7.3组合
一、单选题
1．下列问题中是组合问题的个数是 ( )
①从全班50人中选出5名组成班委会；
②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积；
④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据组合及排列的定义即得.
【解析】根据组合定义可知①③是组合，②④与顺序有关是排列.
故选：B
2．从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有 （ ）
A．种 B．3！ C．种 D．以上均不对
【答案】C
【解析】根据组合数的概念可知C选项正确.
故选：C.
3．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据组合数公式即可求得答案.
【解析】由题意，.
故选：B．
4．某高三年级在安排自习辅导时，将6位不同学科的老师分配到5个不同班级进行学科辅导，每个班级至少一位老师，则所有不同的分配方案的种数为（ ）
A．3600 B．1800 C．720 D．600
【答案】B
【分析】应用分步计数法，结合排列组合数求不同的分配方案的种数.
【解析】依题意，其中有一个班级有两位老师辅导，则．
故选：B.
5．某学校为了迎接市春季运动会，从由5名男生和4名女生组成的田径训练队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为（ ）
A．85 B．86 C．9 D．90
【答案】B
【分析】由加法原理分类计算：第一类，男生甲入选，女生乙不入选；第二类，男生甲不入选，女生乙入选；第三类，男生甲、女生乙均入选，由此计算可得，其中第一类和第二类里计算时还需要再按男女生人数分类．
【解析】由题意，可分三类考虑：
第一类，男生甲入选，女生乙不入选，选法种数为；
第二类，男生甲不入选，女生乙入选，选法种数为；
第三类，男生甲、女生乙均入选，选法种数为．
所以男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为．
故选：B．
6．开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往A，B，C三所中学开展防疫知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有（ ）
A．6种 B．12种 C．15种 D．18种
【答案】B
【分析】由题意被安排到A中学的防疫专家有2种情况，结合分步乘法原理及分类加法原理即可.
【解析】①若甲单独安排到A中学，则剩下的3名防疫专家分成两组到两个中学，
共有：种方式，
②若甲和另一名防疫专家被安排到A中学，则有：种方式，
则剩下的2名防疫专家分到到两个中学，有：种方式，
由分步乘法原理有：种方式，
又由分类加法原理可得：若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有：种方式，
故选：B.
7．将2个红球、2个白球、1个绿球放入编号分别为①②③的三个盒子中，其中，两个盒子各放1个球，另外一个盒子放3个球，这5个球除颜色外其他都一样，则不同的放法有（ ）
A．24种 B．30种 C．62种 D．41种
【答案】A
【分析】根据题意结合分类加法计数原理运算求解.
【解析】当两个盒子各放1个球的颜色相同时，则不同的放法有种；
当两个盒子各放1个球的颜色不相同时，则不同的放法有种；
综上所述：不同的放法有24种.
故选：A.
8．如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ）．
A．96 B．84 C．60 D．48
【答案】B
【分析】按照使用了多少种颜色分类计数，再根据分类加法计数原理可得结果.
【解析】按照使用了多少种颜色分三类计数：
第一类：使用种颜色，有种；
第二类：使用种颜色，必有块区域同色，有种；
第三类：使用种颜色，必然是与同色，且与同色，有种，
所以不同的信号总数为种.
故选：B
9．没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有（ ）
A．1176 B．2352 C．1722 D．1302
【答案】A
【分析】根据题意可以先把7人按照3，3，1或者2，2，3或者1，1，5三种情况分为三组，然后把三组成员分配到A，B，C三个小区
【解析】根据题意可以先把7人按照3，3，1或者2，2，3或者1，1，5三种情况分为三组，然后把三组成员分配到A，B，C三个小区；
当按照3，3，1的方法分配则有；
当按照2，2，3的方法分配则有；
当按照1，1，5的方法分配则有；
把三组成员分配到A，B，C三个小区的方法为
所以根据分步计数原理可得一共有：种不同的安排方式.
故选：A
10．某次足球赛共8支球队参加，分三个阶段进行．
（1）小组赛：经抽签分成甲 乙两组，每组4队进行单循环比赛，以积分和净胜球数取前两名；
（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主 客场交叉淘汰赛（每两队主 客场各赛1场），决出胜者；
（3）决赛：两个胜队参加，比赛1场，决出胜负．
则全部赛程共需比赛的场数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】首先理解题意，分别计算小组赛，半决赛和决赛的比赛场数，再求和.
【解析】.
故选：C．
11．某校为统筹推进以德智体美劳“五育并举+教师教育”为特色的第二课堂养成体系，引导学生们崇尚劳动、尊重劳动者、提高劳动素养，设置以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“音乐欣赏”“蔬菜种植”“打印”这六门劳动课中的一门.则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选劳动课全不相同的方法共有（ ）
A．135种 B．720种 C．1080种 D．1800种
【答案】C
【分析】分两种情况讨论，算出当4名学生选的课目全不同时和只有2名学生选的课目相同时的种数，相加即可得出答案.
【解析】分两种情况讨论：如果4名学生选的课目全不同，有种方法；
如果只有2名学生选的课目相同，有种方法，
共有种方法，
故选：C.
12．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项不正确的是（ ）
A．在第9条斜线上，各数之和为55
B．在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C．在第条斜线上，共有个数
D．在第11条斜线上，最大的数是
【答案】A
【分析】根据从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，得到数列规律为判断A选项，再根据杨辉三角得到第n条斜线上的数为：，进而判断BCD.
【解析】从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，，
其规律是，
所以第9条斜线上各数之和为13+21=34，故A错误；
第1条斜线上的数：，
第2条斜线上的数：；
第3条斜线上的数：，
第4条斜线上的数：，
第5条斜线上的数：，
第6条斜线的数：，
……，
依此规律，第n条斜线上的数为：，
在第11条斜线上的数为，最大的数是，
由上面的规律可知：n为奇数时，第n条斜线上共有个数；
n为偶数时，第n条斜线上共有共有个数，
所以第n条斜线上共，故C正确；
由上述每条斜线的变化规律可知：在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故B正确.
故选：A.
二、多选题
13．若，下列结论正确的是（ ）
A．n=10 B．n=11 C．a=466 D．a=233
【答案】AC
【分析】根据组合数的性质和公式进行求解即可.
【解析】由，可知：
，
因此，
故选：AC
14．现有个男生个女生，若从中选取个学生，则（ ）
A．选取的个学生都是女生的不同选法共有种
B．选取的个学生恰有个女生的不同选法共有种
C．选取的个学生至少有个女生的不同选法共有种
D．选取的个学生至多有个男生的不同选法共有种
【答案】AC
【分析】根据组合的定义和分步计数原理即可求出．
【解析】解：选取的个学生都是女生的不同选法共有种，
恰有个女生的不同选法共有种，
至少有个女生的不同选法共有种，
选取的个学生至多有个男生的不同选法共有种.
故选：AC
15．新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考：“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结合自身特长兴趣在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
【答案】ABC
【分析】依次判断每个选项得到ABC正确，D选项的正确答案是，错误，得到答案.
【解析】对选项A：若任意选科，选法总数为，正确；
对选项B：若化学必选，选法总数为，正确；
对选项C：若政治和地理至多选一门，选政治或地理有种方法，政治地理都不选有种方法，故共有选法总数为，正确；
对选项D：若物理必选，化学、生物选一门有种，化学、生物都选有1种方法，故共有选法总数为，D错误.
故选：ABC
16．某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的有（ ）
A．分给甲 乙 丙三地每地各2辆，有120种分配方式
B．分给甲 乙两地每地各2辆，分给丙 丁两地每地各1辆，有180种分配方式
C．分给甲 乙 丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式
D．分给甲 乙 丙 丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1080种分配方式
【答案】BD
【分析】对A，工地不同，工程车不同，可分步，甲先选2辆，然后乙选2辆，剩下2辆给丙；
对B，同A相同方法可得；
对C，由于不知哪个工地是4辆车，因此可把6辆车按分组，再全排列可得；
对D，与C相同方法，先分组再分配．
计算后判断各选项．
【解析】对A，先从6辆工程车中分给甲地2辆，有种方法，再从剩余的4辆工程车中分给乙地2辆，有种方法，最后的2辆分给丙地，有种方法，所以不同的分配方式有（种），故A错误；
对B，6辆工程车先分给甲 乙两地每地各2辆，有种方法，剩余2辆分给丙 丁两地每地各1辆，有种方法，所以不同的分配方式有（种），故B正确；
对C，先把6辆工程车分成3组：4辆 1辆 1辆，有种方法，再分给甲 乙 丙三地，所以不同的分配方式有（种），故C错误；
对D，先把6辆工程车分成4组：2辆 2辆 1辆 1辆，有种方法，再分给甲 乙 丙 丁四地，所以不同的分配方式有（种），故D正确.
故选：BD.
三、填空题
17．设，则______．
【答案】4或7或11
【分析】先由组合数的意义判断出或或，分别代入求解.
【解析】由组合数的意义可知：，解得：.
又，所以或或.
当时，；
当时，；
当时，.
故答案为：4或7或11.
18．从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有______种不同的安排方法．
【答案】180
【分析】依次选取1人，1人，2人分别值班第一天，第二天，第三天即可.
【解析】解：由题，先从6人中挑选1人值第一天的班，有种，
再从剩下的5人中挑选1人值第二天的班，有种，
最后再从剩下的4人中挑选2人值第三天的班，有种，
所以，共有种不同的安排方法.
故答案为：
19．近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式．
【答案】348
【分析】根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解.
【解析】由题意，根据选出的女生人数进行分类，
第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先选有，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则种，所以共有种，
第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色从2名男生中选1人，则种，所以共有种，
第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，所以共有种，
由分类计数原理可得：店主共有种选择方式，
故答案为：.
20．我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为的个球的口袋中取出个球，共有种取法.在种取法中，不取号球有种取法；取号球有种取法.所以.试运用此方法，写出如下等式的结果：___________.
【答案】
【分析】将等式看作是从编号为个球中，取出个球，其中第个球的编号依次为的情况，利用分类加法计数原理得到的结果；再由从编号为个球中，取出个球，有种取法，即可得到结果.
【解析】从编号为个球中，取出个球，记所选取的六个小球的编号分别为，且，
当时，分三步完成本次选取：
第一步，从编号为的球中选取2个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中任选个，故选取的方法数为；
当时，分三步完成本次选取：
第一步，从编号为的球中选取2个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中任选个，故选取的方法数为；
……；
当时，分三步完成本次选取：
第一步，从编号为的球中选取2个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中选个，故选取的方法数为；
至此，完成了从编号为个球中，选取个球，第个球的编号确定时的全部情况，
另外，从编号为个球中，取出个球，有种取法，
所以.
故答案为：.
四、解答题
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)3；
(2)10；
(3)-1；
(4)1；
(5)4950
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据给定条件利用组合数公式及性质直接计算作答.
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
22．空间有10个点，其中任意4点不共面．
(1)过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？
(2)以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？
【答案】(1)120个
(2)210个
【分析】（1）（2）根据组合数的计算即可求解.
【解析】（1）3个点确定一个平面，且任意4点不共面，所以从10个点中任选3个点即可构成一个平面，因此所有的平面个数为（个）；
（2）任意4点不共面，所以从10个点中任选4个点即可构成一个四面体，因此所有的四面体个数为（个）；
23．某校准备参加高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1～4班，每班至少一个名额.
(1)不同的分配方案共有多少种？
(2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？
【答案】(1)455；
(2)84.
【分析】（1）问题转化为将16个小球分成4份，结合隔板法、组合数求不同的分配方案数.
（2）问题转化为将10个小球分成4份，结合隔板法、组合数求不同的分配方案数.
（1）
问题等价于将16个小球串成一串，插入3块隔板，截为4段，16个小球间有15个空隙，
从中选3个插入隔板，插法种数为.
故不同的分配方案共有455种.
（2）
问题等价于先给2班1个小球，3班2个小球，4班3个小球，
再把余下的10个相同的小球放入4个盒子里，求每个盒子至少有1个小球的分配方法数.
将10个小球串成一串，截成4段，截法种数为，
因此不同的分配方案共有84种.
24．现有10名教师，其中6名男教师，4名女教师.
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
【答案】(1)45；
(2)90.
【分析】（1）在10名教师任选2名，利用组合数求不同的选法数.
（2）从男、女老师各选2名，利用组合数及分步乘法求不同的选法数.
(1)
从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有（种）.
(2)
从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种.
根据分步乘法原理，共有不同的选法（种）.
25．学校组织甲、乙、丙、丁4名同学去A，B，C，3个工厂进行社会实践活动，每名同学只能去1个工厂.
(1)问有多少种不同的分配方案？
(2)若每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？
(3)若同学甲、乙不能去工厂A，且每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？（结果全部用数字作答）
【答案】(1)81
(2)36
(3)14
【分析】（1）由分步乘法原理，可得答案；
（2）由分组分配的计数方法，可得答案；
（3）由分类加法原理结合分组分配，可得答案.
【解析】（1）每名同学都有3种分配方法，则不同的分配方案有（种）.
（2）先把4个同学分3组，有种方法；再把这3组同学分到A，B，C，3个工厂，有种方法，则不同的分配方案有（种）.
（3）同学甲、乙不能去工厂A，分配方案分两类：
①另外2名同学都去工厂A，甲、乙去工厂B，C，有（种）情况；
②另外2名同学中有一名去工厂A，有（种）情况.
所以不同的分配方案共有2＋12＝14（种）.
26．某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．
(1)若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的的选法？
(2)若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的的选法？
(3)若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？
【答案】(1)64；
(2)128；
(3)51.
【分析】（1）利用分步原理即得；
（2）利用先选后排可求；
（3）先分类再分步即得
（1）
利用分步原理可得从甲、乙两组中各选1人担任组长，共有种不同的的选法；
（2）
先选后排，可得从甲、乙两组中各选1人担任正副班长有种不同的的选法；
（3）
先分类再分步：第一类：甲组1男生：，第二类：乙组1男生：，
则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有51种.
27．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】利用组合数公式可证得等式成立.
【解析】证明：.
28．将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．
(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；
(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；
(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；
(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．
【答案】(1)24
(2)1
(3)144
(4)12
【分析】（1）全排列问题，利用全排列公式进行求解；
（2）四个小球相同，每个盒子各放一个，只有1种情况；
（3）先把四个小球分组3组，注意部分平均分组，要除以平均组数的全排列，选出空盒，再进行全排列，计算出结果；
（4）先将小球分组，再选出空盒，选出放入2个小球的盒子，从而得到答案.
【解析】（1）四个小球不同，每个盒子各放一个，属于全排列问题，则不同的放法有种；
（2）四个小球相同，每个盒子各放一个，每个小球放入任何一个盒子，都为同1种情况，故不同的放法有1种；
（3）四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，
先将四个不同的小球分为3组，有种情况，选出一个空盒，有种情况，
再将分好的3组小球，与对应的3个盒子进行全排列，共有种选择，
综上：四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，选择方法有种；
（4）四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，
先将四个不同的小球分为3组，则只有1种分法，即2，1，1，
选出一个空盒，有种情况，
将分好的3组小球，放入3个盒子中，选出放入2个小球的盒子，有种情况，
综上：四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，一共有种选择.
29．设集合，其中，，在M的所有元素个数为K（，2≤K≤n）的子集中，我们把每个K元子集的所有元素相加的和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最大元素之和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最小元素之和记为（，2≤K≤n）．
(1)当n＝4时，求、的值；
(2)当n＝10时，求的值；
(3)对任意的n≥3，，给定的，2≤K≤n，是否为与n无关的定值？若是，请给出证明并求出这个定值：若不是，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)4620
(3)与n无关，为定值，证明过程见解析.
【分析】（1）将3元子集用列举法全部列举出来，从而求出、的值；（2）用组合知识得到每个元素出现的次数，进而用等差数列求和公式进行求解；（3）用组合及组合数公式先求出，再求出与的和，进而求出及比值.
(1)
当时，，则3元子集分别为，则，.
(2)
当n＝10时，4元子集一共有个，其中从1到10，每个元素出现的次数均有次，故
(3)
与n无关，为定值，证明过程如下：
对任意的n≥3，，给定的，2≤K≤n， 集合的所有含K个元素的子集个数为，这个子集中，最大元素为n的有个，最大元素为的有个，……，最大元素为的有个，……，最大元素为的有个，则①，其中，所以
，
这个子集中，最小元素为1的有个，最小元素为2的有个，最小元素为3的有个，……，最小元素为（m+1）的有个，……，最小元素为的有个，则②，则①+②得：，所以，故，证毕.
【点睛】集合与组合知识相结合，要能充分利用组合及组合数的公式进行运算，当然在思考过程中，可以用简单的例子进行辅助思考.7.3组合
一、单选题
1．下列问题中是组合问题的个数是 ( )
①从全班50人中选出5名组成班委会；
②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积；
④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商．
A．1 B．2
C．3 D．4
2．从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有 （ ）
A．种 B．3！ C．种 D．以上均不对
3．（ ）
A． B． C． D．
4．某高三年级在安排自习辅导时，将6位不同学科的老师分配到5个不同班级进行学科辅导，每个班级至少一位老师，则所有不同的分配方案的种数为（ ）
A．3600 B．1800 C．720 D．600
5．某学校为了迎接市春季运动会，从由5名男生和4名女生组成的田径训练队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为（ ）
A．85 B．86 C．9 D．90
6．开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往A，B，C三所中学开展防疫知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有（ ）
A．6种 B．12种 C．15种 D．18种
7．将2个红球、2个白球、1个绿球放入编号分别为①②③的三个盒子中，其中，两个盒子各放1个球，另外一个盒子放3个球，这5个球除颜色外其他都一样，则不同的放法有（ ）
A．24种 B．30种 C．62种 D．41种
8．如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ）．
A．96 B．84 C．60 D．48
9．没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有（ ）
A．1176 B．2352 C．1722 D．1302
10．某次足球赛共8支球队参加，分三个阶段进行．
（1）小组赛：经抽签分成甲 乙两组，每组4队进行单循环比赛，以积分和净胜球数取前两名；
（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主 客场交叉淘汰赛（每两队主 客场各赛1场），决出胜者；
（3）决赛：两个胜队参加，比赛1场，决出胜负．
则全部赛程共需比赛的场数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
11．某校为统筹推进以德智体美劳“五育并举+教师教育”为特色的第二课堂养成体系，引导学生们崇尚劳动、尊重劳动者、提高劳动素养，设置以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“音乐欣赏”“蔬菜种植”“打印”这六门劳动课中的一门.则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选劳动课全不相同的方法共有（ ）
A．135种 B．720种 C．1080种 D．1800种
12．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项不正确的是（ ）
A．在第9条斜线上，各数之和为55
B．在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C．在第条斜线上，共有个数
D．在第11条斜线上，最大的数是
二、多选题
13．若，下列结论正确的是（ ）
A．n=10 B．n=11 C．a=466 D．a=233
14．现有个男生个女生，若从中选取个学生，则（ ）
A．选取的个学生都是女生的不同选法共有种
B．选取的个学生恰有个女生的不同选法共有种
C．选取的个学生至少有个女生的不同选法共有种
D．选取的个学生至多有个男生的不同选法共有种
15．新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考：“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结合自身特长兴趣在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
16．某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的有（ ）
A．分给甲 乙 丙三地每地各2辆，有120种分配方式
B．分给甲 乙两地每地各2辆，分给丙 丁两地每地各1辆，有180种分配方式
C．分给甲 乙 丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式
D．分给甲 乙 丙 丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1080种分配方式
三、填空题
17．设，则______．
18．从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有______种不同的安排方法．
19．近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式．
20．我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为的个球的口袋中取出个球，共有种取法.在种取法中，不取号球有种取法；取号球有种取法.所以.试运用此方法，写出如下等式的结果：___________.
四、解答题
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
22．空间有10个点，其中任意4点不共面．
(1)过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？
(2)以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？
23．某校准备参加高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1～4班，每班至少一个名额.
(1)不同的分配方案共有多少种？
(2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？
24．现有10名教师，其中6名男教师，4名女教师.
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
25．学校组织甲、乙、丙、丁4名同学去A，B，C，3个工厂进行社会实践活动，每名同学只能去1个工厂.
(1)问有多少种不同的分配方案？
(2)若每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？
(3)若同学甲、乙不能去工厂A，且每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？（结果全部用数字作答）
26．某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．
(1)若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的的选法？
(2)若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的的选法？
(3)若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？
27．求证：．
28．将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．
(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；
(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；
(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；
(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．
29．设集合，其中，，在M的所有元素个数为K（，2≤K≤n）的子集中，我们把每个K元子集的所有元素相加的和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最大元素之和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最小元素之和记为（，2≤K≤n）．
(1)当n＝4时，求、的值；
(2)当n＝10时，求的值；
(3)对任意的n≥3，，给定的，2≤K≤n，是否为与n无关的定值？若是，请给出证明并求出这个定值：若不是，请说明理由．
