6.2.1 空间向量基本定理
一、单选题
1．已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
4．三棱柱中，为棱的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．已知空间四边形ABCO中，，，，M为OA中点，点N在BC上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，四面体的所有棱长都相等，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（ ）
A． B． C． D．
10．有以下命题：①若，则与 共面；②若与 共面，则；③若，则 四点共面；④若 四点共面，则；⑤若存在，使，则；⑥若 不共线，则空间任一向量().其中真命题是（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．③④⑥
11．设是四面体，是的重心，G是上的一点，且，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
13．是空间的一个基底，可以和，构成基底的另一个向量可以是（ ）
A． B． C． D．
14．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．己知A，B，M，N是空间中的四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面
D．己知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
15．已知在空间四面体O-ABC中，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
16．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．的最大值为
三、填空题
17．如图，在四面体中，，，，D为的中点，E为的中点，若，其中x，y，，则___________，___________，___________．
18．已知三棱锥，M，N分别是对棱、的中点，点G在线段上，且，设，，，则__________．（用基底表示）
19．己知平行六面体中，，，，，则的长度为________．
20．如图，在120°的二面角中，且，垂足分别为A，B，已知，则线段的长为__________．
四、解答题
21．如图所示，已知在三棱锥中，向量，，，已知M为BC的中点，试用、、表示向量．
22．如图，在平行六面体中，M是的对角线的交点，N是棱BC的中点．设，，，若以，，为一组基，求在这组基下的坐标．
23．如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，求MN的长．
24．在三棱锥体中，，点为的中点，设.
(1)记，试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
25．如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，，，求的值．
26．如图，已知正方体的棱长为1，P，Q，R分别在AB，，上，并满足．设，，．
(1)用，，表示，；
(2)设的重心为G，用，，表示；
(3)当时，求a的取值范围．6.2.1 空间向量基本定理
一、单选题
1．已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】若三个向量非零不共线能作为基底，则满足.
【解析】对于A项，因为，则，，共面，不能作为基底，故A不符合题干.
对于C项，因为，则，，共面，不能作为基底，故C不符合题干.
对于D项，，则，，共面，不能作为基底，故D不符合题干.
对于选项B，假设，，共面，则存在，，使，所以无解，所以，，不共面，可以作为空间的一组基底．
故选：B
2．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可.
【解析】对于A选项，不存在使得成立，故能构成空间的另一个基底；
对于B选项，，故不能构成空间的另一个基底；
对于C选项， ，故不能构成空间的另一个基底；
对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底.
故选：A.
3．如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量 得：，展开化简，再利用向量的数量积，便可得出答案.
【解析】解：，
，
∵，，，，
.
，即的长为.
故选：B.
4．三棱柱中，为棱的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可．
【解析】．
故选：D．
5．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】利用共面向量定理分析判断，其中选项ABD中，一个向量可以表示为另外两个向量的共线向量的和的形式，所以三个向量共面；只有选项C的向量不可以，即得解.
【解析】对于A，因为
所以，，共面，A不符合题意；
对于B，因为
所以，，共面，B不符合题意；
对于C，，
所以，，共面，C不符合题意；
假设存在实数满足，
所以,所以 ，该方程组没有实数解.
所以不存在实数满足，
故，，不共面， D符合题意.
故选：D.
6．已知空间四边形ABCO中，，，，M为OA中点，点N在BC上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解．
【解析】如图所示：
点N在BC上，且，∴，
由，，
，
为中点，，，
．
故选：D．
7．如图，四面体的所有棱长都相等，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用为基底表示向量，再根据向量模的公式和夹角公式求解即可.
【解析】解：因为四面体的所有棱长都相等，，，
所以，两两夹角为，且分别为的中点，
所以，，，
设四面体的棱长为，
所以，，
，
，
所以
故选：B
8．在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，根据 ，，，得到P是的重心求解.
【解析】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，如图所示：
因为，，，
所以，
所以P是的重心，
所以，即，
所以，
整理得．
故选：C
9．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件确定点M，N的位置，再借助空间向量数量积计算作答.
【解析】因，则，即，
而，则共面，点M在平面内，
又，即，于是得点N在直线上，
棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心，
因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点，
，而，，
所以.
故选：A
10．有以下命题：①若，则与 共面；②若与 共面，则；③若，则 四点共面；④若 四点共面，则；⑤若存在，使，则；⑥若 不共线，则空间任一向量().其中真命题是（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．③④⑥
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可；
【解析】解：①正确，由平面向量基本定理可得，若，则与 共面；
②不正确，若 均为零向量，为非零向量，则后式不成立，
③正确，由平面向量基本定理得，
④不正确，若 均为零向量，为非零向量，则后式不成立，
⑤不正确，若 为相反向量时，，，
⑥不正确，若 不共线，当与 所在的平面垂直时，则后式不成立，
故选：B.
11．设是四面体，是的重心，G是上的一点，且，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】取的中点，连接，然后利用三角形法则以及三角形重心的性质和中线的性质即可求解．
【解析】如图所示，
取的中点，连接，
因为，
所以
，
所以，
故选：C．
12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解.
【解析】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，
则
，
又，，，
则，，
因此，
.
故选：B
二、多选题
13．是空间的一个基底，可以和，构成基底的另一个向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABCD
【分析】利用空间向量基本定理逐个分析判断即可.
【解析】对于A，若，，共面，则，
因为是空间的一个基底，所以上式不成立，所以，，不共面，所以，，可以作为基底，所以A正确，
对于B，若，，共面，则，
因为是空间的一个基底，所以上式不成立，所以，，不共面，所以，，可以作为基底，所以B正确，
对于C，若，，共面，则，
因为是空间的一个基底，所以上式不成立，所以，，不共面，所以，，可以作为基底，所以C正确，
对于D，若，，共面，则，
因为是空间的一个基底，所以上式不成立，所以，，不共面，所以，，可以作为基底，所以D正确，
故选：ABCD
14．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．己知A，B，M，N是空间中的四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面
D．己知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
【答案】ABCD
【分析】直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件判定、、、的结果．
【解析】对于选项：，，可以作为空间的一个基底，，，不共面，与共线，，，，不共面，故正确．
对于选项：向量，，与任何向量都共面，，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故正确．
对于选项：，，不能构成空间的一个基底，，，共面，，，，共面，故正确．
对于选项：，，是空间的一个基底，，，不共面，，，，不共面，，，也是空间的一个基底，故正确．
故选：．
15．已知在空间四面体O-ABC中，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用空间向量的基本定理求解判断.
【解析】因为点N为BC中点，
所以，
，
，
；
；
，
故选：BC
16．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】AD
【分析】根据空间四点共面可得，即，判断A,B;利用均值不等式可求得的最大值，判断C,D.
【解析】由题意知
，
即共面，则为基底表示时，系数和为1，
由，可知， ，即，A正确；
由，，可知仅当时，有，
比如当时，即不成立，故B错误；
又由基本不等式可得 ， ，当且仅当，时等号成立，
故C错误， D正确．
故选：AD．
三、填空题
17．如图，在四面体中，，，，D为的中点，E为的中点，若，其中x，y，，则___________，___________，___________．
【答案】 ## ## ##
【分析】根据空间向量的线性运算可得，从而可求解.
【解析】因为D为的中点，E为的中点，
所以
.
因为，所以.
故答案为:.
18．已知三棱锥，M，N分别是对棱、的中点，点G在线段上，且，设，，，则__________．（用基底表示）
【答案】
【分析】根据空间向量的线性运算的几何表示结合条件即得．
【解析】∵，
∴，
又M，N分别是对棱、的中点，，，，
∴
.
故答案为：.
19．己知平行六面体中，，，，，则的长度为________．
【答案】5
【分析】根据空间向量的线性运算可得，等式两边同时平方，利用空间向量数量积的定义计算即可.
【解析】由题意知，设，
则，
所以，
又，
所以，
即，所以.
故答案为：5.
20．如图，在120°的二面角中，且，垂足分别为A，B，已知，则线段的长为__________．
【答案】12
【分析】利用，两边平方计算，可得线段的长．
【解析】因为，所以．又因为二面角的平面角为120°，所以．所以，所以．
故答案为：12
【点睛】本题考查空间距离的计算，考查向量知识的运用，属于中档题．
四、解答题
21．如图所示，已知在三棱锥中，向量，，，已知M为BC的中点，试用、、表示向量．
【答案】
【分析】利用空间向量的线性运算的几何表示运算即得.
【解析】∵M 为BC的中点，
∴，
∴.
22．如图，在平行六面体中，M是的对角线的交点，N是棱BC的中点．设，，，若以，，为一组基，求在这组基下的坐标．
【答案】.
【分析】根据向量的线性运算即可用，，表示出.
【解析】
，
∴在以为基的坐标为.
23．如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，求MN的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.
（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.
【解析】（1）解：
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
即MN的长为.
24．在三棱锥体中，，点为的中点，设.
(1)记，试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据空间向量的运算的几何表示结合条件即得；
（2）根据空间向量的数量积的定义及运算律即得.
【解析】（1）由题可知，，
所以，即，又，
所以，
所以，
又点为的中点，
所以，
所以；
（2）因为，
所以，
所以
.
25．如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）由（1）可得，根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；
【解析】（1）解：，
，
又
（2）解：由（1）可得知
26．如图，已知正方体的棱长为1，P，Q，R分别在AB，，上，并满足．设，，．
(1)用，，表示，；
(2)设的重心为G，用，，表示；
(3)当时，求a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；
（2）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；
（3）先用，，表示，再计算，发现其恒为零，进而可得a的取值范围．
(1)
(2)
(3)
又
即对任意，都有
即a的取值范围为.
