2022-2023学年高一数学 人教A版2019选择性必修第二册 5-3-2函数的极值（第1课时）同步备课课件（24张PPT）

第 5 章一元函数的导数及其应用
人教A版2019选修第一册
5.3.2函数的极值（第1课时）
学习目标
1．了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值 与导数的关系.
2．初步掌握求函数极值的方法．
3．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．

{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}问题引入：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，
那么函数h(t)在此点处的导数是多少？
此点附近的函数图象有什么特点？
相应地，导数的正负有什么变化规律?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}放大t=a附近的函数 h(t)的图象，可以看出，????′????=????；
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}可以看出，?′????=0；在t=a的附近，
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}当t0；
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}当t>a时，函数 h(t)单调递减，?′????<0.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}在 t=a 附近，函数值先增后减.
这样当 t 在 a 的附近从小到大经过a时，?′????先正后负，且?′????连续变化，于是有?′????=0.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？
探究2： 如图示，函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? y=f(x)在这些点的导数值是多少? 在这些点附近， y=f(x)的导数的正负性有什么规律?
以x=a, b两点为例, 可以发现, 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, f′(a)=0; 而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0, 右侧f′(x)>0. 类似地, 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, f'(b)=0; 而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0, 右侧f'(x)<0.
我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
x
y
O
a
b
c
d
e
例5
解：
x
(－∞, －2)
－2
(－2, 2)
2
(2, ＋∞)
f′(x)
f(x)
x
y
O
-2
2
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}思考
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}提示：
导数值为 0 的点不一定是函数的极值点
例如，对于函数????????=????3，我们有????′????=3????2.
虽然????′0=0，但由于无论x>0，还是x<0，恒有????′????>0，
即函数 ????????=????3是增函数，
所以0不是函数 ????????=????3的极值点
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.
????????=????3
?
(3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
注意：
(1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值；
(2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件.
(4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;
反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点.
O
a
x0
b
x
y
x
x0左侧
x0
x0右侧
f′(x)



f(x)

O
a
x0
b
x
y
x
x0左侧
x0
x0右侧
f′(x)



f(x)
增
f′(x) >0
f′(x) =0
f′(x) <0
极大值
减
f′(x) <0
f′(x) =0
增
减
极小值
f′(x) >0
判断f (x0)是极大值或是极小值的方法：
左正右负为极大，左负右正为极小
左增右减为极大，左减右增为极小
求可导函数f(x)极值的步骤：
(2) 求导数f ′(x)；
(3) 求方程f ′(x)=0的根；
(4) 把定义域划分为部分区间，并列成表格：
检查f ′(x)在方程根左右的符号：
如果左正右负（左增右减），
那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正（左减右增），
那么f(x)在这个根处取得极小值；
(1) 确定函数的定义域；
课堂练习
1.下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
a
b
x
y
x1
O
x2
x3
x4
x5
x6
解：
x
f′(x)
f(x)
解：
x
(－∞, －3)
－3
(－3, 3)
3
(3, ＋∞)
f′(x)
f(x)
解：
x
(－∞, －2)
－2
(－2, 2)
2
(2, ＋∞)
f′(x)
f(x)
解：
x
(－∞, －1)
－1
(－1, 1)
1
(1, ＋∞)
f′(x)
f(x)
随堂检测
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 函数的极值与导数的关系
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} (1)函数的极小值与极小值点
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} (2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
课堂小结