参考答案：
1．D【详解】解：∵ A {x∣x 2 0} {x∣x 2}， B { 2, 1,0,1}，
∴ A B { 1,0,1} .故选：D
1
2．D【详解】由扇形面积公式 S r 2
1
得 r 2， r 2， l r 2 ，
2 3 2 6 6 3
故选：D．
1
3．C【详解】∵f（﹣2）＝3﹣2+2×（﹣2） 4＜0，
9
1 1f（﹣1）＝3﹣ +2×（﹣1） 2＜0，
3
f（0）＝1＞0，f（1）＝3+2＞0，f（2）＝9+4＞0，
∴f（﹣1）f（0）＜0，故选 C．
4．C【详解】 a 1.20.2 1.20 1，b 0.91.2 0.90 1， b a，
y x0.2 (0, ) 1 a 1.20.2 0.3 0.2 (10)0.2又 在 上单调递增， ， b a c3 ，故选：C．
5．D【详解】由条件可知 r 1 m2 ，m 0，所以 sin
m 5
m，
1 m2 5
2sin cos 2 tan 1
解得：m 2，所以 tan m 2， 5 .故选：D
sin cos tan 1
tan tan 2 1
tan
6．C【详解】 tan
3
4 5 4 .
4 4 1 tan tan 1
2 1 22
4 5 4
故选：C.
x y
7 C 1． 【详解】若 1
x y 则 x1y2 x2 y 0 a
1 ， / /b ，若 a / /b，有可能x2或 y2为 0，
2 2
x1 y
故 1
x y 是a / /b的充分不必要条件.故选：C .2 2
3
8．D【详解】因为 AC 4BC，A， B，C三点共线，所以 AB AC，4
3 3
OB OA AB OA AC OA 4 4 OC OA
3 3
OA OC OA 1 3 OA OC
4 4 4 4
所以OB
1 3
OA OC .故选：D.
4 4
9．AD【详解】对于A，因为 a b,c d，所以 a c b d成立，故选项A正确；
对于B，因为 a b,c d，若a 4,b 2，c 1,d 3，则ac 4 bd 6，故选项B错误；
对于C，因为 a b，若 c = 0，则 ac2 bc2 ，故选项C错误；
对于D，因为 a b 0,c 0
1 1 c c
，所以 0，因为 c 0，则 ，故选项D正确，
b a a b
故选：AD .
10．BD
11．AD【详解】A：函数不存在零点，若 a 0则解集为 R，若 a<0则解集为空集，错误；
B：由不等式对应的二次函数图像开口向下，说明 a<0且至多与 x轴有一个交点，故
Δ b 2 4ac 0，正确；
a 0
C：当 a 0时 x 1，显然不符合题意，当 a 0时由二次函数的性质知：
1
，解
4a 0
得 a
1
≤ ，正确；
4
1 1 1 xD： 0，解得 0 x 1，错误；故选：AD
x x
2 4
12．AB T 3 【详解】由题图可知 A 2，函数 f (x)的最小正周期T 4 ( ) 3 ，故 1 ，
4 2
4 2
解得 ，所以 f (x) 2sin( x ) ，又函数 f (x)的图象经过点 ( , 2)4 ，所以3 3
f ( ) 2sin(2 ) 2，即 sin( ) 1，因为 0 2 ，所以
4 3 4 6 2 6 6 3
，所以 ，
6 2
解得 ，所以 f (x) 2sin(
2 x )，故 A正确；
3 3 3
7
因为 f ( ) 2sin[
2 ( 7 ) 7 ] 2sin( 2 ) 0，所以 f (x)的图象的一个对称中心为 ( ,0)，
2 3 2 3 2
故 B正确；
2kπ π 2 x π令 2kπ
π
， k Z，解得 3kπ 5π x 3kπ π ， k Z，所以 f (x)4 4 的单调递2 3 3 2
增区间是 [3k
5
,3k ]， k Z，故 C错误；
4 4
把 g(x) 2sin(x
π) 2 的图象上所有点的横坐标变为原来的 3 ，纵坐标不变，可得到3
y 2sin(3 x )的图象，故 D错误．
2 3
故选：AB．
13． x R, x 2 1 0 .
14． 2 10 【详解】由 a b， a (1, 2)，b (x, 2)，得 x 4 0，解得 x 4,
r r
所以b (4, 2)， 2a b ( 2, 6) ，所以 |2a b| 2 10 ．故答案为： 2 10 .
x
0,3 2 1 , x 015． 【详解】∵函数 f (x) 在 ( , )上单调递增，
mx m 1, x 0
m 0
∴函数 y mx m 1在区间 ，0 上为增函数，∴ 0 ，解得0 m 3
m 1 2 1 2
，
∴实数m的取值范围是 0,3 ．故答案为 0,3 ．
lg x, x 3 3
16．k lg
3 2
【详解】试题分析：∵函数 f (x) { ，故函数 f x 在 ， 上2 lg(3 x), x 3 2
2
3
是增函数，在
， 上是减函数．故当 x
3
时， f x 3有最小值为 lg ．由题意可得，函
2 2 2
数 f x 3 3的图象与直线 y k无交点，∴ k lg ．故实数 k的取值范围是 k lg ．
2 2
考点：1．函数零点；2．函数的单调性．
sin( ) cos(2 ) cos 3
2 sin cos ( sin )
17．(1)(1) f ( ) cos ；
cos sin( )
sin sin
2
8 2 (sin π（2）( ) + )03 5 +log
3
3 +lg25 + lg4=(
2 ) 2+1+1+lg25 4=9+1+1+2=23
27 3 2 4 2 4
18．（1） B ；（2）答案不唯一，具体见解析．
3
【详解】解（1）因为 3c 2b sinC=0，由正弦定理 3 sinC 2sin BsinC 0 ．
C 因为 0, ,sinC 0
3 ，所以sinB= ．因为 B 0,2 2 ，所以 B ． 2 3
（2）条件①：b 3 3，a 2 ；因为b 3 3,a 2，由（1）得 B ，
3
所以根据余弦定理得b 2 c 2 a 2 2c a cos B，化简整理为 c 2 2c 23 0，解得c 1 2 6．
ABC S 1 c asinB 3 6 2所以△ 的面积 ．
2 2
π b a
条件②： a 2，A 由（1）知 B ， A ，根据正弦定理得 ，
4 3 4 sin B sin A
a sin B 5
所以b 6 ．因为C A B ，所以 sinC sin
5
sin 6 2 ，sin A 12 12 4 6 4
所以△ ABC 1 3 3的面积 S b asinC ．
2 2
19．（1）单调递增区间为 k , k
,k Z （2）最大值为 3，最小值为 0. 3 6
【详解】：（1）由m n得m n 2cos2x 2 3sinxcosx y 0，
所以 y 2cos2x 2 3sinxcosx 1 cos2x 3sin2x 2sin
2x
1 .
6
由 2k 2x
2k ,k Z 得 k x k ,k Z ，
2 6 2 3 6
即函数 y 2sin
2x
1 的单调递增区间为 k , k ,k Z
6 3 6
g x 2sin x 5 （2）由题意知 1 因为 x 0, , x
, ，
6 6 6 6
x 故当 时， g x 有最大值为 3； 当 x 时， g x 有最小值为 0.
6 2 6 6
故函数 g x 在 x 0, 上的最大值为 3，最小值为 0.
14
20 5．（1） ，
5 1 5
（2） 3
（1） d A,B 1 3 2 4 14 ，
5 5 5
cos A,B 1 3 2 4 5 5，故余弦距离等于1 cos A,B 1 ；
5 5 5 5 5
5
（2）
cos M ,N sin sin cos cos
sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2
sin sin cos cos 1 ；
5
cos M ,Q sin sin cos cos
sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2
sin sin cos cos 2
5
3 1 tan tan sin sin 故 sin sin ， cos cos ，则 3 .
10 10 cos cos
5x2 150x 500,0 x 20
21．(1) t
1200 6400
(2)8000台，1040万元
x , x 20
x
【详解】（1）当0 x 20时， t 300x 5x 2 150x 500 5x 2 150x 500 ；
6400 6400
当 x 20时， t 300x 301x 1700 500 1200 x .
x x
5x2 150x 500,0 x 20
所以 t
6400 .
1200 x , x 20
x
（2）当0 x 20时， t 5x2 150x 500 5 x 15 2 625，
故当 x 15时，t取得最大值，为 625，
x 20 x 6400 2 x 6400当 时，因为 160，
x x
6400
当且仅当 x ，即 x 80时等号成立，
x
所以 t 1200
6400
x 1200 160 1040 ，
x
即当 x 80时，t取得最大值，为 1040，
综上所述，当年产量为 8000台时，年利润最大，且最大年利润为 1040万元.
3
22．（1）1或 ；（2） ( ,6]；（3）存在， n 2，m 1.
2
【详解】（1）因为 f (x) x2 (a 2)x a 3，且 f (a 1) f 2a ，
2 2
所以 a 1 (a 2) a 1 a 3 2a 2a(a 2) a 3，
整理得 2a2
3
a 3 0，解得 a 1或 ；
2
a 2
（2） f (x) x2 (a 2)x a 3的对称轴为 x ，因为 x 2,3 ，
2
a 2
①若 2，即 a 6，则 f (x)在 x 2,3 上单调递增，所以
2
f (x) f (2) 22min 2(a 2) a 3 5 a，符合题意；
a 2 a 2 a 2
②若 2 3
，即 6 a 8，则 f (x)在 2, 上单调递减，在 ,3 单调递增，所以2 2 2
f (x) f ( a 2) a 2
2
a 2 a 2 8a 16
min (a 2) a 3 5 a ，则a 6，与 6 a 8矛2 2 2 4
盾，不符合题意；
a 2
③ 3，即 a 8，则 f (x)在 x 2,3 上单调递减，
2
2
所以 f (x)min f (3) 3 3(a 2) a 3 12 2a 5 a ，则 a 7，与 a 8矛盾，不符合；
综上 a 6，因此实数 a的取值范围为 ( ,6]；
（3）因为关于 x的不等式 m≤f（x）≤n的解集恰为[m，n]，
a 2 f m m
①若 m，则 f (x)在 m,n 上单调递增，所以 m,n2 f n n
，即 是方程
m n a 1
x2 (a 2)x a 3 x，即 x2 (a 1)x a 3 0的两个根，由韦达定理得 mn a 3 ，所
以m n 2 mn，所以m 1 n 2 n，当 n 1时，m不存在，舍去，
n 1 m 2 n 1当 时， 1，所以当 n 0时，m 2；当 n 2时，m 0，
1 n 1 n
又因为m n，所以 n 2，m 0，经检验，此时 a 3，关于 x的不等式 m≤f（x）≤n的解集
不是[m，n]，故不符合题意舍去；
a 2 a 2
②若m
a 2
n，则 f (x)
在 m, 上单调递减，在 ，n
上单调递增，所以2 2 2
a 2 2
a 2 a 2f m (a 2) a 3 m 2 2 2
a2 8a 16 4m
n2 (a 2) n a 3 n
n2 (a 2) n a 3 n
f n n
，即 ，所以 ，
m
2 (a 2) m a 3 n 2 m (a 2) m a 3 n
f m n
即 x2 (a 2) x a 3 n 0有两个不相等的实数根，且m n 2 a，由于m,n为整数，则
2
a a= n n 3为整数，则 n 2 1
n 1 n 1
当 n 0时， a 3,m 1，经检验关于 x的不等式 m≤f（x）≤n的解集不是[m，n]，故不符
合题意舍去；
当 n 2时， a 3,m 1，经检验符合题意；
故m 1，n 2；
a 2 f m n
③若 n，则 f (x)在 m,n 上单调递减，所以
2 f n m
，
m2 (a 2) m a 3 n
即 ，则m nn2
，不合题意舍去.
(a 2) n a 3 m
综上：存在这样的m,n为整数，且m 1， n 2 .2025 届高一下学期 3 月月考数学试卷
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题(每小题 5 分，共 40 分)
1．已知集合 A {x∣x 2 0}， B { 2, 1,0,1}，则 A B （ ）
A． 2,1 B． 2,1 C． 2, 1,0,1 D． 1,0,1
2．已知扇形的圆心角为 ，面积为 ，则扇形的弧长等于（ ）
6 3
2
A． B． C． D．
4 3 6 3
3．函数 f (x) 3x 2x的零点所在的一个区间是（ ）
A．(1，2) B．(0，1) C．(－1，0) D．(－2，－1)
4．设 a 1.20.2 ,b 0.91.2 ,c 0.3 0.2，则 a，b，c大小关系为（ ）
A． a b c B． a c b C．c a b D． c b a
2sin cos
5．已知 是第四象限角，M 1,m 5为其终边上一点，且 sin m，则 的值（ ）
5 sin cos
4 4
A．0 B． C． D．5
5 3
1
6．已知 tan( )
2
， tan
tan
5
，则
4 4 4
的值为（ ）
3
A B C 2． 3 ． 2 ． D．22 3
x1 y1 7．设向量 a = (x1, y1)，b = (x 2 , y2)，则 x y 是a / /b的条件．2 2
A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要
8．如图，已知A， B，C共线，且向量 AC 4BC，则（ ）
4 1 1
A．OB
4
OA OC B．OB OA OC
5 5 5 5
3 OB OA 1
1 3
C． OC D．OB OA OC
4 4 4 4
二、多选题(每小题 5 分，共 20 分)
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 a b,c d，则 a c b d B．若 a b,c d，则 ac bd
C．若 a b，则 ac2 bc2 D．若 a b 0,c 0,
c c
则
a b
10．有如下命题，其中真命题为（ ）
第 1页，共 4页
A．若幂函数 y f x 1 的图象过点 2, ，则 f 3
1
2 2
B．函数 f x ax 1 1 a 0且a 1 的图象恒过定点 1,2
C．函数 f x x2 1在 0, 上单调递减
3
D．已知向量a与b的夹角为 ，且 a 2， = 3，则 a在b方向上的投影向量是- 2 4
.
3
11．下列结论错误的是（ ）
A y ax2．若函数 bx c a 0 对应的方程没有根，则不等式 ax2 bx c 0的解集为 R；
B 2．不等式 ax bx c 0 a 0 在 R上恒成立的条件是 a<0且 b2 4ac 0；
C．若关于 x的不等式 ax2
1
x 1 0的解集为 R，则 a≤ ；
4
1
D．不等式 1的解为 x 1.
x
1
12．若函数 f (x) Asin( x )(A 0,
0,0 )
2 2
在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A． f (x) 2sin(
2 x )
3 3
B f (x) 7 ． 的图象的一个对称中心为 ( ,0)2
C f (x) 5 ． 的单调递增区间是 [3k ,3k ] ，k Z
4 4
D．把 g(x) 2sin(x
π 2
)的图象上所有点的横坐标变为原来的 3 ，纵坐标不变，可得
f (x)的图象
3
三、填空题(每小题 5 分，共 20 分)
13．命题“ x R, x 2 1 0 ”的否定是_______.
14．已知向量 a (1, 2)，b (x, 2)，若 a b，则 | 2a b | __________．
2x 1 , x 0
15．若函数 f (x) 在 ( , )上单调递增，则m的取值范围是_____．
mx m 1, x 0
, ≥ 3
16．已知函数 ( ) = 2 ，若函数 y f (x) k无零点，则 k的取值范围是________．
(3 ), < 3
2
第 2页，共 4页
四、解答题(共 70 分)
17．(本小题 10分)化简求值：
sin( ) cos(2 ) cos
3
（1）已知 f ( ) 2 化简 f ( ) .
cos
sin( )
2
8 2 π（2）( ) 3+(sin )0+log 35 3 +lg25 + lg4.27
18．(本小题 12分)在锐角 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 3c 2bsinC 0．
（1）求角 B的大小；
（2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 ABC的面积．
条件①b 3 3，a 2；条件②： a 2，A ．
4
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
19．(本小题 12分)已知m 2cosx 2 3sinx,1 ,n cosx, y m n ，且 .将 y表示为 x的函数，
若记此函数为 f x ，
（1）求 f x 的单调递增区间；
（2）将 f x 的图象向右平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2倍（纵
6
坐标不变），得到函数 g x 的图象，求函数 g x 在 x 0, 上的最大值与最小值.
第 3页，共 4页
20．(本小题 12分)人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是
利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，
在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈
顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，则曼哈顿距离为：
d A,B x1 x2 y1 y2 ，余弦相似度为：
cos A, B x1 x2 y y 1 2
2 2 2 2 2 2 2 ，余弦距离为1 cos A,B x1 y1 x2 y2 x1 y1 x2 y22
（1）若 A 1,2 3 4 ， B , ，求 A，B之间的曼哈顿距离 d A,B 和余弦距离；
5 5
（2）已知M sin , cos ，N sin ,cos ，Q sin , cos ，若 cos M ,N 1 ，cos M ,Q 2 ，
5 5
求 tan tan 的值.
21．(本小题 12分)某呼吸机生产企业计划投资固定成本 500万元引进先进设备，用于生产救
治新冠肺炎患者的无创呼吸机，需要投入成本 y（单位：万元）与年产量 x（单位：百台）的
5x2 150x, 0 x 20
y 函数关系式为 .据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为 3万
301x
6400
1700, x 20
x
元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.
（1）求年利润 t（单位：万元）关于年产量 x的函数解析式（利润=销售额-投入成本固定成本）；
（2）当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润.
22．(本小题 12分)已知函数 f (x) x2 (a 2)x a 3．
（1）若 f（a＋1）＝f（2a），求 a的值；
（2）若函数 y＝f（x）在 x∈[2，3]的最小值为 5－a，求实数 a的取值范围；
（3）是否存在整数 m、n使得关于 x的不等式 m≤f（x）≤n的解集恰为[m，n]？若存在，请求
出 m、n的值：若不存在，请说明理由．
第 4页，共 4页
