北师大版数学八年级下册4.1 因式分解 教案

4.1因式分解
教学目标
1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念.
2.认识因式分解与整式乘法的关系——互逆关系(即相反变形)，并能运用这种关系寻找因式分解的方法.
3.通过对因式分解与整式乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化，培养学生分析问题的能力与综合应用能力.
教学重点难点
重点：理解因式分解的概念，会判断一个变形是否为因式分解.
难点：理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够运用其解决问题.
教学过程
导入新课
【问题1】
某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma+mb)元.”小华说：“总共需要m(a+b)元”.
教师：同学们，这两位同学的回答正确吗？你们觉得他们计算出的总金额一样吗？它们之间又有怎样的关系？引出课题.（师生互动）
探究新知
探究点一　因式分解的概念
活动1　复习旧知(学生交流)
【问题2】21能被哪些数整除？
学生：1，3，7，21.
老师：你是怎样想到的？学生：因为21＝1×21＝3×7.
【思考】既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？
学生：可以.
活动2　探索解法(学生交流)
【问题3】993-99能被100整除吗？
.
所以，993-99能被100整除.
【思考】993-99还能被哪些整数整除 (小组交流，教师点评)
请看课本第92页议一议：
【议一议】你能尝试把a3 – a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流
a3 -a＝a(a+1)(a-1)
【知识讲解】
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是积的形式.
3.结果中的每一个因式都必须是整式.
活动3　合作探究(师生互动)
【例1】　下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2-y2-1＝(x+y)(x-y)-1；②x3+x＝x(x2+1)；③(x-y)2＝x2-2xy+y2；④x2-9y2＝(x+3y)(x-3y).
A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　　 D.4个
解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解.故选B.
【方法总结】
因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式.
【即学即练】
下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是(　　)
A.x2-x-2＝x(x-1)-2
B.(a+b)(a-b)＝a2-b2
C.x2-4＝(x+2)(x-2)
D.x2-＝
答案：C
探究点二　因式分解与整式乘法的关系及简单应用
活动4　合作探究(师生互动)
【问题4】如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？
学生：
方法一：m(a+b+c)；
方法二：ma+mb+mc.
教师：
【总结】(学生总结，老师点评)
因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆变形，因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
【例2】　完成下列题目：
（1）x(x-2)＝_______
（2）(x+y)(x-y)＝_______
（3）(x+1)2＝________
【答案】x2-2x；x2-y2；x2+2x+1
根据上面的填空，解决下列问题：
（1）x2-2x＝( )( )
（2）x2-y2＝( )( )
（3）x2+2x+1＝( )2
【答案】（1）x,x-2;(2)x+y ， x-y ;(3)x+1
活动5　拓展延伸(学生对学)
【例3】已知三次四项式2x3-5x2-6x+k分解因式后有一个因式是x-3，试求k的值及另一个因式.
【探索思路】此题可设此三次四项式的另一个因式为2x2-mx-，将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k的值.
【解】设另一个因式为2x2-mx-，∴(x-3)·＝2x3-mx2-x-6x2+3mx+k＝2x3-(m+6)x2-x+k＝2x3-5x2-6x+k，∴m+6＝5，-3m＝6，解得m＝-1，k＝9，∴另一个因式为2x2+x-3.
【题后总结】(学生总结，老师点评)
因为整式的乘法和分解因式互为逆变形，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式.
活动6　探究应用 (教师引导，学生互学)
【即学即练】
若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x-2）（x+3），求a，b的值.
【解】∵x2+ax+b＝a（x-2）（x+3）
＝ax2+ax-6a.
∴a＝1，b＝-6a＝-6.
课堂练习
1.下列各式，从左到右的变形是因式分解的是()
A.3x3y53(xy)5
B.1
C.
D.x(x≠0)
2.是下列某个多项式因式分解的结果，这个多项式是()
A.　　　　　　　B.
C.　　　　　　　D.
3.把因式分解，正确的结果是()
A.(xy)　　　　　　　B.
C.　　　　　　　　　　D.x(xy)(xy)
4.若(x3)(x5)是pxq因式分解的结果，则p为()
A.15　　　　　　　　　　　　B.2
C.8　　　　　　　　　　　　　D.2
5.(m+2n)(m-2n)是下列哪个多项式分解因式的结果( )
A.m2+4n2　　　　　　　　　　　B.-m2+4n2
C.m2-4n2　　　　　　　　　　　D.-m2-4n2
参考答案：
1. C　解析：A中等号右边不是整式的积的形式；B中等号左边是整式的积的形式，而右边是多项式，属于整式乘法；C中是因式分解；D中等号右边出现，它不是整式.
2. C　解析：根据因式分解与整式乘法是互为逆变形的关系，可得所求多项式为.
3. D　解析：在A中，xy还能再分解；在B中，还能再分解；在C中，展开为；D项正确.
4. D　解析：∵2x15，
∴p2，q15.故选D.
5.C　解析：(m+2n)(m-2n)＝ m2-4n2.
课堂小结
(学生总结，老师点评)
一、因式分解的概念
把一个多项式转化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.
二、因式分解与整式乘法的关系
因式分解是整式乘法的逆运算.
布置作业
教材第94页习题4.1
板书设计
第四章　因式分解
1　因式分解
一、因式分解的概念
【问题1】某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma+mb)元.”小华说：“总共需要m(a+b)元”.
【问题2】21能被哪些数整除？
【问题3】993-99能被100整除吗？
二、因式分解与整式乘法的关系