6.1.2空间向量的数量积
一、单选题
1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ）
① ② ③ ④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用平面向量数量积的运算性质及运算律可判断①③，利用数乘向量的结合律可判断②，利用数量积的意义及相等向量判断④作答.
【解析】由向量数量积的运算性质知，①正确；由数乘向量的结合律知，②正确；
因，③正确；
都表示两个非负实数，表示与共线的向量，表示与共线的向量，即与不一定相等，④不正确.
故选：D
2．在正方体中，有下列命题：
①；②；③与的夹角为．
其中正确的命题有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】B
【分析】根据空间向量的垂直和异面直线所成的角求解即可
【解析】解：对于①，
所以①正确；
对于②，，
所以②正确；
对于③，因为∥,分别为面的对角线，
所以,所以与的夹角为，所以③错误
故选：B
【点睛】此题考查空间向量垂直和异面直线所成的角，属于基础题
3．若向量垂直于向量和，向量，，且，则
A． B．
C．不平行于，也不垂直于 D．以上都有可能
【答案】B
【分析】根据平面向量垂直的定义和数量积运算的性质，即可判断．
【解析】解：向量垂直于向量和，则，，
又向量，
所以，
所以．
故选：．
4．在正三棱柱中，若，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图建系，求得各点坐标，可得，根据投影向量的求法，代入公式，即可得答案.
【解析】过作，分别以为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
设正三棱柱的棱长为2，
则，
所以，
所以在上的投影向量为.
故选：B
5．已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知可得，根据数量积的运算律即可求出，进而求出结果.
【解析】因为与垂直，所以，
即，
所以.
又，所以.
故选：D.
6．三棱锥中，，，，则等于
A．0 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都是已知的，得到结果．
【解析】解：因为，
即，
所以
故选：．
【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是把未知量转化为已知量，用侧棱做基底表示未知向量，属于基础题．
7．已知空间向量满足，，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
【答案】D
【分析】设与的夹角为θ，由，得，两边平方化简可得答案
【解析】设与的夹角为θ，
由，得，
两边平方，得，
因为，
所以，解得，
故选：D.
8．正方体的棱长为1，为棱的中点，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由空间向量数量积的运算律对选项逐一判断，
【解析】对于A，，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，平面，则，故C错误，
对于D，，，
由垂直关系化简得，故D错误，
故选：B
9．已知为两两垂直的单位向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果.
【解析】由题意知：，，
，.
故选：B.
10．已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
【答案】A
【分析】利用向量的数量积公式即可求解.
【解析】如图，平行六面体中，
向量、、两两的夹角均为，
且，，，
.
，
故选：A.
11．在棱长为1的正方体中，设，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正方体的性质可知、、两两垂直，从而对化简可得答案；
【解析】解：由题意可得，，
所以，，所以，，
所以，
故选：B
12．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解
【解析】分别取BC，AD的中点E，F，则，
所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范围为．
故选：D．
二、多选题
13．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；
【解析】解：对于A：，故A正确；
对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：AD
14．三棱锥中，两两垂直，且，下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C．和的夹角为 D．三棱锥的体积为
【答案】ABC
【分析】根据空间向量数量积的运算性质，结合棱锥体积公式逐一判断即可.
【解析】A：，
因为两两垂直，所以，
而，所以，本命题是真命题；
B：，
因为两两垂直，所以，
因此，本命题是真命题；
C：，
因为两两垂直，所以，
所以，
，
因为互相垂直，所以，而，
所以，
，
因为互相垂直，所以，而，
所以，设和的夹角为，
因为，所以
因此本命题是真命题；
D：，
因为两两垂直，所以，
所以，
，
因为互相垂直，所以，而，所以，
，
因为两两垂直，且，
所以三棱锥的体积为：，
因此本命题是假命题，
故选：ABC
15．已知为正方体，则下列说法正确的有（ ）
A．；
B．；
C．与的夹角为；
D．在面对角线中与直线所成的角为的有8条
【答案】ABD
【分析】画出图形，利用向量的运算结合正方体的性质逐项判断.
【解析】如图所示：
A. 由向量的加法运算得，因为 ，所以，故正确；
B. 正方体的性质易知，所以，故正确；
C. 因为是等边三角形，且 ，所以，则与的夹角为，故错误；
D. 由正方体的性质得过的面对角线与直线所成的角都为，这样有4条，然后相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故正确；
故选：ABD
16．定义空间两个向量的一种运算，，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有
A．
B．
C．
D．若，，，，则
【答案】AD
【解析】和需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；由定义验证若，且，结论成立，从而得到原结论不成立；根据数量积求出，，再由平方关系求出，的值，代入定义进行化简验证即可．
【解析】解：对于，，，，，
故恒成立；
对于，，，，
故不会恒成立；
对于，若，且，，，
，，，，
显然不会恒成立；
对于，，，，，
即有
．
则恒成立．
故选：．
三、填空题
17．已知四面体棱长均为，点，分别是、的中点，则___________.
【答案】
【分析】根据数量积的运算律及定义计算可得.
【解析】解：因为点，分别是、的中点，
所以，，
，
，
所以.
故答案为：
18．设空间中有四个互异的点A B C D，若，则的形状是___________.
【答案】等腰三角形
【分析】由，利用向量的减法和数量积运算求解.
【解析】解：因为，
所以，
则，即，
所以的形状是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形
19．如图，在三棱锥中，两两垂直，，，为的中点，则的值为______.
【答案】##0.5
【分析】根据空间向量基本定理，用基地向量表示 ,进而根据数量积的运算律即可求解.
【解析】由题意得，
故．
故答案为：
20．已知空间单位向量，，，，，则的最大值是___________.
【答案】
【分析】向量，，，平移共起点O，终点在半径为1的球面上，令，，
求出与的夹角，借助几何图形确定与夹角的最小值即可计算作答.
【解析】因，，，是空间单位向量，则把向量，，，平移到以O为起点，终点在半径为1的球面上，如图，
由得，解得，，同理，令，，
则有，且，平方解得，，
于是得绕向量所在直线旋转一周得圆锥的侧面，绕向量所在直线旋转一周得圆锥的侧面，
显然，由此得，，
观察图形知，当，旋转到在平面内，且都在内时，向量与的夹角最小，令此最小角为，
因此，，
，
，
所以的最大值是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：空间两个向量夹角为一确定的锐角时，先将二向量平移到共起点，并将其中一个向量固定，另一向量运动可形成一圆锥的侧面，再借助几何图形的直观性解决问题.
四、解答题
21．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点.
(1)用表示，并求出；
(2)求证：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）由向量加法的三角形法则表示，再把平方即可得到答案.
（2）用表示，然后证明.
（1）
因为点是的重心，所以
因为点是线段的中点，所以.
因为正四面体的棱长为，
所以,
所以
，
所以.
（2）
，
所以.
22．如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）记，利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得；
（2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得.
（1）
记，则：
，
，，
，
，即有；
（2）
．
23．如图所示，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】确定向量的模与向量的夹角，再运用向量的数量积运算即可.
（1）
因为，
由题意，可知，所以，
所以.
（2）
.
（3）
由题意，可知，
.
（4）
.
24．已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，．
(1)求，为邻边的平行四边形的面积S；
(2)求，夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用算出答案即可；
（2）分别求出、、的值即可.
【解析】（1）根据条件，，∴；
∴；
（2）
；
，
；
∴.
25．如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)求；
(3)判断与是否垂直．
【答案】(1)，
(2)
(3)垂直
【分析】根据向量的线性运算法则和向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
(1)
解：根据空间向量的运算法则，可得，
.
(2)
解：根据空间向量的运算法则和数量积的运算公式，可得，
则.
(3)
解：根据空间向量的运算法则，可得；
则，
所以与垂直．
26．如图所示，点是矩形所在平面外一点，且平面，，分别是，上的点，且，为的中点.
（1）求满足的实数，，的值；
（2）若，，求的长.
【答案】（1），，；（2）.
【分析】（1）取的中点，连接，利用几何图形中各线段所代表的空间向量，结合空间向量加减法的几何意义将转化为的线性表达式，即可知，，的值；
（2）由已知条件，结合（1）的结论求的模，即为的长.
【解析】（1）取的中点，连接，则
，
∴，，.
（2）∵，，且，，，
又
，
∴，故的长为.
27．已知长方体中，点Q是BC上的动点，点P是上的动点，，．
（1）求；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）结合空间向量的线性运算以及向量数量积的定义与运算律即可求出结果；
（2）结合空间向量的线性运算以及向量数量积的定义与运算律，再利用不等式的性质即可求出结果；
【解析】（1）
因为，所以，
即，
因此；
（2）
因为,
所以
因此
设， ，则，由于，
所以，故的取值范围为.6.1.2空间向量的数量积
一、单选题
1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ）
① ② ③ ④
A．4 B．3 C．2 D．1
2．在正方体中，有下列命题：
①；②；③与的夹角为．
其中正确的命题有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
3．若向量垂直于向量和，向量，，且，则
A． B．
C．不平行于，也不垂直于 D．以上都有可能
4．在正三棱柱中，若，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．三棱锥中，，，，则等于
A．0 B．2 C． D．
7．已知空间向量满足，，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
8．正方体的棱长为1，为棱的中点，则有（ ）
A． B． C． D．
9．已知为两两垂直的单位向量，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
11．在棱长为1的正方体中，设，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
13．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
14．三棱锥中，两两垂直，且，下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C．和的夹角为 D．三棱锥的体积为
15．已知为正方体，则下列说法正确的有（ ）
A．；
B．；
C．与的夹角为；
D．在面对角线中与直线所成的角为的有8条
16．定义空间两个向量的一种运算，，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有
A．
B．
C．
D．若，，，，则
三、填空题
17．已知四面体棱长均为，点，分别是、的中点，则___________.
18．设空间中有四个互异的点A B C D，若，则的形状是___________.
19．如图，在三棱锥中，两两垂直，，，为的中点，则的值为______.
20．已知空间单位向量，，，，，则的最大值是___________.
四、解答题
21．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点.
(1)用表示，并求出；
(2)求证：.
22．如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，
(1)求；
(2)求．
23．如图所示，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
24．已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，．
(1)求，为邻边的平行四边形的面积S；
(2)求，夹角的余弦值．
25．如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)求；
(3)判断与是否垂直．
26．如图所示，点是矩形所在平面外一点，且平面，，分别是，上的点，且，为的中点.
（1）求满足的实数，，的值；
（2）若，，求的长.
27．已知长方体中，点Q是BC上的动点，点P是上的动点，，．
（1）求；
（2）求的取值范围．
