6.1.1 空间向量的线性运算
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
【答案】C
【分析】取零向量可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项.
【解析】对于A选项，零向量与它的相反向量相等，A错；
对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错；
对于C选项，同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C对；
对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错.
故选：C.
2．在长方体中，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据长方体，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.
【解析】如图，可得，，所以.
故选：B
3．在平行六面体中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据平行六面体的几何特征和相反向量的定义即可判断.
【解析】对于①与，长度相等，方向相反，互为相反向量；
对于②与长度相等，但两向量不共线，∴两向量不是相反向量；
对于③与，易知是平行四边形，则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量；
对于④与，易知是平行四边形，∴这两向量长度相等，方向相同．
故互为相反向量的是①③，共有2对，n＝2．
故选：B.
4．已知三棱柱，点为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据空间向量的线性运算求解即可
【解析】解：在三棱柱，点为线段的中点，则
，
所以
，
故选：D
5．三棱锥中，点在棱上，且，则为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用向量加减运算及数乘运算求解即可．
【解析】由题得：
=
=
=
故选D
【点睛】本题主要考查了空间向量的加减运算，数乘运算，属于基础题．
6．已知正方体的棱长为1，设，，，则（ ）.
A．0 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】利用向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得结果.
【解析】
利用向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质，可得
.
故选：D
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算和向量的模长的求法，属于基础题.
7．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量共线判断三点共线即可．
【解析】解：
，
又与过同一点B，
∴ A、B、D三点共线．
故选：C．
8．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过相等向量进行平移，将平移后可以首尾相接，最后得出结果即可.
【解析】由题图观察，平移后可以首尾相接，故有.
故选：A.
9．设是不共线的两个向量，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据共线向量的定义即可判断答案.
【解析】若或为零向量，则共线，不合题意；
若，则，则共线，不合题意，故，同理，A正确.
故选：A.
10．在正四面体中，F是的中点，E是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量加减法的运算法则即可得解.
【解析】依题意，结合图形可得，
．
故选：A.
11．如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案；
【解析】．
故选：C．
12．如图，在正方形网格中，已知，，三点不共线，为平面内一定点，点为平面外任意一点，则下列向量能表示向量的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据，，，四点共面，可知存在唯一的实数对，使，结合图形可得的值，即可得到答案；
【解析】根据，，，四点共面，可知存在唯一的实数对，使．
由图知，，
故，
故选：C.
二、多选题
13．下列说法错误的是（ ）
A．在平面内共线的向量在空间不一定共线
B．在空间共线的向量在平面内不一定共线
C．在平面内共线的向量在空间一定不共线
D．在空间共线的向量在平面内一定共线
【答案】ABC
【分析】由在平面内共线的向量在空间一定共线判断AC，由在空间共线的向量在平面内一定共线判断BD.
【解析】A. 在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误；
B.在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故错误；
C.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误；
D.在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故正确.
故选：ABC
14．在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（ ）
A．；
B．；
C．；
D．
【答案】AB
【分析】按照空间向量的加法法则和减法法则去逐个判断即可
【解析】如图正方体中：
选项A: ，正确；
选项B：，正确；
选项C：，错误；
选项D：，错误.
故选：AB
15．(多选)如图所示， M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，，则下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】利用空间向量基本定理结合空间向量的加减法以及数乘运算求解即可
【解析】根据向量的加减法及数乘运算法则:
，A选项错误；
，故选项正确；
，故选项错误；
，故选项正确．
故选：BD
16．已知三棱锥分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据三角形内中点的结论及向量加法、减法的三角形法则逐个分析选项即可得出答案.
【解析】如图，因为为的中点，所以，故选项A正确；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题
17．共线向量
（1）定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做________或平行向量.
（2）共线向量定理：对于空间任意两个向量，(≠)，∥的充要条件是存在实数λ使________.
【答案】 互相平行或重合 共线向量 ＝λ
【分析】根据共线向量的定义，即可知各空的应填内容.
【解析】由定义，共线向量空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，即为共线向量或平行向量，
而其充要条件为存在实数λ使＝λ.
故答案为：互相平行或重合，共线向量，＝λ.
18．下列向量中，真命题是______．（填序号）
①若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量；
②若A、B、C、D不在一条直线上，则与不是共线向量；
③向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；
④向量与是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上．
【答案】①
【分析】由向量平行共线的定义，依次对四个命题判断即可.
【解析】对于①，若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量，故①正确；
对于②，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是与是共线向量，故②不正确；
对于③，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是与是共线向量，故③不正确；
对于④，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C不在一条直线上，但是与是共线向量，故④不正确；
故答案为：①
19．如图所示，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有______个.
【答案】7
【分析】根据向量模长相等即可结合几何体特征求解.
【解析】与模长相等的向量有：共有7个.
故答案为：7
20．如图，在长方体中，是的中点，点分别在上，且．若，则_____．
【答案】1
【分析】根据向量的加法与减法的三角形法则转化即可.
【解析】因为，
，
所以，
所以，，，
所以．
故答案为：1
四、解答题
21．如图所示，在正方体中，化简向量表达式：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得.
【解析】（1）
（2）由图知，
所以
（3）由图知，
所以由（2）可得
22．如图，已知，分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.求证：，，三点共线.
【答案】证明见解析.
【分析】设，，，结合已知条件可得，再由有公共端点，即可得结论
【解析】证明：取的中点，连接，
因为，分别为四面体的面与面的重心，
所以在上，在上，
设，，，
因为为的重心，
所以
，
因为，所以,
所以，
因为为的重心，
所以，
∴.
又，
∴，，三点共线.
23．如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简：
(1)；
(2)，并在图中标出化简结果的向量.
【答案】(1)
(2)，答案见解析
【分析】根据向量的线性运算直接分别化简.
（1）
；
（2）
如图所示，
连接，因为，，分别是，，的中点，
所以，，
所以.
24．如图所示，在平行六面体中，M、N分别是、BC的中点．设，，．
(1)已知P是的中点，用、、表示、、；
(2)已知P在线段上，且，用、、表示．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】由空间向量的线性运算可得.
【解析】（1）因为M、N、P分别是、BC、的中点
所以，；
；
；
（2）因为，所以
所以．
25．如图，正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量加法的三角形法则和四边形法则得和，由此即可求出结果；
（2）由向量加法的三角形法则和四边形法则得和，由此即可求出结果；
（3）因为，由（1），（2）可知，，由此即可求出结果.
【解析】（1）解：由向量加法的三角形法则得，，
由平行四边形法则和向量相等得，；
所以，
所以；
（2）解：由向量加法的三角形法则得，，
由四边形法则和向量相等得，；
所以，
所以．
（3）解： 由（1），（2）可知，
，
所以.
26．如图，在长方体中，点M，N分别是，的中点，点O为的中点．设，，，用，，表示下列向量：
(1)，，，；
(2)，．
【答案】(1)；
；
；
；
(2)；
.
【分析】根据图形和空间向量的线性运算依次求解即可.
(1)
；
；
；
；
(2)
；
.
27．如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量共线，加法与减法运算求解即可；
（2）根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则求解即可；
（3）根据化简求值即可.
(1)
解：因为为的重心，为边的中点，
所以
，
所以
(2)
解：因为分别为边和的中点，
所以
(3)
解：
28．如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.
（1）用表示.
（2）求证：E，F，B三点共线.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由已知得，由此可得答案；
（2）由已知得，由此可得证.
【解析】解：（1）因为， ，
所以，
所以；
（2）
，
又与相交于B，所以E，F，B三点共线.
29．如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体．
（1）化简结果用表示并在图上标出该结果（点明E，F的具体位置）；
（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C11B，设，试求α，β，γ的值．
【答案】（1）；作图见解析；（2），，．
【分析】（1）取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，连接EF，再根据向量的线性运算计算即可；
（2）通过，，表示，根据对应关系求出α，β，γ的值即可．
【解析】解（1）取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，
使得D1F＝2FC1，连接EF，
则．
（2）
（）（）
，
所以，，γ6.1.1 空间向量的线性运算
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
2．在长方体中，等于（ ）
A． B． C． D．
3．在平行六面体中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知三棱柱，点为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．三棱锥中，点在棱上，且，则为
A．
B．
C．
D．
6．已知正方体的棱长为1，设，，，则（ ）.
A．0 B．3 C． D．
7．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设是不共线的两个向量，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．在正四面体中，F是的中点，E是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在正方形网格中，已知，，三点不共线，为平面内一定点，点为平面外任意一点，则下列向量能表示向量的为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
13．下列说法错误的是（ ）
A．在平面内共线的向量在空间不一定共线
B．在空间共线的向量在平面内不一定共线
C．在平面内共线的向量在空间一定不共线
D．在空间共线的向量在平面内一定共线
14．在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（ ）
A．；
B．；
C．；
D．
15．(多选)如图所示， M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，，则下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．已知三棱锥分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
17．共线向量
（1）定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做________或平行向量.
（2）共线向量定理：对于空间任意两个向量，(≠)，∥的充要条件是存在实数λ使________.
18．下列向量中，真命题是______．（填序号）
①若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量；
②若A、B、C、D不在一条直线上，则与不是共线向量；
③向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；
④向量与是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上．
19．如图所示，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有______个.
20．如图，在长方体中，是的中点，点分别在上，且．若，则_____．
四、解答题
21．如图所示，在正方体中，化简向量表达式：
(1)；
(2)；
(3).
22．如图，已知，分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.求证：，，三点共线.
23．如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简：
(1)；
(2)，并在图中标出化简结果的向量.
24．如图所示，在平行六面体中，M、N分别是、BC的中点．设，，．
(1)已知P是的中点，用、、表示、、；
(2)已知P在线段上，且，用、、表示．
25．如图，正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值．
(1)；
(2)；
(3)．
26．如图，在长方体中，点M，N分别是，的中点，点O为的中点．设，，，用，，表示下列向量：
(1)，，，；
(2)，．
27．如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
28．如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.
（1）用表示.
（2）求证：E，F，B三点共线.
29．如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体．
（1）化简结果用表示并在图上标出该结果（点明E，F的具体位置）；
（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C11B，设，试求α，β，γ的值．
