6.2.1 向量的加法运算+6.2.2 向量的减法运算 学案（含答案）

第六章 平面向量及其应用
6.2.1 向量的加法运算
6.2.2 向量的减法运算
学案
学习目标
1.借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量的加法、减法运算及其运算规律.
2.理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
知识汇总
1.向量的加法运算
（1）向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任意向量，规定.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量，在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即.如图.
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量，作，，以，为邻边作，则对角线上的向量.如图.
（4）向量形式的三角不等式：一般地，有，当且仅当方向相同时等号成立.
（5）向量加法的运算律：
①交换律：；
②结合律：.
2.向量的减法运算
（1）相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.
性质：①零向量的相反向量仍是零向量.
②和互为相反向量，于是.
③若互为相反向量，则，，.
（2）向量的减法：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法.
向量的减法可以转化为向量的加法：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
（3）向量减法的几何意义：已知向量，在平面内任取一点，作，，则，如图.
即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
习题检测
1.在平行四边形ABCD中，( )
A. B. C. D.
2.已知向量表示“向东航行”，向量表示“向南航行”，则表示( )
A.向东南航行 B.向东南航行
C.向东北航行 D.向东北航行
3.化简下列各式：
①；②；
③；④.
其中结果为的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图，在平行四边形中，下列结论错误的是( ).
A. B.
C. D.
5.（多选）下列各式中结果为零向量的为( )
A.
B.
C.
D.
6.化简____________.
7.设是的相反向量，则下列说法正确的有_________.(填序号)
①与的长度必相等；②；
③与一定不相等；④是的相反向量.
8.如图，一架飞机从A地按北偏西30°北方向飞行300 km后到达B地，然后B向C地飞行，已知C地在A地北偏东60°方向处，且，则飞机从B地向C地飞行的方向是西东南偏东__________，____________km.
9.化简下列各式：
（1）.
（2）.
10.如图，在中，D，E分别为边AC，BC上的任意一点，O为AE，BD的交点，已知，，，，用，，，表示向量.
答案以及解析
1.答案：B
解析：.故选B.
2.答案：B
解析：如图，设，，则，，以OA，OB为邻边作为平行四边形OACB，是平行四边形法则可知，，，平行四边形OACB是正方形，方向为东南方向.，.故选B.
3.答案：D
解析：①.
②.
③.
④.故选D.
4.答案：C
解析：由，且与的方向相反，知与是一对相反向量，因此有，故A正确；由向量加法的平行四边形法则知，故B正确；由，得，故C错误；与是一对相反向量，故，故D正确.
5.答案：AC
解析：由向量的加法法则得，，故结果为零向量； ，结果不为零向量； ，故结果为零向量； ，结果不为零向量.故选AC.
6.答案：
解析：.
7.答案：①②④
解析：因为的相反向量是，故③不正确.其他均正确.
8.答案：75°；300
解析：由题意和图形可知，因为，，
所以，因为，A地在B地南偏东30°的方向处.
所以C地在B地南偏东75°的方向处.
故飞机从B地向C地飞行的方向为南偏东75°.
9.解析：(1)方法一：原式
.
方法二：原式
.
（2）方法一：原式.
方法二：原式.
10.解析：在中，有，
在中，，
在中，，
所以在中，.
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