6.3.4 空间距离的计算
一、单选题
1．在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则点A到直线BC的距离为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离
A． B． C． D．
5．在空间直角坐标系中，若有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，则的值为（ ）
A．2 B．1或3
C．2或4 D．或
6．已知四边形是边长为4的正方形，分别是边的中点，垂直于正方形所在平面，且，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点为矩形所在平面外一点，平面，为的中点，，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知正方体的棱长为1，为正方形的中心，若为平面内的一个动点，则到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知正方体棱长为3，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（ ）
A．21 B．22 C．23 D．13
10．如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为上两个动点，且的长为定值，则点Q到平面的距离（ ）
A．等于 B．和的长度有关
C．等于 D．和点Q的位置有关
11．如图，在直三棱柱中，，已知与分別为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（ ）
A．[ ) B．[ ] C．[) D．[]
12．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
13．在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
14．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则（ ）
A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为
C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为
15．（多选）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点A到直线的距离是 B．点O到平面的距离为
C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线的距离为
16．如图所示，三棱锥中，为等边三角形，平面，，.点D在线段上，且，点E为线段SB的中点，以线段BC的中点为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x，y轴，过点作SA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．直线CE的一个方向向量为 B．点D到直线CE的距离为
C．平面ACE的一个法向量为 D．点D到平面ACE的距离为1
三、填空题
17．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________．
18．已知平面的法向量为，向量在平面内的投影向量的长度为___________．
19．在三棱锥中，，，.记的中点为，的中点为，则异面直线与的距离为______.
20．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，，P为棱AD的中点，且，，若点M到平面SBC的距离为，则实数的值为____________．
四、解答题
21．如图，已知正方体的棱长为1，MN是异面直线AC与的公垂线段，试确定点M在AC上及点N在上的位置，并求异面直线AC与间的距离．
22．如图，在长方体中，，E为线段的中点，F为线段的中点．
(1)求点到直线的距离；
(2)求直线到直线的距离；
(3)求点到平面的距离．
23．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
(1)求；
(2)求点B到平面PAM的距离．
24．如图，已知以为圆心，为半径的圆在平面上，若，且，、为圆的半径，且，为线段的中点．求：
(1)异面直线，所成角的大小；
(2)点到平面的距离；
(3)异面直线，的距离．
25．如图所示，正方形和矩形所在的平面互相垂直，，分别为的中点，.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
26．在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）把沿BD翻折，使得平面平面BCD，如图（2）．
(1)求证：；
(2)若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离．
27．如图，在直三棱柱中，.
(1)若，求证：平面；
(2)若，是棱上的一动点.试确定点的位置，使点到平面的距离等于.6.3.4 空间距离的计算
一、单选题
1．在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.
【解析】如图，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体边长为1，则，
则，
设异面直线AD，所成角为，
则.
故选：D
2．已知，，，则点A到直线BC的距离为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】首先利用空间向量求出在上的投影，再利用勾股定理即可求解.
【解析】由题意可得，，，则在上的投影为，则点到直线的距离为.
故选：B
3．两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由空间向量求解
【解析】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点，
且两平面的一个法向量，
∴两平面间的距离．
故选：A
4．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用坐标法，利用异面直线距离的向量公式即求.
【解析】建立如图所示的直角坐标系，则
，，，，．
，．
令向量，且，则，
，，
，．
异面直线和之间的距离为：
．
故选：C.
5．在空间直角坐标系中，若有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，则的值为（ ）
A．2 B．1或3
C．2或4 D．或
【答案】B
【分析】由点到平面的距离是确定的且平面只有一个，可得，且两点在平面同侧，由此可得线段的长，从而求得值，
【解析】因为有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，所以，且两点在平面同侧，，
，或3．
若，则线段与平面至少有下列两种位置关系，即平面至少有两个．
若，由上面的图形知，两点到平面的距离的差的绝对值不大于，与已知矛盾，即不存在平面满足题意．
故选：B．
6．已知四边形是边长为4的正方形，分别是边的中点，垂直于正方形所在平面，且，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接，交于，交于，过作，垂足为，则问题转化为求的长度，根据两个直角三角形相似，对应边成比例可解得结果.
【解析】如图：连接，交于，交于，
因为分别是边的中点，所以，
因为平面，所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为平面，所以，又，，
所以平面，因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
过作，垂足为，则平面，则为点到平面的距离，
在直角三角形和直角三角形中，，所以，
所以，所以，
因为正方形的边长为4，所以，
，，
所以.
所以点到平面的距离为.
故选：D
【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了直线与平面垂直的判定，考查了平面与平面垂直的判定与性质，考查了直线与平面平行的判定，考查了求点到平面的距离，属于中档题.
7．如图，点为矩形所在平面外一点，平面，为的中点，，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，再利用点到平面的距离，即可得答案；
【解析】如图，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则，即.
令，则，，∴.
∴点到平面的距离.
故选：B.
【点睛】本题考查利用向量法求点到面的距离，考查空间想象能力、运算求解能力.
8．如图，已知正方体的棱长为1，为正方形的中心，若为平面内的一个动点，则到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，列出线面距离公式即可求解.
【解析】
如图，以为轴建立空间直角坐标系，则有
，因为为正方形的中心，得，
,，，
设平面的法向量为，利用，则，
取，解得，有，且平面，则直线平面，
设直线的到平面距离为，取直线上一点，与平面上一点，则，
利用空间中点面距离公式有：.
故选：A
9．如图，已知正方体棱长为3，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（ ）
A．21 B．22 C．23 D．13
【答案】D
【解析】建立空间直角坐标系,根据在内可设出点坐标，作,连接,可得，作，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得的范围.
【解析】根据题意,以D为原点建立空间直角坐标系如图所示：
作交于M,连接，则
作交于N，则即为点P到平面距离.
设,则
∵点到平面距离等于线段的长
∴
由两点间距离公式可得，化简得,则解不等式可得
综上可得
则在中
所以（当时 取等）
故选:D
【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题.
10．如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为上两个动点，且的长为定值，则点Q到平面的距离（ ）
A．等于 B．和的长度有关
C．等于 D．和点Q的位置有关
【答案】A
【分析】取的中点G，连接，利用线面平行判断出选项B,D错误；建立空间直角坐标系，利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出结论.
【解析】取的中点G，连接，则，所以点Q到平面的距离即点Q到平面的距离，与的长度无关，B错．又平面，所以点到平面的距离即点Q到平面的距离，即点Q到平面的距离，与点Q的位置无关，D错．
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，∴，，，
设是平面的法向量，则由得
令，则，所以是平面的一个法向量．
设点Q到平面的距离为d，则，A对，C错．
故选：A．
【点睛】本题主要考查点到直线的距离，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属中档题.
11．如图，在直三棱柱中，，已知与分別为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（ ）
A．[ ) B．[ ] C．[) D．[]
【答案】A
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设出的坐标，根据已知条件求得参数之间的关系，并建立关于参数的函数关系式，求其值域即可.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设点坐标为，，
故，因为，
故可得，则，由可得，
又，故,
故当时，取得最小值；又当时，，但无法取到，则无法取到；
综上，线段DF长度的取值范围为.
故选：A
12．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设是底面正的中心，平面，，以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离用空间向量法求异面直线的距离．
【解析】如图，是底面正的中心，平面，平面，则，
，则，又，，
，直线交于点，，
以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，，
，
设与和都垂直，
则，取，则，，
P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离等于．
故选：D．
二、多选题
13．在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量写出到平面的距离的表达式，然后求其范围即可.
【解析】如图，以为坐标原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，故，，设平面的法向量，由，取，则为平面的法向量，，所以到平面的距离．因为，所以，而，即BC选项的数值才符合.
故选：BC
14．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则（ ）
A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为
C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为
【答案】BD
【分析】建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离，判断A；先证明再转化为点到直线的距离求解，判断B；求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解，判断C；把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解，判断D.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则
因为，
所以.
所以点到直线的距离为，故A错误；
因为所以，即
所以点到直线的距离即为直线到直线的距离，
，
所以直线到直线的距离为，故B正确；
设平面的一个法向量为，.
由令，则，即.
设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为，故C错误；
因为平面，平面，所以平面，
所以直线到平面的距离等于到平面的距离.，
由（3）得平面的一个法向量为，
所以到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为，故D正确.
故选：BD
15．（多选）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点A到直线的距离是 B．点O到平面的距离为
C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线的距离为
【答案】BC
【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论.
【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，，
，，，，
所以．
设，则，．
故A到直线的距离，故A错．
易知，
平面的一个法向量，
则点O到平面的距离，故B对．
．
设平面的法向量为，
则所以
令，得，
所以．
所以点到平面的距离．
因为平面平面，
所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C对．
因为，所以，
又，则，
所以点P到的距离，故D错．
故选：BC.
【点睛】本题主要考查利用空间向量求点线、点面、面面距离，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行.
16．如图所示，三棱锥中，为等边三角形，平面，，.点D在线段上，且，点E为线段SB的中点，以线段BC的中点为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x，y轴，过点作SA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．直线CE的一个方向向量为 B．点D到直线CE的距离为
C．平面ACE的一个法向量为 D．点D到平面ACE的距离为1
【答案】ABD
【分析】首先利用题目已经建好的坐标系，写出点的坐标，再利用空间向量分别求点D到直线CE的距离、点D到平面ACE的距离以及平面ACE的法向量，利用向量共线定理可以判断直线CE的一个方向向量.
【解析】依题意，，，，，；若，则,则,，故A正确；
，，，故D点到直线CE的距离 ，故B正确；
设为平面的法向量，则，即，令，则为平面的一个法向量，故C错误；
而，故点D到平面的距离，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
17．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________．
【答案】##
【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面平面，从而平面与平面的距离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量公式，即可得解．
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
可得，
因为，则，
所以，
因为平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面，
所以平面与平面的距离等于点到平面的距离，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
又因为，所以．
所以平面与平面的距离为．
故答案为：．
18．已知平面的法向量为，向量在平面内的投影向量的长度为___________．
【答案】##
【分析】先求出，进而可求出直线与平面的夹角大小，进而可求得向量在平面内的投影向量的长度．
【解析】因为平面的法向量为，向量，所以，
设直线与平面所成角为，所以，
因为，所以．
所以向量在平面内的投影向量的长度为．
故答案为：．
19．在三棱锥中，，，.记的中点为，的中点为，则异面直线与的距离为______.
【答案】
【分析】将三棱锥补成正六面体为利用勾股定理求解长、宽、高，再建立直接坐标系后，求出和的法向量，便可求得直线与的距离.
【解析】解：三棱锥的三组对棱分别相等，因此三棱锥的外接平行六面体为长方体，将三棱锥放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，，，且即解得
因此以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，.
，.
设垂直于和，所以
令，则，，所以.
又，所以异面直线与的距离.
故答案为：
20．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，，P为棱AD的中点，且，，若点M到平面SBC的距离为，则实数的值为____________．
【答案】
【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，得到，，利用求出，再利用点到平面距离公式，
代入相关向量坐标，解出即可.
【解析】过点作，交于点，，为中点，
，又，且，平面，
平面，平面，则，
则易得两两垂直，所以以为原点，所在直线分别建立轴，如图所示：
则点,又知，，为中点，则，
故，，，，
，,，
又，，
设平面法向量为，则，且
有，令，则，
到平面的距离，
，化简得，故
故答案为：.
【点睛】本题涉及到点到平面的距离的计算方法，我们常用以下几种方法计算点到平面距离：（1）等体积法；（2）定义法；（3）转化法；（4）空间向量法。本题我们采用空间向量法求解相关参数，首先我们需要建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，再利用点到平面距离公式，其中为相关平面的法向量，此方法可操作性强，按步骤算出相关向量即可.
四、解答题
21．如图，已知正方体的棱长为1，MN是异面直线AC与的公垂线段，试确定点M在AC上及点N在上的位置，并求异面直线AC与间的距离．
【答案】点M是线段AC上靠近点的一个三等分点，，点N是线段上靠近点的一个三等分点； .
【分析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用，可求出两点的坐标，从而可求出答案.
【解析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
因为点M在AC上，点N在上，所以设，，
所以,，
因为MN是异面直线AC与的公垂线段，
所以，即，解得，
所以，，
所以点M是线段AC上靠近点的一个三等分点，，点N是线段上靠近点的一个三等分点，且异面直线AC与间的距离为.
22．如图，在长方体中，，E为线段的中点，F为线段的中点．
(1)求点到直线的距离；
(2)求直线到直线的距离；
(3)求点到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间点到直线距离公式进行计算；
（2）在第一问的基础上，得到，从而利用空间点到直线距离公式求出直线到直线的距离；
（3）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求出答案.
【解析】（1）建立如图所示以为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，
则，
，
，
设点到直线的距离为，
∴
则点到直线的距离为．
（2），故
，
设直线到直线的距离为，则即为F到直线的距离；
∴
则直线到直线的距离为．
（3）设平面的法向量为，
由，
令，则，所以
设点到平面的距离为，
∴，
则点到平面的距离为．
23．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
(1)求；
(2)求点B到平面PAM的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，利用列出方程，求出，从而得到的长；
（2）求出平面PAM的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解.
【解析】（1）∵平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
∵，则，解得，
故；
（2）设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
，
∴点B到平面PAM的距离.
24．如图，已知以为圆心，为半径的圆在平面上，若，且，、为圆的半径，且，为线段的中点．求：
(1)异面直线，所成角的大小；
(2)点到平面的距离；
(3)异面直线，的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据题意，建立空间直角坐标系，找到直线，的方向向量，代入向量的夹角公式，计算得答案；
(2)利用等体积法计算点到平面的距离；
(3)把异面直线，的距离．转化为直线与平面的距离，求出平面的法向量，利用空间向量点到平面的距离公式，计算求解.
【解析】（1）由且，以为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
由题意，因为为线段的中点，所以，
所以，
，
所以异面直线，所成角的大小为；
（2）由题意，，
，
设点到平面的距离为，因为，
由
所以，
所以，解得，
所以点到平面的距离；
（3）如上图所示，作交于点，
因为平面，平面，所以平面，
因此异面直线，的距离就是直线与平面的距离，
也即是点到平面的距离，
因为为线段的中点．所以，
设平面的法向量为，
则令，则可得
所以点到平面的距离，
即异面直线，的距离为．
25．如图所示，正方形和矩形所在的平面互相垂直，，分别为的中点，.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明来证得平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离.
【解析】（1）平面平面，平面平面平面，
平面，
平面，
由题可得，
平面，平面.
（2）以点为坐标原点，的方向分别为轴 轴轴的正方向建立空间直角坐标系，
可得，
则.
设平面的一个法向量为，
由，得，不妨令，则.
设点到平面的距离为，则.
26．在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）把沿BD翻折，使得平面平面BCD，如图（2）．
(1)求证：；
(2)若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面ABD，然后利用线面垂直的性质即得；
（2）利用坐标法，求出平面ACD的法向量，然后利用点到平面的距离的向量求法即得.
【解析】（1）在直角梯形ABCD中，，，，
所以，，
∴，
∴，
∵平面平面BCD，平面平面，平面BCD，
∴平面ABD，又∵平面ABD，
∴；
（2）由题知，如图以D为原点，DB，DC所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，
由条件可得，，，，
∴，，
设平面ACD的法向量，则，，
∴，即，
令，可得平面ACD的一个法向量为），又，
∴点M到平面ACD的距离为．
27．如图，在直三棱柱中，.
(1)若，求证：平面；
(2)若，是棱上的一动点.试确定点的位置，使点到平面的距离等于.
【答案】(1)证明见解析
(2)当点为棱的中点时，使点到平面的距离等于
【分析】（1）先证明和，再根据直线与平面垂直的判定定理可证平面；
（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：设，利用点面距的向量公式列式可求出结果.
【解析】（1）在直三棱柱中，平面，所以，，
又因为，，所以平面，所以，
因为，，所以四边形为正方形，所以，
因为，所以平面.
（2）由（1）知，两两垂直，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：
因为，则，，，，
设，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
取，则，，
所以点到平面的距离等于，
又已知点到平面的距离等于，所以，
解得，（舍），
所以点为棱的中点时，使点到平面的距离等于.
