7.4 二项式定理
一、单选题
1．的展开式中的系数为（ ）
A．15 B． C．60 D．
2．展开式中，的系数为（ ）
A． B．320 C． D．240
3．的展开式中的系数为（ ）
A．30 B．40 C．70 D．80
4．，则（ ）
A．1 B．3 C．0 D．
5．的二项展开式中，奇数项的系数和为（ ）
A． B． C． D．
6．若的展开式有9项，则自然数的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．关于的展开式中共有7项，下列说法中正确的是（ ）
A．展开式中二项式系数之和为32 B．展开式中各项系数之和为1
C．展开式中二项式系数最大的项为第3项 D．展开式中系数最大的项为第4项
8．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．二项式的展开式中系数为有理数的项共有（ ）
A．6项 B．7项 C．8项 D．9项
10．在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（ ）
A．63 B．-517 C．-217 D．-177
11．在的二项展开式中，称为二项展开式的第项，其中r=0，1，2，3，……，n．下列关于的命题中，不正确的一项是（ ）
A．若，则二项展开式中系数最大的项是．
B．已知，若，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数的取值范围是．
C．若，则二项展开式中的常数项是．
D．若，则二项展开式中的幂指数是负数的项一共有12项．
12．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第2022行中第1011个数最大
C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3
二、多选题
13．已知二项式的展开式中各项系数的和为,则下列结论正确的是（ ）
A．
B．展开式中二项式系数和为128
C．展开式中项的系数为21
D．展开式中有3项有理项
14．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
15．若，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
16．若，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
17．在展开式中，含的项的系数是___________.
18．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________
19．已知，则的值为______．
20．已知集合，记集合的非空子集为、、、，且记每个子集中各元素的乘积依次为、、、，则的值为___________.
四、解答题
21．在二项式的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
22．已知二项式的展开式中共有11项.
(1)求展开式的第3项的二项式系数；
(2)求展开式中含的项.
23．已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于．
(1)求的值；
(2)若展开式中的一次项的系数为，求实数的值．
24．已知，其中．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求的值．
25．已知（为正整数）的二项展开式中.
(1)若，求所有项的系数之和；
(2)若，求展开式中的有理项的个数；
(3)若，求系数最大的项.
26．若，其中.
(1)求m的值；
(2)求；
(3)求.
27．将的二项展开式中的二项式系数依次列为：.
(1)依据二顶式定理，将展开，并求证：；
(2)研究所列二项式系数的单调性，并求证：其最大值为.
28．已知．在以下A，B，C三问中任选两问作答，若三问都分别作答，则按前两问作答计分，作答时，请在答题卷上标明所选两问的题号．
（A）求；
（B）求；
（C）设，证明：．
29．在中，把称为三项式的系数．
(1)当时，写出三项式的系数的值；
(2)类比的二项式展开式(杨辉三角)的规律，当时，写出三项式的(杨辉三角)数字表，并求出时的；
(3)求（用组合数表示）．7.4 二项式定理
一、单选题
1．的展开式中的系数为（ ）
A．15 B． C．60 D．
【答案】C
【分析】根据二项式展开公式求解即可.
【解析】展开通项公式为，
令得，所以，
所以的系数为60，
故选：C.
2．展开式中，的系数为（ ）
A． B．320 C． D．240
【答案】A
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【解析】因为，
所以通项公式为：，
令，所以，
设二项式的通项公式为：，
令，所以，
因此项的系数为：，
故选：A.
3．的展开式中的系数为（ ）
A．30 B．40 C．70 D．80
【答案】A
【分析】求出的展开式中含的项,再求出其系数即可.
【解析】因为的展开式中含的项为，
所以的系数为.
故选：A.
4．，则（ ）
A．1 B．3 C．0 D．
【答案】C
【分析】根据展开式，利用赋值法取即得.
【解析】因为，
令，可得.
故选：C.
5．的二项展开式中，奇数项的系数和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，令、计算即可求解.
【解析】设，
令可得，
令可得，
两式相加可得：，
所以奇数项系数之和为，
故选：C.
6．若的展开式有9项，则自然数的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】根据二项式展开式的项数即可得解.
【解析】解：因为的展开式共有项，所以，所以，
故选：B．
7．关于的展开式中共有7项，下列说法中正确的是（ ）
A．展开式中二项式系数之和为32 B．展开式中各项系数之和为1
C．展开式中二项式系数最大的项为第3项 D．展开式中系数最大的项为第4项
【答案】B
【分析】依题意可得，再根据二项式系数和为判断A，令即可求出展开式系数和，即可判断B，根据二项式系数的特征判断C，再求出展开式系数最大值，即可判断D；
【解析】解：因为二项式的展开式中共有7项，所以，
选项A：所有项的二项式系数和为，故A不正确；
选项B：令，则，所以所有项的系数的和为1，故B正确；
选项C：二项式系数最大的项为第4项，故C不正确；
选项D：二项式的展开式的通项为，
故系数为，系数的最大项只从中选择，
当时，当时，当时，当时，
故当时系数最大，所以展开式中系数最大的项为第3项，故D不正确.
故选：B
8．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】当n为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大.
【解析】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.
故选：B
9．二项式的展开式中系数为有理数的项共有（ ）
A．6项 B．7项 C．8项 D．9项
【答案】D
【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.
【解析】二项式的通项，
若要系数为有理数，则，，，且，
即，，易知满足条件的，
故系数为有理数的项共有9项.
故选：D
10．在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（ ）
A．63 B．-517 C．-217 D．-177
【答案】B
【解析】利用赋值法令求各项系数的和，再利用生成法求常数项，再求其余各项系数的和.
【解析】常数项是，
令求各项系数和，，
则除常数项外，其余各项系数的和为.
故选：B
11．在的二项展开式中，称为二项展开式的第项，其中r=0，1，2，3，……，n．下列关于的命题中，不正确的一项是（ ）
A．若，则二项展开式中系数最大的项是．
B．已知，若，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数的取值范围是．
C．若，则二项展开式中的常数项是．
D．若，则二项展开式中的幂指数是负数的项一共有12项．
【答案】D
【分析】A选项：根据系数最大列不等式，解不等式即可；B选项：根据题意列不等式，然后分和两种情况解不等式即可；C选项：令，解方程即可；D选项：令，解不等式即可.
【解析】A选项：令，解得，所以，所以A正确；
B选项：，整理可得，当时，不等式恒成立；当时，解得，所以，故B正确；
C选项：令，解得，所以常数项为，故C正确；
D选项：令，解得，所以可取，共11项，故D错.
故选：D.
12．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第2022行中第1011个数最大
C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3
【答案】C
【分析】A选项由及即可判断；B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项由及即可判断；D选项直接计算比值即可判断.
【解析】由可得
，故A错误；
第2022行中第1011个数为，故B错误；
，故C正确；
第34行中第15个数与第16个数之比为，故D错误.
故选：C.
二、多选题
13．已知二项式的展开式中各项系数的和为,则下列结论正确的是（ ）
A．
B．展开式中二项式系数和为128
C．展开式中项的系数为21
D．展开式中有3项有理项
【答案】BD
【分析】根据各项系数的和为,令即可得,可得选项A错误,二项式系数和即,即可判断选项B的正误,根据二项式定理写出通项,使的幂次为1,解得项数,即可得选项C的正误,使通项中的幂次为有理数即可判断选项D的正误.
【解析】解:由题可得,不妨令,
得,
所以,
故选项A错误;
展开式中二项式系数和为,
故选项B正确;
展开式的通项公式为,
令,解得,
展开式中项的系数为,
故选项C错误;
展开式的通项公式为,
当时,
为有理项,
故选项D正确.
故选:BD
14．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】对AB，根据二项式公式求解对应项的系数求解即可；对CD，利用赋值法分别求与和判断即可.
【解析】对A，为展开式中最高次项系数，只能由展开式的最高次项相乘，故为，即，故A正确；
对B，，故，故B错误；
对C，令，则，即，令，则，即.
故，故C正确；
对D，令，则，结合C，，故...①
又...②，①+②可得，故，，故，故D错误.
故选：AC
15．若，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用二项式定理及赋值法逐项分析、计算判断作答.
【解析】因，则，A正确；
展开式的通项，，当为奇数时，，当为偶数时，，
则，B正确；
，而，则，C不正确；
，而，则，D正确.
故选：ABD
16．若，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用二项式定理，结合赋值法逐项分析计算作答.
【解析】依题意，令，
，A不正确；
，
，
则，B正确；
显然，，
则，C正确；
，D不正确.
故选：BC
三、填空题
17．在展开式中，含的项的系数是___________.
【答案】720
【分析】根据乘法分配律以及组合数的计算求得正确答案.
【解析】根据乘法分配律可知，含的项的系数是：
.
故答案为：
18．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________
【答案】
【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可.
【解析】由只有第5项的二项式系数最大可得：.
∴通项公式，
令，解得.
∴展开式中含项的系数为.
故答案为：.
19．已知，则的值为______．
【答案】
【分析】利用二项式展开式的通项进行求解即可.
【解析】的展开式通项为，
所以，
故答案为：
20．已知集合，记集合的非空子集为、、、，且记每个子集中各元素的乘积依次为、、、，则的值为___________.
【答案】
【分析】构造函数，设该函数展开式中所有项系数之和为，则，利用赋值法可求得结果.
【解析】设集合的十个元素分别为、、、.
.
设函数展开式中所有项系数之和为，
则，
因为，所以．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查的集合子集的判定，构造函数求解，属于难题．本题的关键是根据二项定理的推导过程构造出函数，这种转化思想是本题的难点．
四、解答题
21．在二项式的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用展开式的二项式系数和可求得结果；
（2）令可求得展开式各项系数之和.
(1)
解：由题意可知，展开式的二项式系数之和为.
(2)
解：由题意可知，展开式的各项系数之和为.
22．已知二项式的展开式中共有11项.
(1)求展开式的第3项的二项式系数；
(2)求展开式中含的项.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据项数求出，再求解第3项的二项式系数；
（2）利用通项公式求解含的项.
（1）
因为二项式的展开式中共有11项，所以，
所以展开式的第3项的二项式系数为.
（2）
的展开式的通项公式为；
令可得，所以展开式中含的项为.
23．已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于．
(1)求的值；
(2)若展开式中的一次项的系数为，求实数的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设有，结合组合数公式整理成关于n的一元二次方程求解即可.
（2）由（1）写出二项式展开式通项，进而判断含的项，结合其系数列方程求的值．
(1)
由题设，，整理得，解得（舍）或；
(2)
由（1）知：二项式展开式通项为，
当时为含的项，故，解得.
24．已知，其中．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）结合二项式的展开式的通项公式得，令即可求出结果；
（2）构造，分别求出和的值，进而可求出结果.
(1)
，，
，
令，得，∴．
(2)
若，，
记，
，
，
∴
25．已知（为正整数）的二项展开式中.
(1)若，求所有项的系数之和；
(2)若，求展开式中的有理项的个数；
(3)若，求系数最大的项.
【答案】(1)
(2)11
(3)
【分析】（1）由题意求出，令中，即可得出答案.
（2）求出，写出的通项，要使展开式为有理项，则，求解即可；
（3）设二项式展开式第项的系数最大，求出的通项，则，解不等式即可得出答案.
【解析】（1）因为，
而，
所以.
所以令中，则所有项的系数之和为：.
（2）若，则，
，解得：.
则的通项为：，
其中，要使展开式为有理项，
则，则，
故展开式中的有理项的个数为.
（3）若，则的通项为：，
则设二项式展开式第项的系数最大，
则，得，
化简得：，解得：.
因为，则，所以系数最大的项为.
26．若，其中.
(1)求m的值；
(2)求；
(3)求.
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】（1）由展开式的通项求解即可；
（2）令与即可求解；
（3）令并结合（2）即可求解得
【解析】（1）的展开式的通项为，
所以，
所以，解得；
（2）由（1）知，
令，可得，
令，可得，
所以；
（3）令，可得，
由（2）知，
所以
27．将的二项展开式中的二项式系数依次列为：.
(1)依据二顶式定理，将展开，并求证：；
(2)研究所列二项式系数的单调性，并求证：其最大值为.
【答案】(1)，证明见解析；
(2)答案见解析．
【分析】（1）由二项式定理得展开式，在展开式中令可证结论成立；
（2）用作差法可得出二项式系数的单调性，从而得出最大值．
【解析】（1）由已知，
令得；
（2），，
当，，即时，，，
当，即时，，，
所以中，从到递增，从到递减，
所以是最大值．
28．已知．在以下A，B，C三问中任选两问作答，若三问都分别作答，则按前两问作答计分，作答时，请在答题卷上标明所选两问的题号．
（A）求；
（B）求；
（C）设，证明：．
【答案】答案不唯一，具体见解析
【分析】选A利用二项式展开写出所有含的项即可算出结果；选B，利用赋值法时，可得进而求得结果；选C，分别令，即可得出证明.
【解析】选A 解：
因为．
选B 解：
令，得，则．
选C 证明：
令，得；
令，得．
故．
29．在中，把称为三项式的系数．
(1)当时，写出三项式的系数的值；
(2)类比的二项式展开式(杨辉三角)的规律，当时，写出三项式的(杨辉三角)数字表，并求出时的；
(3)求（用组合数表示）．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由代入可得答案；
（2）类比，结合可写出三项式的(杨辉三角)数字表，令可得的值；
（3）由
得的系数为，转化为求展开式中的系数可得答案.
【解析】（1）因为，
所以；
（2）当时，三项式的(杨辉三角)数字表如下，
令，可得；
（3）
，
其中的系数为，
又，
而二项式的通项，
由解得，所以的系数为，
由代数式恒成立得
.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是类比的二项式展开式(杨辉三角)的规律和结合二项式定理解题，考查了学生的运算能力、转化能力。
