6.2.3向量的数乘运算 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
§6.2.3 向量的数乘运算
6.2 平面向量的运算
温故知新
1.向量的加法运算：
①三角形法则：
②平行四边形法则：
2.向量的减法运算：
首尾相接，首指向尾
起点相同，对角为和
思考：向量有乘法运算吗？怎么定义呢？运算结果是什么量呢？
共起点，连终点，指被减
问题引入
我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和，
并请同学们指出相加后和的长度与方向有什么变化
这些变化与那些因素有关
如图，。
类比数的乘法，我们把 记作 ，即。
显然的方向与的方向相同，
的长度是的长度的倍，即
类似的，。
我们把记作 ，即。
显然的方向与的方向相反，
的长度是的长度的倍，即
生成新知
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作。
定义
长度：
方向：当时，的方向与的方向相同；
当时， 的方向与的方向相反；
当时，
规定
注意
1.向量数乘的结果仍然是向量；
2.实数和向量可以相乘，但不能相加减， ， 无意义;
向量数乘的几何意义是什么
再探新知
探究：向量数乘运算的几何意义是什么
如右图，在向量数乘中，
可视为将向量的长度伸长 () 或缩短 ()的倍数。
的符号表示能够改变向量的方向，
当时，的方向与的方向相同；
当时， 的方向与的方向相反；
当时， （若， 也成立）
思考：你对零向量、相反向量有什么新的认识
相反向量： ；
零向量： 或
例5 计算：
（1）；
（2）；
（3）.
例5 计算：
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）原式；
（2）原式 ；
（3）原式 .
应用新知
例1.把下列小题中的向量表示为向量的数乘形式。





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作者：湛江市第五中学钟景荣
2. 化简：





知识讲解
（１）向量得数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
（２）向量也可以通过列方程来解—把所求向量当作未知数，利用解代方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
总结
反过来，
反过来，
向量共线定理：
向量（ ≠ ）共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使
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作者：湛江市第五中学钟景荣
向量共线定理：
(2)当时, 若, 则对任意实数λ, 都有=λ, 这与有唯一一个实数λ相矛盾.
与共线
向量与共线充要条件是：
(1)当=时, 若≠ , 则不存在实数λ, 使=λ, 但此时与共线;
当λ>0时，与同向共线；当λ<0时，与反向共线.
存在唯一一个实数λ,使得=λ.
向量共线定理中为什么规定
若与不共线,且λ=, 则必有λ==0.
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1. 判断下列各小题中的向量与是否共线：
解：(1)因为,
作者：湛江市第五中学钟景荣
所以与共线.
(1) , ;
(2) , .
(2)因为,
所以与共线.
与共线
A
B
C
D
E
例7.如图，已知任意两个向量 ，试作
你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
A
B
C
O
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过A作直线AC,
解：分别作, , ,
=+2-(+)=,
事实上, 因为
所以=2 ,
观察图6.2-17(1)(2)发现, 不论向量, 怎样变化, 点B始终在直线AC上, 猜想A, B, C三点共线.
=
=+3-(+)=2,
=
因此A, B, C三点共线.
向量共线定理主要用来证明两条直线平行, 三点共线等问题.
例7.如图，已知任意两个向量 ，试作
你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
A
B
O
C
且有公共点Ａ
已知两个非零向量
不共线，如果
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与不在同一直线上
直线AB∥直线CD
2. 证明 三点共线: =λ
向量共线定理
与共线
向量与共线充要条件是：
存在唯一一个实数λ,
当λ>0时，与共线同向；当λ<0时，与共线反向.
定理的应用：
1. 证明 向量共线
3. 证明 两直线平行:
=λ //
使得=λ.
A, B, C三点共线
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例8 已知, 是两个不共线的向量, 向量, 共线, 求实数t的值.
解：由, 不共线, 易知向量为非零向量.
由向量, 共线,
否则, 不妨设, 则= ,由两个向量共线的充要条件知, 共线, 这与已知条件相矛盾.
可知存在实数λ, 使得
=
即=.
由于, 不共线, 必有==0 .
对于两个非零向量, 只有共线, 它们的和或差才有可能为零向量.
因此, 当向量, 共线时, .
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由
解得 .
解：由, 不共线, 易知向量为非零向量.
由向量, 共线,
否则, 不妨设, 则= ,由两个向量共线的充要条件知, 共线, 这与已知条件相矛盾.
可知存在实数λ, 使得
=
即=.
由于, 不共线, 必有==0 .
对于两个非零向量, 只有共线, 它们的和或差才有可能为零向量.
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作者：湛江市第五中学钟景荣
∵与是共线向量,
∴存在λ∈R,使得.
∴
所以实数k的值是-4.
解得
即2+k=λ(-2),
∴ 2+k=λ-2λ ,
3. 已知, 是两个不共线的向量, =-2, =2+k,
若与是共线向量, 求实数k的值.
解：由已知得,
即.
∴
解得k=-4.
所以实数k的值是-4.