 2 3
20．(1) x y证明见解析； 1 (2)
4 3 2
【详解】（1）解：记线段 F2G的中点为H，
由于线段 F1F2 的中点为O，连接OH ，则OH //FG OH
1
1 ， F1G ，2
设 H 的半径为 r， H 与 O内切于Q，连接HQ，则O,H ,Q三点共线，
如图， GF1 GF2 2 HO HF2 2 HO HQ 2 OQ 4为定值。
又 F1F2 2，
所以根据椭圆的定义可得G点轨迹是以 F1 1,0 ，F2 1,0 为焦点，实轴长为 2a 4的椭圆，
x2 y2
所以 E的方程为 1．
4 3
x2 y2
（2）解：因为 A,B,C是椭圆 1上的不同三点，
4 3
且OA OB OC 0．
①当直线 AB的斜率存在时，设 AB : y kx m m 0 ，
x2 y2 2 2 2
与椭圆方程 1联立，消去 y，整理得 3 4k x 8kmx 4m 12 0 ．
4 3
2
设 A x , y B x , y x x 8km1 1 ， 2 2 ，则 1 2 x x
4m 12
2 ，3 4k 1 2
，
3 4k 2
y y k x x 2m 6m所以 1 2 1 2 2 ．
3 4k
因为OA OB OC 0，
8km 6m
所以OC OA OB x 1 x 2 ,y 1 y 2 ，所以C
3 4k 2
,
3 4k 2
．

x2C y
2
又点 在椭圆 1上，
4 3
3 8km
2
4 6m
2
2 2 2所以 3 4k 2
2 12 0，整理得： 3 4k 4m 3 4k 0， 3 4k
又3 4k 2 0，所以 4m2 3 4k 2．
此时 (8km)2 4 3 4k 2 4m2 12 48 m2 4k 2 3 144m2 0 ，
1 2 2
于是 S△AOB m x1 x
1
2 m x1 x2
2 4x1x
1 m 8km 4 4m 122 2 2 2 3 4k 2 3 4k 2
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2 m 2 2 2 m 2 m 2 4k m m2 3 3 3 4k 2 2 9 3m2 12k 2 9m2 3 4k 4m 4m2 2
②当直线 AB的斜率不存在时，设 A x1, y1 ,B x1, y1 ，

因为OA OB OC 0 ,所以C 2x1,0 ，
C x
2 y2
因为点 在椭圆 1上，解得 x1 1 ，4 3
3 3 3 3 3 3
所以 A 1, ，B 1,

，C 2,0 A
1, ；或 ，B 1,

，C 2,0

；或 A 1, ，B 1, ，
2 2 2 2 2 2
C 2,0 ；或 A 1, 3 ， B
1, 3 ，C 2,0 ，
2 2
3
此时． S AOB ，2
综上， AOB 3的面积为 ．
2
π
21．(1)

函数 f x 在 0, 2 上单调递增；
(2)函数 f x 有三个零点，理由见解析；
(3)证明见解析.
1 sin x cos x π
【详解】（1）n 1时， f x x cosx ， f (x) 1 2 0

在 0,

上恒成立，
x x x 2
所以函数 f x 在 0, π 2 上单调递增.
（2） n 1时， f x x 3 xcosx ，
3
令 f x x xcosx=0，所以 x 0或 x2 cos x .
令 g(x) x2 cos x, g (x) 2x sin x，
因为 g( x) x2 cos x g(x)，所以函数 g(x)是偶函数.
不妨研究 x 0函数 g(x)的单调性.
当 x [0, π]时， g (x) 2x sin x 0 ，
所以函数 g(x)单调递增，
所以 g(x) x2 cos x g(0) 1，因为 g(2) 4 cos 2 0，
所以函数 g(x)在 (0, π]内有一个零点；
当x (π, )时，设h(x) 2x sin x, h (x) 2 cos x 0，
所以函数 h(x)单调递增，所以函数 g (x) 2x sin x 单调递增.
所以 g(x) x2 cos x g(π) π2 1 0，
所以函数 g(x)在 (π, )内没有零点.
根据函数的奇偶性得函数 f x 有三个零点.
综上所述，函数 f x 有三个零点.
（3） n 0时， f x x2 cosx 2，即证 x cos x 2 x 0 .
ex 1
2 x
即证 x cos x 2 .
ex 1
由（2）得 g(x) x2 cos x g(0) 1，
p(x) x 1 x设 x 1 2, p (x) x 1 ，e e
所以当 x 1时， p (x) 0, p(x) 在 (1, )单调递减；
当 x 1时， p (x) 0, p(x) 在 ( ,1)单调递增.
2 x
所以[p(x)]max p(1) 1，所以 x cos x ex 1
2 .
原题即得证
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2 2
22．(1) 曲线 C： + = 1；直线 l：ρ(2cosθ sinθ) 3 = 0
4 2
(2)2 10
3
【详解】（1）曲线 E 的普通方程为 2 + 2 = 4
/ = 2 2
在伸缩变换 / = 1 下曲线 E 变为曲线 C，则曲线 C 的普通方程为 + = 1。4 2
2
直线 普通方程为 y = 2x 3
=
把 = 代入得直线 的极坐标方程为ρ(2cosθ sinθ) 3 = 0
（2）点 P 的直角坐标为 1, 1 ，所以点 P ∈
1
x = 1 + t
∴ 5直线 的参数方程化为 2 , t为参数
y = 1 + t
5
2 2
C + = 1 1 + 1
2
+ 2 1 + 2
2
代入 的普通方程 得： = 4
4 2 5 5
化简为 9t2 6 5t 5 = 0
由韦达定理得： 1 + 2 =
6 5 , 1
5
9 2
=
9
2 10
|PA| + |PB| = |t 21 t2| = t1 + t2 4t1t2 = 3
23．(1)证明见解析；（2）5
3 2 1
【详解】（1）由条件化为： + + = 4

∵ a, b, c ∈ R+，所以由柯西不等式得：
3 2 1 2 2 2 2 1 1 1+ + ≤ 3 + 2 + 1 + +
a2 b2 c2
1 1 1
当且仅当 = = 即 a = 7 , b = 7 , c = 7时上式取等号
3 2 6 4 2
1 1 1 16 8
∴ 2 + 2 + ≥ =a b c2 14 7
（2））当 c = 1 时，条件等式化为 3b + 2a = 3ab 1 + 2 = 1
3
2
∴ a > 1, b >
3
∴ |2a 1| + |2 3b| = 2a + 3b 3 = 3ab 3
由平均值不等式得：2a + 3b ≥ 2 2a 3b 3ab ≥ 2 6ab 3ab ≥ 8
4
当且仅当 2a = 3b即 a = 2, b = 时上式取等号
3
所以|2a 1| + |2 3b|的最小值为 5
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