湖北省孝感市2022-2023学年高一下学期数学收心（开学）考试试卷
1．（2023高一下·孝感开学考）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”，2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽在赵爽弦图中直角三角形较小的锐角记为 ，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】设直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ，
由题意可知，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，
由题意可得 ，解得 ，故 。
故答案为：C.
【分析】设直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ，由题意可知，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，再利用正方形的结构特征结合勾股定理实际问题的已知条件，从而结合三角形的面积公式，从而求出x，y的值，再结合正弦函数的定义，从而求出的值。
2．（2023高一下·孝感开学考）下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（ ）
A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤
【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：①中，是集合中的一个元素，，所以①错误；
②中，空集是任一集合的子集，所以②正确；
③中，是的子集，，所以③错误；
④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确；
⑤中，是的元素，所以⑤正确.
故答案为：C.
【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系，逐项进行分析判断，可得答案.
3．（2023高一下·孝感开学考）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】，，，
所以
故答案为：C
【分析】由，利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，可得答案.
4．（2023高一下·孝感开学考）已知函数与函数互为反函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】因为，所以其反函数为，即，
所以，
故答案为：D.
【分析】由反函数的定义，将函数的x，y互换，化简得，从而得到，再利用对数的运算性质化简f(3x) ，即可得答案.
5．（2023高一下·孝感开学考）若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似解（精确度0.04）为（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375
【答案】D
【知识点】二分法求函数零点近似值；函数零点存在定理
【解析】【解答】由表格结合零点存在定理知零点在上，区间长度为0.03125，满足精度要求，观察各选项，只有D中值1.4375是该区间的一个端点，可以作为近似解，
故答案为：D．
【分析】由表格结合零点存在定理知零点在上，区间长度为0.03125，满足精度要求，结合二分法的定义可得答案.
6．（2023高一下·孝感开学考）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为是定义在上的偶函数，
所以，解得：，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
因为，所以，
故，解①得：或，
解②得：，故
故答案为：C
【分析】根据是定义在上的偶函数，得到解得b=1，结合函数奇偶性得到f(x)在[0，2]上单调递减，从而列出不等式，求出不等式的解集.
7．（2023高一下·孝感开学考）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质
【解析】【解答】解：对于函数，令，即，
解得，所以函数的定义域为，
又在上单调递增，在上单调递减，
又在定义域上单调递减，
所以的单调递减区间为.
故答案为：B
【分析】 先求函数f (x)的定义域，由图象求二次函数在区间上的单调区间，再根据复合函数单调性的原则：同增异减，求原函数的单调递减区间.
8．（2023高一下·孝感开学考）定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则关于 的函数 的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇函数；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】当 时 ， 又 为奇函数 时， 画出 和 的图象，如图
共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为 则 而 ，可得
故答案为：D
【分析】通过利用奇函数的性质，画出y = f ( x ) 和 y = a ( 0 < a < 1 ) 的图象，可以知道其共有五个交点，然后设其横坐标，通过计算可以得出零点之和。
9．（2023高一下·孝感开学考）下列命题正确的是（ ）
A．第一象限的角都是锐角 B．小于的角是锐角
C．是第三象限的角 D．钝角是第二象限角
【答案】C,D
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】对于A，如是第一象限的角，不是锐角，A不符合题意；
对于B，如小于，不是锐角，B不符合题意；
对于C，由，所以与终边相同，是第三象限的角，C符合题意；
对于D，钝角为的角，是第二象限角，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】根据象限角的定义逐项进行判断，可得答案 .
10．（2023高一下·孝感开学考）下列说法中正确为（ ）
A．不论取何实数，命题“，”为真命题
B．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为
C．设集合，，则“”是“”的充分不必要条件
D．函数与函数是同一个函数
【答案】A,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同一函数的判定；函数恒成立问题
【解析】【解答】对于A，令，则，故方程总有两个不相等的实数根，不妨设，由韦达定理得，即，
不等式的解集为，则当时，有，A符合题意；
对于B，当时，可得成立，满足题意，
当时，可得，解得，
综上所述，的取值范围为，B不符合题意；
对于C，当时，，所以，充分性成立，
若，则或，解得或，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，C符合题意；
对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，故不是同一函数，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】 根据函数的对称性性质、一元二次不等式恒成立的处理方法、条件的充分性与必要性的判断思路、相等函数的概念逐项进行判断，可得答案.
11．（2023高一下·孝感开学考）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．函数在上为减函数
B．函数为偶函数
C．由可得是的整数倍
D．函数在区间上有个零点
【答案】A,B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】因为函数的图象关于直线对称，
所以，，可得，，
又，所以，所以
对于，当时，，由正弦函数性质知是减函数，A符合题意；
对于B，是偶函数，B符合题意；
对于C，当，时，，但不是的整数倍，C不符合题意 ；
对于，令，则，，即，，
由，解得，因为，所以，，，，因此在区间上有个零点，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】由函数的对称性求出的值，从而可得的解析式，由正弦函数单调性，可判断A；化简，可判断B；当，时，即可得出不是的整数倍，可判断C；令，则，，由题意解得，可判断D.
12．（2023高一下·孝感开学考）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是
B．若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是
C．若函数有四个零点，，则
D．若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是
【答案】B,C,D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】利用函数图象变换，作图如下：
由图可知，函数的单调递增区间是，A不符合题意；
函数恰有三个零点，
即的图象与直线有三个交点，所以或，
B符合题意；
函数有四个零点，则，
不妨设，
令，解得或，
令，解得或，
所以由图可知，
，
则有，即，
所以，所以，
，即，
则，所以，
设，则对钩函数在单调递减，
所以，
所以，
即
又因为，所以，
C符合题意；
令，解得或，
由解得，所以有三个不同的解，
由B选项分析过程可知，或，解得，或，
所以实数的取值范围是，D符合题意；
故答案为：BCD.
【分析】根据函数图象变换作出函数图象即可判断选项A；数形结合将问题转化为f (x)的图象与直线y=m有三个交点即可判断选项B；根据题意，作出图象，确定有四个交点时，，利用双勾函数性质求出的取值范围，即可判断选项C ；根据一元二次方程的根结合f (x)的图象，数形结合可判断选项D.
13．（2023高一下·孝感开学考）已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是 ．
【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】∵，
幂函数为奇函数，且在上递减，
∴是奇数，且，∴．
故答案为：
【分析】 根据已知条件，结合函数的单调性，以及奇函数的性质，即可求解出取值的集合 .
14．（2023高一下·孝感开学考）一扇形的圆心角，半径，则该扇形的周长为 .
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由扇形的弧长公式得，所以扇形的周长为.
故答案为：
【分析】利用扇形的弧长公式与扇形的周长公式，即可求解出答案.
15．（2023高一下·孝感开学考）已知 ， ，且 ，则 的最大值是 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 ，所以 ，
，
当 时， 取最小值 ，
所以 取最大值 ，
故 的最大值是 .
故答案为： .
【分析】首先根据题意整理化简原式再由基本不等式计算出最值即可。
16．（2023高一下·孝感开学考）设，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题
【解析】【解答】由题意，函数，
当时，，
当时，，
因为，可得，则，所以，
所以，
又因为，且，
对于任意，总存在，使得成立，
可得，即，解得，
所以实数的取值范围为.
【分析】先求得，进而得到，根据任意，总存在，使得成立，得到，即可求解.
17．（2023高一下·孝感开学考）
（1）求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：；
（2）解：由，故，，故，
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质进行计算即可；
（2）计算得 ， 变换得 ，计算可得 的值.
18．（2023高一下·孝感开学考）已知角满足.
（1）求的值；
（2）若角是第三象限角，，求的值.
【答案】（1）解：由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去得，解得或，
当角是第一象限角时，，
因为角是第三象限角，.
（2）解：由题意可得，
因为角是第三象限角，
所以，所以.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】（1） 由题意和同角三角函数基本关系式，有 ，求出 的值，进而分角是第一象限角时和角是第三象限角时两种情况求出的值；
（2）利用诱导公式化简 的值，根据（1）中所求，即可求出 的值.
19．（2023高一下·孝感开学考）已知函数， .
（1）求的最大值和对应的取值；
（2）求在的单调递增区间.
【答案】（1）解：因为，，函数取最大值满足：，，可得，，
当，时，函数有最大值 ；
（2）解：函数在上的增区间满足：，，可得，，
又，函数的单增区间为 .
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】(1)根据正弦函数的图象和性质即可得 的最大值和对应的取值；
(2)根据正弦函数的单调性结合已知条件即可得 在的单调递增区间.
20．（2023高一下·孝感开学考）截至年月日，全国新型冠状病毒的感染人数突破人疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.
（1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段已知这种新药在注射停止后的血药含量（单位：）随着时间（单位：）.的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？（精确到，参考数据：，）
（2）为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为平方米，侧面长为米，且不超过，房高为米.房屋正面造价元平方米，侧面造价元平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？
【答案】（1）解：由题意得，，
设该药在病人体内的血药含量变为时需要是时间为，
由，得，
故，．
该新药对病人有疗效的时长大约为．
（2）解：由题意，正面长为米，故总造价，即.
由基本不等式有，当且仅当，即时取等号.
故当，即，时总价最低；
当，即时，由对勾函数的性质可得，时总价最低；
综上，当时，时总价最低；当时，时总价最低.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
【解析】【分析】(1)利用已知条件 ，求解指数不等式得该新药对病人有疗效的时长 ；
(2)根据题意表达出总造价 ，再根据基本不等式，结合对勾函数的性质分类讨论分析即可得结论.
21．（2023高一下·孝感开学考）已知函数 （ ， ）
（1）当 时，求函数 的定义域；
（2）当 时，求关于 的不等式 的解集；
（3）当 时，若不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， ，故： ，解得： ，故函数 的定义域为
（2）解：由题意知， （ ），定义域为 ，用定义法易知 为 上的增函数，由 ，知： ，∴
（3）解：设 ， ，设 ， ，
故 ， ，故： ，
又∵ 对任意实数 恒成立，
故： .
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【分析】（1）由ax-1＞0，得ax＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令 ， 可知 在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．
22．（2023高一下·孝感开学考）如果函数在其定义域D内，存在实数使得成立，则称函数为“可拆分函数”.
（1）判断函数，，，，是否为“可拆分函数” (需说明理由)
（2）设函数为“可拆分函数”，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：，，是“可拆分函数”，，不是“可拆分函数”.理由如下：
若，则，
，，
，，
假设是“可分拆函数”，则存在，使得，即，
而此方程的判别式，方程无实数解，
所以，不是“可分拆函数”.
假设，是“可分拆函数”，则存在，使得(明显不成立)，不是“可分拆函数”.
（2）解：因为函数为“可分拆函数”，
所以存在实数，使得，
即，且，
所以，
令，则，
所以，，由得，即a的取值范围是.
【知识点】归纳推理
【解析】【分析】(1)根据"可拆分函数”的定义，确定是否存在实数 ，使得 成立即可；
(2)结合 函数为“可分拆函数”，建立方程关系，结合对数函数，分式函数的性质，利用分子常数法进行转化求解，即可得实数a的取值范围.
1 / 1湖北省孝感市2022-2023学年高一下学期数学收心（开学）考试试卷
1．（2023高一下·孝感开学考）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”，2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽在赵爽弦图中直角三角形较小的锐角记为 ，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023高一下·孝感开学考）下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（ ）
A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤
3．（2023高一下·孝感开学考）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高一下·孝感开学考）已知函数与函数互为反函数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高一下·孝感开学考）若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似解（精确度0.04）为（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375
6．（2023高一下·孝感开学考）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023高一下·孝感开学考）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高一下·孝感开学考）定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则关于 的函数 的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023高一下·孝感开学考）下列命题正确的是（ ）
A．第一象限的角都是锐角 B．小于的角是锐角
C．是第三象限的角 D．钝角是第二象限角
10．（2023高一下·孝感开学考）下列说法中正确为（ ）
A．不论取何实数，命题“，”为真命题
B．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为
C．设集合，，则“”是“”的充分不必要条件
D．函数与函数是同一个函数
11．（2023高一下·孝感开学考）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．函数在上为减函数
B．函数为偶函数
C．由可得是的整数倍
D．函数在区间上有个零点
12．（2023高一下·孝感开学考）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是
B．若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是
C．若函数有四个零点，，则
D．若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是
13．（2023高一下·孝感开学考）已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是 ．
14．（2023高一下·孝感开学考）一扇形的圆心角，半径，则该扇形的周长为 .
15．（2023高一下·孝感开学考）已知 ， ，且 ，则 的最大值是 ．
16．（2023高一下·孝感开学考）设，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是 ．
17．（2023高一下·孝感开学考）
（1）求的值；
（2）已知，求的值.
18．（2023高一下·孝感开学考）已知角满足.
（1）求的值；
（2）若角是第三象限角，，求的值.
19．（2023高一下·孝感开学考）已知函数， .
（1）求的最大值和对应的取值；
（2）求在的单调递增区间.
20．（2023高一下·孝感开学考）截至年月日，全国新型冠状病毒的感染人数突破人疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.
（1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段已知这种新药在注射停止后的血药含量（单位：）随着时间（单位：）.的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？（精确到，参考数据：，）
（2）为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为平方米，侧面长为米，且不超过，房高为米.房屋正面造价元平方米，侧面造价元平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？
21．（2023高一下·孝感开学考）已知函数 （ ， ）
（1）当 时，求函数 的定义域；
（2）当 时，求关于 的不等式 的解集；
（3）当 时，若不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围.
22．（2023高一下·孝感开学考）如果函数在其定义域D内，存在实数使得成立，则称函数为“可拆分函数”.
（1）判断函数，，，，是否为“可拆分函数” (需说明理由)
（2）设函数为“可拆分函数”，求实数a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】设直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ，
由题意可知，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，
由题意可得 ，解得 ，故 。
故答案为：C.
【分析】设直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ，由题意可知，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，再利用正方形的结构特征结合勾股定理实际问题的已知条件，从而结合三角形的面积公式，从而求出x，y的值，再结合正弦函数的定义，从而求出的值。
2．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：①中，是集合中的一个元素，，所以①错误；
②中，空集是任一集合的子集，所以②正确；
③中，是的子集，，所以③错误；
④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确；
⑤中，是的元素，所以⑤正确.
故答案为：C.
【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系，逐项进行分析判断，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】，，，
所以
故答案为：C
【分析】由，利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，可得答案.
4．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】因为，所以其反函数为，即，
所以，
故答案为：D.
【分析】由反函数的定义，将函数的x，y互换，化简得，从而得到，再利用对数的运算性质化简f(3x) ，即可得答案.
5．【答案】D
【知识点】二分法求函数零点近似值；函数零点存在定理
【解析】【解答】由表格结合零点存在定理知零点在上，区间长度为0.03125，满足精度要求，观察各选项，只有D中值1.4375是该区间的一个端点，可以作为近似解，
故答案为：D．
【分析】由表格结合零点存在定理知零点在上，区间长度为0.03125，满足精度要求，结合二分法的定义可得答案.
6．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为是定义在上的偶函数，
所以，解得：，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
因为，所以，
故，解①得：或，
解②得：，故
故答案为：C
【分析】根据是定义在上的偶函数，得到解得b=1，结合函数奇偶性得到f(x)在[0，2]上单调递减，从而列出不等式，求出不等式的解集.
7．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质
【解析】【解答】解：对于函数，令，即，
解得，所以函数的定义域为，
又在上单调递增，在上单调递减，
又在定义域上单调递减，
所以的单调递减区间为.
故答案为：B
【分析】 先求函数f (x)的定义域，由图象求二次函数在区间上的单调区间，再根据复合函数单调性的原则：同增异减，求原函数的单调递减区间.
8．【答案】D
【知识点】奇函数；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】当 时 ， 又 为奇函数 时， 画出 和 的图象，如图
共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为 则 而 ，可得
故答案为：D
【分析】通过利用奇函数的性质，画出y = f ( x ) 和 y = a ( 0 < a < 1 ) 的图象，可以知道其共有五个交点，然后设其横坐标，通过计算可以得出零点之和。
9．【答案】C,D
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】对于A，如是第一象限的角，不是锐角，A不符合题意；
对于B，如小于，不是锐角，B不符合题意；
对于C，由，所以与终边相同，是第三象限的角，C符合题意；
对于D，钝角为的角，是第二象限角，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】根据象限角的定义逐项进行判断，可得答案 .
10．【答案】A,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同一函数的判定；函数恒成立问题
【解析】【解答】对于A，令，则，故方程总有两个不相等的实数根，不妨设，由韦达定理得，即，
不等式的解集为，则当时，有，A符合题意；
对于B，当时，可得成立，满足题意，
当时，可得，解得，
综上所述，的取值范围为，B不符合题意；
对于C，当时，，所以，充分性成立，
若，则或，解得或，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，C符合题意；
对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，故不是同一函数，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】 根据函数的对称性性质、一元二次不等式恒成立的处理方法、条件的充分性与必要性的判断思路、相等函数的概念逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】A,B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】因为函数的图象关于直线对称，
所以，，可得，，
又，所以，所以
对于，当时，，由正弦函数性质知是减函数，A符合题意；
对于B，是偶函数，B符合题意；
对于C，当，时，，但不是的整数倍，C不符合题意 ；
对于，令，则，，即，，
由，解得，因为，所以，，，，因此在区间上有个零点，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】由函数的对称性求出的值，从而可得的解析式，由正弦函数单调性，可判断A；化简，可判断B；当，时，即可得出不是的整数倍，可判断C；令，则，，由题意解得，可判断D.
12．【答案】B,C,D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】利用函数图象变换，作图如下：
由图可知，函数的单调递增区间是，A不符合题意；
函数恰有三个零点，
即的图象与直线有三个交点，所以或，
B符合题意；
函数有四个零点，则，
不妨设，
令，解得或，
令，解得或，
所以由图可知，
，
则有，即，
所以，所以，
，即，
则，所以，
设，则对钩函数在单调递减，
所以，
所以，
即
又因为，所以，
C符合题意；
令，解得或，
由解得，所以有三个不同的解，
由B选项分析过程可知，或，解得，或，
所以实数的取值范围是，D符合题意；
故答案为：BCD.
【分析】根据函数图象变换作出函数图象即可判断选项A；数形结合将问题转化为f (x)的图象与直线y=m有三个交点即可判断选项B；根据题意，作出图象，确定有四个交点时，，利用双勾函数性质求出的取值范围，即可判断选项C ；根据一元二次方程的根结合f (x)的图象，数形结合可判断选项D.
13．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】∵，
幂函数为奇函数，且在上递减，
∴是奇数，且，∴．
故答案为：
【分析】 根据已知条件，结合函数的单调性，以及奇函数的性质，即可求解出取值的集合 .
14．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由扇形的弧长公式得，所以扇形的周长为.
故答案为：
【分析】利用扇形的弧长公式与扇形的周长公式，即可求解出答案.
15．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 ，所以 ，
，
当 时， 取最小值 ，
所以 取最大值 ，
故 的最大值是 .
故答案为： .
【分析】首先根据题意整理化简原式再由基本不等式计算出最值即可。
16．【答案】
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题
【解析】【解答】由题意，函数，
当时，，
当时，，
因为，可得，则，所以，
所以，
又因为，且，
对于任意，总存在，使得成立，
可得，即，解得，
所以实数的取值范围为.
【分析】先求得，进而得到，根据任意，总存在，使得成立，得到，即可求解.
17．【答案】（1）解：；
（2）解：由，故，，故，
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质进行计算即可；
（2）计算得 ， 变换得 ，计算可得 的值.
18．【答案】（1）解：由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去得，解得或，
当角是第一象限角时，，
因为角是第三象限角，.
（2）解：由题意可得，
因为角是第三象限角，
所以，所以.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】（1） 由题意和同角三角函数基本关系式，有 ，求出 的值，进而分角是第一象限角时和角是第三象限角时两种情况求出的值；
（2）利用诱导公式化简 的值，根据（1）中所求，即可求出 的值.
19．【答案】（1）解：因为，，函数取最大值满足：，，可得，，
当，时，函数有最大值 ；
（2）解：函数在上的增区间满足：，，可得，，
又，函数的单增区间为 .
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】(1)根据正弦函数的图象和性质即可得 的最大值和对应的取值；
(2)根据正弦函数的单调性结合已知条件即可得 在的单调递增区间.
20．【答案】（1）解：由题意得，，
设该药在病人体内的血药含量变为时需要是时间为，
由，得，
故，．
该新药对病人有疗效的时长大约为．
（2）解：由题意，正面长为米，故总造价，即.
由基本不等式有，当且仅当，即时取等号.
故当，即，时总价最低；
当，即时，由对勾函数的性质可得，时总价最低；
综上，当时，时总价最低；当时，时总价最低.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
【解析】【分析】(1)利用已知条件 ，求解指数不等式得该新药对病人有疗效的时长 ；
(2)根据题意表达出总造价 ，再根据基本不等式，结合对勾函数的性质分类讨论分析即可得结论.
21．【答案】（1）解：当 时， ，故： ，解得： ，故函数 的定义域为
（2）解：由题意知， （ ），定义域为 ，用定义法易知 为 上的增函数，由 ，知： ，∴
（3）解：设 ， ，设 ， ，
故 ， ，故： ，
又∵ 对任意实数 恒成立，
故： .
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【分析】（1）由ax-1＞0，得ax＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令 ， 可知 在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．
22．【答案】（1）解：，，是“可拆分函数”，，不是“可拆分函数”.理由如下：
若，则，
，，
，，
假设是“可分拆函数”，则存在，使得，即，
而此方程的判别式，方程无实数解，
所以，不是“可分拆函数”.
假设，是“可分拆函数”，则存在，使得(明显不成立)，不是“可分拆函数”.
（2）解：因为函数为“可分拆函数”，
所以存在实数，使得，
即，且，
所以，
令，则，
所以，，由得，即a的取值范围是.
【知识点】归纳推理
【解析】【分析】(1)根据"可拆分函数”的定义，确定是否存在实数 ，使得 成立即可；
(2)结合 函数为“可分拆函数”，建立方程关系，结合对数函数，分式函数的性质，利用分子常数法进行转化求解，即可得实数a的取值范围.
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