4.2.2等差数列的前n项和 第2课时说课 课件（共22张PPT）
文档属性
| 名称 | 4.2.2等差数列的前n项和 第2课时说课 课件（共22张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 251.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-29 21:07:18 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
4.2.2 等差数列的前n项和公式
（第2课时）
人教A版2019 选择性必修第二册
目
录
教材分析
学情分析
教学目标
教学过程
教学重点
说教材
说目标
说教学
公式的应用
等差数列的前n项和公式
灵活应用
实际应用
综合运用
内容解析
1.内容的本质
运算方法是本单元内容的一条认知主线
2.知识的上下位关系
承上启下是本单元内容的一个显著特点
3.内容蕴含的数学思想和方法
思想方法是本单元内容的又一认知主线
4.内容的育人价值
文化育人是本单元内容的又一个显著特点
认知基础
等差数列前n项和公式的应用，其认知基础是等差数列的定义、性质、等差数列前n项和公式等.
认知困难
在具体的问题情境中，特别是在具有数学史料和实际应用的问题情境下，运用等差数列的前n项和公式解决相应的问题.
1.掌握等差数列前n项和公式，学生灵活选择等差数列前n项和公式.
2.能较熟练运用等差数列前n项和公式解决一些简单的数学问题和实际问题，提升数学建模素养.
3.通过具体情境活动，体会化归与转化、分类与整合和数形结合等思想方法，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力.
教学重点
教学难点
等差数列的前n项和公式的应用
综合与灵活运用等差数列的前n项和公式
教学流程：本课时按照三个教学环节展开，即“巩固公式，灵活运用——理解公式，实际运用——掌握公式，综合运用”。其教学流程图如下：
一、巩固公式，灵活运用
设计意图：通过明确三种形式求和公式的适用范围，有利于学生理解公式的变化，认识变化的本质，让学生能在后续应用中根据不同的条件选用恰当的公式，实现举一反三.
引导语：等差数列前 项和公式有哪几种形式？你能说出它们各自的适用范围吗？
师生活动：教师引导学生复习回顾等差数列前 项和公式的三种形式：
再让学生说出在什么条件选用哪个公式更合适.
一、巩固公式，灵活运用
例1：设 是等差数列 的前 项和.
若 ，求 的值；
师生活动：教师先让学生分组合作讨论，再让学生分组展示交流.
对于该问，引导学生尝试多种解题思路，如基本量法、待定系数法、性质应用法等，灵活选用前 项和公式的不同形式进行分析、求解和探究.
设计意图：让学生尝试一题多解，加深学生对等差数列前 项和公式的理解，提升灵活应用公式解决问题的能力和学生的数学运算素养.
.
二、理解公式，实际运用
例2（教科书第23页例8）：某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，问第1排应安排多少个座位.
师生活动：教师引导学生分析，将实际问题转化成等差数列的求和问题，即该报告厅从第1排到第20排的座位数依次构成一个公差为2的等差数列 ，从而由 ，即可求得该等差数列的首项 ，也就是第1排的座位数.
二、理解公式，实际运用
变式探究1：《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有女善织，日益攻疾.初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布.第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺，问：每天多织多少布？”.已知1匹=4丈，1丈=10尺，计算该女子每天多织的布为多少尺？
师生活动：教师引导学生将该数学史问题转化成等差数列的求和问题，即该女子每天织布的数量从第1天起依次构成一个首项为5的等差数列 ，从而利用前30项的和 ，即可求出该数列的公差，也就是该女子每天多织的布.
设计意图：通过让学生解决现实世界和数学史中的“实际问题”，让学生体会用等差数列的前n项和公式解决实际问题的基本思路和方法.
二、理解公式，实际运用
追问：从例2及变式探究中，你能总结一下建立数列模型解决实际问题的基本步骤吗？
师生活动：教师引导学生归纳建立数列模型的基本步骤.
设计意图：让学生进一步体会建立数列模型解决实际问题的思想方法，发展数学建模素养.
是否符合实际
解决数学问题
化归与转化
抽象概括推广
现实问题情境
求解数列模型
建立数列模型
检验数列模型
三、掌握公式，综合运用
师生活动：教师引导学生分析，学生独立选用两种方法解题，并进行展示交流.
例3（教科书第23页例9）：已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，公差 ，则 是否存在最大值？若存在，求 的最大值及取得最大值时 的值；若不存在，请说明理由.
思路1：利用数列的单调性.由 可知 是递减数列，且存在正整数 ，使得当 时， ， 递减；这样就把求 的最大值转化为求 的所有正数项的和.
思路2：利用数列与二次函数的关系.等差数列的前 项和公式可写成
所以当 时， 可以看成二次函数 当 时的函数值.
三、掌握公式，综合运用
追问：当 时， 有最大值吗？你能利用函数思想，研究一下更一般的等差数列前 项和的最大（小）值问题吗？
师生活动：教师引导学生将两种解法拓展到一般情形，并归纳出如下结论：
（1） 是否存在最大值，可利用公式（3），结合数列的图象得出结论；
（2）如果 有最大值，对应的项数 是一个还是两个值，关键要看数列 中是否有一项为0.若有，则使得 取得最大值的 有两个值；否则， 只有一个值.
利用同样的思想方法，可以研究当公差 时，等差数列 的最小值问题.
设计意图：通过综合运用求和公式和函数的思想方法解决问题，探讨等差数列单调性与其最值的关系，进一步强化等差数列的前 项和与一元二次函数的联系，提高学生对数列与函数的共性与差异的认识.
三、掌握公式，综合运用
变式探究2：数列 的前 项和为 ，其中 为常数，且 任取若干组 ，在电子表格中计算 的值，观察数列 的特点，研究它是怎样的一个数列，并证明你的结论.
师生活动：教师让学生采用分组的方式动手操作实验.
第1组：选择 的情形，如： ，
第2组：选择 的情形，
利用电子表格计算出
A B C D
1 1 3 3
2 2 8 5
3 0 15 7
4 24 9
5 35 11
追问1：在上述操作过程中得到的数列分别是什么数列？
三、掌握公式，综合运用
师生活动：教师引导学生就不同的 的值，对表格中的数据进行观察，形成猜想，得出结论：
（1）当 时，数列 是以 为公差， 为首项的等差数列；
（2）当 时，数列 是从第2项起后续各项组成一个等差数列.
追问2：通过上述探究，你能得出更一般的结论吗？
三、掌握公式，综合运用
师生活动：教师引导学生借助电子表格，通过分组实验，得到如下结论：
（1）一个数列是等差数列的充要条件是它的前 项和是关于 的缺少常数项的二次式
，且 ；
（2）如果一个数列的前 项和公式是关于 的常数项不为0的二次式
那么这个数列从第2项起后续各项组成一个等差数列，且
设计意图：设计用电子表格进行探究活动有两个目的，一是让学生能从数的角度进一步认识等差数列前 项和公式的函数特征，加深理解求和公式与通项公式的关系；二是为信息技术工具在数列研究中的应用提供方法.
教科书第24页练习1-5题.
四、课堂练习
师生活动：学生独立解答完成，教师引导学生交流，师生互动补充完善
设计意图：检验学生对等差数列前 项和公式的了解、理解和掌握情况.
五、课堂小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：
（1）我们是如何探讨等差数列前 项和公式的应用的？
（2）你能归纳一下问题的基本类型和解决问题的思想方法吗
师生活动：先让学生独立思考，然后请学生回答，教师适时点评并补充完善.
六、作业布置
设计意图：考查学生运用等差数列的前 项和公式解决问题的能力.
1、必做练习：教科书习题4.2第1、3、6、7、8、9、11题.
2、选做练习：设 为等差数列 的前 项和，已知
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 ，求使得 的 的取值范围.
谢 谢
4.2.2 等差数列的前n项和公式
（第2课时）
人教A版2019 选择性必修第二册
目
录
教材分析
学情分析
教学目标
教学过程
教学重点
说教材
说目标
说教学
公式的应用
等差数列的前n项和公式
灵活应用
实际应用
综合运用
内容解析
1.内容的本质
运算方法是本单元内容的一条认知主线
2.知识的上下位关系
承上启下是本单元内容的一个显著特点
3.内容蕴含的数学思想和方法
思想方法是本单元内容的又一认知主线
4.内容的育人价值
文化育人是本单元内容的又一个显著特点
认知基础
等差数列前n项和公式的应用，其认知基础是等差数列的定义、性质、等差数列前n项和公式等.
认知困难
在具体的问题情境中，特别是在具有数学史料和实际应用的问题情境下，运用等差数列的前n项和公式解决相应的问题.
1.掌握等差数列前n项和公式，学生灵活选择等差数列前n项和公式.
2.能较熟练运用等差数列前n项和公式解决一些简单的数学问题和实际问题，提升数学建模素养.
3.通过具体情境活动，体会化归与转化、分类与整合和数形结合等思想方法，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力.
教学重点
教学难点
等差数列的前n项和公式的应用
综合与灵活运用等差数列的前n项和公式
教学流程：本课时按照三个教学环节展开，即“巩固公式，灵活运用——理解公式，实际运用——掌握公式，综合运用”。其教学流程图如下：
一、巩固公式，灵活运用
设计意图：通过明确三种形式求和公式的适用范围，有利于学生理解公式的变化，认识变化的本质，让学生能在后续应用中根据不同的条件选用恰当的公式，实现举一反三.
引导语：等差数列前 项和公式有哪几种形式？你能说出它们各自的适用范围吗？
师生活动：教师引导学生复习回顾等差数列前 项和公式的三种形式：
再让学生说出在什么条件选用哪个公式更合适.
一、巩固公式，灵活运用
例1：设 是等差数列 的前 项和.
若 ，求 的值；
师生活动：教师先让学生分组合作讨论，再让学生分组展示交流.
对于该问，引导学生尝试多种解题思路，如基本量法、待定系数法、性质应用法等，灵活选用前 项和公式的不同形式进行分析、求解和探究.
设计意图：让学生尝试一题多解，加深学生对等差数列前 项和公式的理解，提升灵活应用公式解决问题的能力和学生的数学运算素养.
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二、理解公式，实际运用
例2（教科书第23页例8）：某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，问第1排应安排多少个座位.
师生活动：教师引导学生分析，将实际问题转化成等差数列的求和问题，即该报告厅从第1排到第20排的座位数依次构成一个公差为2的等差数列 ，从而由 ，即可求得该等差数列的首项 ，也就是第1排的座位数.
二、理解公式，实际运用
变式探究1：《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有女善织，日益攻疾.初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布.第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺，问：每天多织多少布？”.已知1匹=4丈，1丈=10尺，计算该女子每天多织的布为多少尺？
师生活动：教师引导学生将该数学史问题转化成等差数列的求和问题，即该女子每天织布的数量从第1天起依次构成一个首项为5的等差数列 ，从而利用前30项的和 ，即可求出该数列的公差，也就是该女子每天多织的布.
设计意图：通过让学生解决现实世界和数学史中的“实际问题”，让学生体会用等差数列的前n项和公式解决实际问题的基本思路和方法.
二、理解公式，实际运用
追问：从例2及变式探究中，你能总结一下建立数列模型解决实际问题的基本步骤吗？
师生活动：教师引导学生归纳建立数列模型的基本步骤.
设计意图：让学生进一步体会建立数列模型解决实际问题的思想方法，发展数学建模素养.
是否符合实际
解决数学问题
化归与转化
抽象概括推广
现实问题情境
求解数列模型
建立数列模型
检验数列模型
三、掌握公式，综合运用
师生活动：教师引导学生分析，学生独立选用两种方法解题，并进行展示交流.
例3（教科书第23页例9）：已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，公差 ，则 是否存在最大值？若存在，求 的最大值及取得最大值时 的值；若不存在，请说明理由.
思路1：利用数列的单调性.由 可知 是递减数列，且存在正整数 ，使得当 时， ， 递减；这样就把求 的最大值转化为求 的所有正数项的和.
思路2：利用数列与二次函数的关系.等差数列的前 项和公式可写成
所以当 时， 可以看成二次函数 当 时的函数值.
三、掌握公式，综合运用
追问：当 时， 有最大值吗？你能利用函数思想，研究一下更一般的等差数列前 项和的最大（小）值问题吗？
师生活动：教师引导学生将两种解法拓展到一般情形，并归纳出如下结论：
（1） 是否存在最大值，可利用公式（3），结合数列的图象得出结论；
（2）如果 有最大值，对应的项数 是一个还是两个值，关键要看数列 中是否有一项为0.若有，则使得 取得最大值的 有两个值；否则， 只有一个值.
利用同样的思想方法，可以研究当公差 时，等差数列 的最小值问题.
设计意图：通过综合运用求和公式和函数的思想方法解决问题，探讨等差数列单调性与其最值的关系，进一步强化等差数列的前 项和与一元二次函数的联系，提高学生对数列与函数的共性与差异的认识.
三、掌握公式，综合运用
变式探究2：数列 的前 项和为 ，其中 为常数，且 任取若干组 ，在电子表格中计算 的值，观察数列 的特点，研究它是怎样的一个数列，并证明你的结论.
师生活动：教师让学生采用分组的方式动手操作实验.
第1组：选择 的情形，如： ，
第2组：选择 的情形，
利用电子表格计算出
A B C D
1 1 3 3
2 2 8 5
3 0 15 7
4 24 9
5 35 11
追问1：在上述操作过程中得到的数列分别是什么数列？
三、掌握公式，综合运用
师生活动：教师引导学生就不同的 的值，对表格中的数据进行观察，形成猜想，得出结论：
（1）当 时，数列 是以 为公差， 为首项的等差数列；
（2）当 时，数列 是从第2项起后续各项组成一个等差数列.
追问2：通过上述探究，你能得出更一般的结论吗？
三、掌握公式，综合运用
师生活动：教师引导学生借助电子表格，通过分组实验，得到如下结论：
（1）一个数列是等差数列的充要条件是它的前 项和是关于 的缺少常数项的二次式
，且 ；
（2）如果一个数列的前 项和公式是关于 的常数项不为0的二次式
那么这个数列从第2项起后续各项组成一个等差数列，且
设计意图：设计用电子表格进行探究活动有两个目的，一是让学生能从数的角度进一步认识等差数列前 项和公式的函数特征，加深理解求和公式与通项公式的关系；二是为信息技术工具在数列研究中的应用提供方法.
教科书第24页练习1-5题.
四、课堂练习
师生活动：学生独立解答完成，教师引导学生交流，师生互动补充完善
设计意图：检验学生对等差数列前 项和公式的了解、理解和掌握情况.
五、课堂小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：
（1）我们是如何探讨等差数列前 项和公式的应用的？
（2）你能归纳一下问题的基本类型和解决问题的思想方法吗
师生活动：先让学生独立思考，然后请学生回答，教师适时点评并补充完善.
六、作业布置
设计意图：考查学生运用等差数列的前 项和公式解决问题的能力.
1、必做练习：教科书习题4.2第1、3、6、7、8、9、11题.
2、选做练习：设 为等差数列 的前 项和，已知
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 ，求使得 的 的取值范围.
谢 谢