6.3.3空间角的计算
一、单选题
1．在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．若平面的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知在直三棱柱中，，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（ ）
A． B．
C．或 D．
5．已知正三棱柱的棱长均为，是侧棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（ ）
A． B． C． D．
7．在三棱锥中，平面，D，E，F分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，E，F分别是AB，BC的中点，则直线AF与平面PEF所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，等边三角形的边长为3，分别交AB，AC于D，E两点，且，将沿DE折起（点A与P重合），使得平面平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A-l-P为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（ ）
A．当x增大时，θ先增大后减小 B．当x增大时，θ先减小后增大
C．当d增大时，θ先增大后减小 D．当d增大时，θ先减小后增大
二、多选题
13．如图，在三棱锥中，DA，DB，DC两两垂直，且长度均为1，E为BC中点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．为与平面所成的角
C．为点D到平面的距离 D．为二面角的平面角
14．（多选）在正方体中，若M是线段上的动点，则下列结论正确的有（ ）
A．异面直线所成的角为 B．异面直线所成的角可为
C．异面直线所成的角为 D．异面直线所成的角可为
15．已知正方体中，平面，平面，，记直线与平面所成角为，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．几何体的外接球半径
B．平面
C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为
D．面与底面所成角正弦值的取值范围为
三、填空题
17．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且，若，，则二面角A-PB-C的余弦值为______．
18．已知直四棱柱中，，且，若的中点为，则直线与平面所成的角的正弦值为______.
19．已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．经过点且方向向量为的直线方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为_________．
20．如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点，下列四个结论：
①存在点M，使得直线AM与直线夹角为30°；
②存在点M，使得与平面夹角的正弦值为；
③存在点M，使得三棱锥的体积为；
④存在点M，使得，其中为二面角的大小，为直线与直线AB所成的角．
则上述结论正确的有______．（填上正确结论的序号）
四、解答题
21．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，
(1)求与所成的角
(2)平面与平面所成的锐二面角余弦值
22．如图，在三棱锥中，平面为的中点，.
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求二面角的余弦值.
23．如图，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
24．如图，已知是边长为的正三角形，，，分别是，，边的中点，将沿折起，使点到达如图所示的点的位置，为边的中点．
(1)证明：平面．
(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
25．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，与平面所成角为30°，为上一点且．
(1)证明：；
(2)设平面与平面的交线为，在上取点使，为线段上一动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值．
26．如图，分别是矩形上的点，，，把四边形沿折叠，使其与平面垂直，如图所示，连接，得到几何体．
(1)当点在棱上移动时，证明：；
(2)在棱上是否存在点，使二面角的平面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
27．在梯形ABCD中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点，将沿AC折起到的位置，使得平面⊥平面.
(1)求证：平面
(2)平面ABC与平面夹角的余弦值
(3)线段上是否存在点Q，使得CQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由.6.3.3空间角的计算
一、单选题
1．在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.
【解析】如图，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体边长为1，则，
则，
设异面直线AD，所成角为，
则.
故选：D
2．若平面的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由线面角的向量求法判断
【解析】由题意得，
故选：D
3．已知在直三棱柱中，，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角正弦值.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，可得．又，
所以与平面所成角的正弦值为，
故选：A.
4．已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】根据法向量坐标求出其夹角，然后根据法向量夹角与二面角的关系，即可得到结果.
【解析】，即
∴两平面所成二面角为或
故选:C.
5．已知正三棱柱的棱长均为，是侧棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式结合特殊角的三角函数值求解即可．
【解析】解：以点为坐标原点，以垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
因为是各棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，
所以，
故，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
故选：B．
6．如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基底表示出，结合向量夹角公式求得正确答案.
【解析】连接，
以为空间一组基底，
则，
，
所以，
，
设直线与直线所成角为，
则,
由于异面直线夹角的取值范围是，所以.
故选：B
7．在三棱锥中，平面，D，E，F分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量可求线面角的正弦值.
【解析】
因为平面，而平面，
故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则且，
故，
故，，，
设平面的法向量为，则：
由可得，取，则，
设直线与平面所成角为，
则.
故选：B.
8．如图，在正三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，E，F分别是AB，BC的中点，则直线AF与平面PEF所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系利用向量法来求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】依题意，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
，设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，
所以.
故选：A
9．在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结果.
【解析】设这个二面角的度数为，
由题意得，
，
，
解得，
∴，
∴这个二面角的度数为，
故选：C.
【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角.
10．如图，等边三角形的边长为3，分别交AB，AC于D，E两点，且，将沿DE折起（点A与P重合），使得平面平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别以DB，DE，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求异面直线所成角的余弦值，再得正弦值．
【解析】由题意可知DB，DE，DP两两垂直，分别以DB，DE，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
由已知，到直线的距离为，
则，，，，从而，.
故，因此是钝角，
.
故选：D．
11．在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此求得，即可得解.
【解析】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，，，
设，则，
设平面的法向量为
则，令，得
所以，
由于，，，
，，，
由于，所以
故选：D
12．如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A-l-P为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（ ）
A．当x增大时，θ先增大后减小 B．当x增大时，θ先减小后增大
C．当d增大时，θ先增大后减小 D．当d增大时，θ先减小后增大
【答案】C
【分析】以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(2, x, 0)，A (2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，，求得平面AMN的法向量为，平面PMN的法向量，由空间向量的夹角公式表示出，对于A，B选项，令d =0，则
，由函数的单调性可判断；对于C，D，当x=0时，则，令，利用导函数研究函数的单调性可判断.
【解析】解：由题意，以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,
设正方体的棱长为2，则P(2, x, 0)，A (2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，
则，
所以，
，
设平面AMN的法向量为，
则，即，
令，则，
设平面PMN的法向量为，
则，即，
令，则，
，
对于A，B选项，令d =0，则
，
显示函数在是为减函数，即减小，则增大，故选项A，B错误；
对于C，D，
对于给定的，如图，过作，垂足为，过作，垂足为，
过作，垂足为，
当在下方时，，
设，则对于给定的，为定值，
此时设二面角为，二面角为，
则二面角为，且，
故，
而，故即，
当时，为减函数，故为增函数，
当时，为增函数，故为减函数，
故先增后减，故D错误.
当在上方时，，
则对于给定的，为定值，则有二面角为，
且，
因，故为增函数，故为减函数，
综上，对于给定的，随的增大而减少，
故选：C.
二、多选题
13．如图，在三棱锥中，DA，DB，DC两两垂直，且长度均为1，E为BC中点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．为与平面所成的角
C．为点D到平面的距离 D．为二面角的平面角
【答案】ABC
【分析】利用空间中点、线、面的位置关系，结合线、面垂直、平行的性质和判定依次对四个选项进行推理论证即可.
【解析】在三棱锥中，DA，DB，DC两两垂直，且长度均为1，E为BC中点，面，面，面.
对A，在中，由得：，
，故A选项错误；
对B，面，与面不垂直（过同一点D不可能有两条直线同时与面垂直），不是在面内的射影，故不是与平面所成的角，因此B选项不正确；
对C，若为点D到平面的距离，则平面，则在中 ，与矛盾，因此C选项不正确；
对D，E为BC中点，由题意知，，根据二面角的平面角的定义知，为二面角的平面角，故D选项正确.
故选：ABC.
14．（多选）在正方体中，若M是线段上的动点，则下列结论正确的有（ ）
A．异面直线所成的角为 B．异面直线所成的角可为
C．异面直线所成的角为 D．异面直线所成的角可为
【答案】ABC
【分析】利用空间向量的数量积逐一判断即可.
【解析】
设正方体的棱长为1，且，
则，∴A正确；
∵，
∴，
∴异面直线所成角的余弦值为，
又有解，∴B正确；
，∴C正确；
∵，∴与所成的角等于与所成的角，
该角小于，∴D不正确．
故选：ABC．
【点睛】本题考查了空间向量的数量积的应用，利用空间向量的数量积求异面直线所成的角，考查了基本运算能力，属于基础题.
15．已知正方体中，平面，平面，，记直线与平面所成角为，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】连接空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法求出，由的取值范围，求出的取值范围，即可判断.
【解析】解：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，，
则，，，，
设平面的法向量为，因为平面，平面，
所以，，即，令，则，
又，
所以，
因为，所以，所以，
所以.
即，故符合题意的有B、C；
故选：BC
16．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．几何体的外接球半径
B．平面
C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为
D．面与底面所成角正弦值的取值范围为
【答案】BCD
【分析】对于A，几何体的外接球与正方体的外接球相同，可求得半径；对于B，利用面面平行的性质定理即可判断；对于C，找到异面直线与所成角，结合线面垂直的性质，列出正弦值的等式，再结合的取值范围，即可求解；对于D，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，结合三角函数的知识可进行求解.
【解析】对于A，因为几何体关于正方体的中心对称，其外接球与正方体的外接球相同，半径为，故A错误；
对于B，在正方体中，且，故为平行四边形，所以，而平面，平面，故平面，
同理可证平面，又因为，平面，
所以平面平面，因为平面，
所以平面，故B正确；
对于C，由平面，平面，可得，即，
由于，则异面直线与所成的角为，其正弦值为，
在中，易得，所以，
所以异面直线与所成角的正弦值的取值范围为，故C正确；
对于D，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则有，，设，
则，所以，
设平面的法向量，则，即，
令，则，故，
由题意知，取平面的一个法向量，
则，
则面与底面所成角正弦值为，
由于，故当时取最小值，
则取到最小值，
当或时取最大值12，则取到最大值，
所以面与底面所成角正弦值的取值范围为，故D正确，
故选：BCD.
三、填空题
17．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且，若，，则二面角A-PB-C的余弦值为______．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，结合二面角的空间向量的坐标计算公式即可求出结果.
【解析】在平面内作，垂足为，
因为，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD，故，可得平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.
所以，，，.
所以，，，.
设是平面的法向量，则
即
可取.
设是平面的法向量，则
即可取.
则，
由图可知二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
故答案为：.
18．已知直四棱柱中，，且，若的中点为，则直线与平面所成的角的正弦值为______.
【答案】
【分析】以为坐标原点，，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，1，，用向量法可求线面角的正弦值．
【解析】解：直四棱柱中，
所以，，又，
以为坐标原点，，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，，1，，，2，，，0，
所以，，，，0，，，2，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
故答案为：
19．已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．经过点且方向向量为的直线方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为_________．
【答案】
【分析】由已知定义可确定平面的法向量和直线的方向向量，由线面角的向量求法可求得结果.
【解析】由题意知：平面的一个法向量，直线的一个方向向量，
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
20．如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点，下列四个结论：
①存在点M，使得直线AM与直线夹角为30°；
②存在点M，使得与平面夹角的正弦值为；
③存在点M，使得三棱锥的体积为；
④存在点M，使得，其中为二面角的大小，为直线与直线AB所成的角．
则上述结论正确的有______．（填上正确结论的序号）
【答案】②③
【分析】对①：由连接，，由平面，即可判断；对③：设到平面的距离为，则，所以即可判断；对④：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用向量法求出与，比较大小即可判断；对②：设与平面夹角为，利用向量法求出，即可求解判断.
【解析】解：对①：连接，，在正方体中，由平面，可得，又，，所以平面，所以，故①错误；
对③：设到平面的距离为，则，所以，故③正确；
对④：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，0，， ，0，， ，，，，，，所以，，，，
，，
设平面的法向量为，，，则，即，
取，，，又，1，是平面的一个法向量，
又二面角为锐二面角或直角，
所以，
，
，又，
，，故④错误．
对②：由④的解析知，，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
设与平面夹角为，令，即，又，解得或，故②正确.
故答案为：②③.
四、解答题
21．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，
(1)求与所成的角
(2)平面与平面所成的锐二面角余弦值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式求出异面直线的夹角；
（2）在第一问的基础上，求出两平面的法向量，从而得到锐二面角的余弦值.
【解析】（1）由，可得⊥，又平面，
故以分别为轴建立空间直角坐标系.
则，
由，
则，所以，
所以与所成的角是；
（2）由题意为平面的一个法向量，
设为平面 的一个法向量，，
由，令，则，
故，
所以，
所以平面与平面所成的锐二面角余弦值是.
22．如图，在三棱锥中，平面为的中点，.
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的方向向量以及平面的法向量，即可利用向量法求得结果；
（2）根据（1）中所求，再求得的法向量，即可利用向量法求得二面角的余弦值.
【解析】（1）因为，所以.
因为平面，又面，故，
故过点作的平行线为轴，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以.
设平面的法向量为，则，
故可得，取，则，则
因为，所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
（2）不妨取平面的一个法向量为，所以.
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
23．如图，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，得到BD⊥，再证明出AB⊥，从而得到平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角的余弦值.
【解析】（1）取AB的中点N，AC的中点D，连接BD，，CN，
因为底面是边长为2的正三角形，，
所以，BD⊥AC，CN⊥AB，
因为平面平面，交线为AC，平面，
因为BD⊥AC，
所以BD⊥平面，
因为平面，
所以BD⊥，
因为，平面，
所以AB⊥平面，
因为平面，
所以AB⊥，
因为，平面ABC，
所以平面ABC；
（2）过点C作CFAB，
以C为坐标原点，CN所在直线为x轴，CF所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，
，，
设平面的法向量为，
则，
解得：，设，则，
故，
故，
因为，解得：，
故
设平面的法向量为，
则，
设，则，
则，
设平面与平面夹角的余弦值为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
24．如图，已知是边长为的正三角形，，，分别是，，边的中点，将沿折起，使点到达如图所示的点的位置，为边的中点．
(1)证明：平面．
(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，，设与交于点，连接，证明为平行四边形，再根据线面平行的判定证明即可；
（2）取的中点，连接，，则，再以为原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，再根据空间向量求解面面角即可.
【解析】（1）证明：连接，，设与交于点，连接．
因为，，分别是，，边的中点，
所以且，
则四边形为平行四边形，所以为的中点，
因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
（2）取的中点，连接，，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，，，两两垂直．
如图所示，以为原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，
设平面的法向量为，则，
即
令，得．
易知为平面的一个法向量，
由，
得平面与平面夹角的余弦值为．
25．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，与平面所成角为30°，为上一点且．
(1)证明：；
(2)设平面与平面的交线为，在上取点使，为线段上一动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理证明；（1）根据与平面所成角为30°分析可得，建系，利用空间向量处理面面夹角问题.
【解析】（1）∵四边形为矩形，则，
又∵平面，平面，
∴，
，平面，
∴平面，
平面，则，
∵，且，平面，
∴平面，
平面，则．
（2）∵平面，则为与平面所成角，
∴，
又∵，则，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
∵，且，
∴，
令，则，
∴，，
设是平面的一个法向量，则，
取，则，即，
平面的一个法向量为，
∴，
∵，则当时，的最大值为，
即平面与平面夹角的余弦值的最大值为，
∴平面与平面夹角的正弦值的最小值为.
26．如图，分别是矩形上的点，，，把四边形沿折叠，使其与平面垂直，如图所示，连接，得到几何体．
(1)当点在棱上移动时，证明：；
(2)在棱上是否存在点，使二面角的平面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【分析】（1）利用题设条件及面面垂直的性质定理证得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得，由此可证得；
（2）利用（1）中结论，求出平面与平面的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标公式得到关于的方程，解之即可.
【解析】（1）由图1易知图2中，有，
又因为面面，面面，面，
所以面，又面，故，
故以为原点，边所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，
则
不妨设，，则，故，
所以，故.
.
（2）假设存在使二面角的平面角为，其中，
因为平面，所以可作为平面的一个法向量，
因为，
设平面的一条法向量为，则，即，
令，则，故，
因为二面角的平面角为，
所以，即，
整理得，解得或（舍去），
所以，
故在棱上存在点，使二面角的平面角为，且.
27．在梯形ABCD中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点，将沿AC折起到的位置，使得平面⊥平面.
(1)求证：平面
(2)平面ABC与平面夹角的余弦值
(3)线段上是否存在点Q，使得CQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)；
(3)存在点Q，.
【分析】（1）作出辅助线，证明线线平行，得到线面平行；
（2）由面面垂直证明出线面垂直，得到两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角；
（3）设，，结合第二问求出的平面的法向量，列出方程，求出的值，得到.
【解析】（1） 连接，
因为，P为AB的中点，
所以，，
故四边形为平行四边形，
故是AC，DP的中点，
因为P是AB的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面⊥平面，交线为AC，
因为，O是AC的中点，
所以⊥AC，
因为平面，
所以⊥平面，
因为平面ACB，
所以，，
因为，AP=AD，
所以三角形ADP为等边三角形，
因为O是DP的中点，
所以OP⊥AC，
所以两两垂直，
故以O为坐标原点，分别以OA，OP，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
设平面的法向量为，
则，
解得：，令，则，
所以，
平面ABC的法向量为，
设平面ABC与平面的夹角为，
则，
故平面ABC与平面的夹角的余弦值为；
（3）存在点Q，
理由如下：设，，
则，
由（2）知：平面的法向量为，
设CQ与平面所成角为，
则，
因为，解得：，
故.
