6.4.3.1余弦定理 课件（共15张PPT）

6.4.3
余弦定理
第六章
学习目标
1.会用向量方法证明余弦定理（重点）；
2.会用余弦定理解三角形（难点）；
3.运用余弦定理判断三角形的形状（难点）.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、图形运算
三角形全等的判定条件：SSS，SAS，ASA，AAS，HL
也就是说两个三角，符合以上的边角相等关系，那么这两个三角形就完全相等
复习旧知
若一个三角形已知一组边及其夹角SAS，那么这个三角形是唯一确定的，也就是其它边和角可以由这组边和角表示
探究新知
问题：在 ????????????中，三个角????，????，????所对的边分别是????，????，????，怎样用????，????和????表示????？
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平面图形转化为向量
探究新知
余弦定理
如图，设????????=????，????????=????，????????=????，那么????=?????????.
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由向量的数量积运算性质，可得：
?????????=????2
从而可得到
????2=?????????=???????????????????
=?????????+??????????2?????????
=????2+????2?2????????cos????.
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所以????2=????2+????2?2????????cos????
同理可得
????2=????2+????2?2????????cos????
????2=????2+????2?2????????cos????
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探究新知
三角形三边关系重要定理
余弦定理
余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
????2=????2+????2?2????????cos????
????2=????2+????2?2????????cos????
????2=????2+????2?2????????cos????
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利用余弦定理，可解决三角形中已知两边和其夹角，求第三边的问题
余弦定理推论
由余弦定理，可以得到如下推论：
????????????????=????2+????2?????22????????
????????????????=????2+????2?????22????????
????????????????=????2+????2?????22????????
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练习1.在▲????????????中，已知????=3，????=3，????=23，求????和????的大小.
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例题演练
1.在 ????????????中，????=4，????=3，????=????6，则????=( )
2.在 ????????????中，????=5，????=2，????=2????3，则????=( )
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思考：余弦定理运用的前提条件，是否只能是已知两边及其夹角，才能解决求三角形其他边与角？还能不能是其他的情况？有哪些已知条件下也能运用余弦定理？
考点一：已知两边一角解三角形
三角形的三个角????，????，????和它们的对边????，????，????叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
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练习2.在▲????????????中，已知????=5，????=15，????=30°，解这个三角形.
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习题解析
解：由余弦定理????2=????2+????2?2????????????????????????，
得（5）2=????2+(15)2?2????×15×????????????30°，
即????2?35+10=0，
解得????=5或????=25.
当????=5时，????=30°，????=120°；
当????=25时，由????2=????2+????2，得????=90°，????=60°.
综上，????=5，????=30°，????=120°或????=25，????=90°，????=60°.
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练习2.在▲????????????中，已知????=5，????=15，????=30°，解这个三角形.
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跟踪训练
考点二：已知三边解三角形
练习3.在▲????????????中，已知????=26，????=6+23，????=43，求????，????，????的大小.
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练习4.在▲????????????中，已知????=7，????=3，????=5，求最大角的大小.
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考点三：判断三角形的形状
若▲????????????中，????为最大角，则
▲????????????为锐角三角形?????2▲????????????为直角三角形?????2=????2+????2，
▲????????????为钝角三角形?????2>????2+????2.
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练习5.在▲????????????中，若????????????????????+????????????????????=????+????，试判断该三角形的形状.
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练习5.在▲????????????中，若????????????????????+????????????????????=????+????，试判断该三角形的形状.
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解：由余弦定理的推论，得
????????????????????+????????????????????=????×????2+????2?????22????????+????×????2+????2?????22????????
=????2+????2?????22????+????2+????2?????22????=????+????.
所以????(????2+????2?????2)+????(????2+????2?????2)=2????????(????+????)，
即????2(????+????)?????2(????+????)?????2(????+????)=0，
化简得????2=????2+????2，
所以????为直角，▲????????????为直角三角形.
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练习6.在▲????????????中，若????????????????????=????????????????????，判断该三角形的形状.
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考点三：加深训练
解：由余弦定理的推论，得
????×????2+????2?????22????????=????×????2+????2?????22????????
????2(????2+????2?????2)=????2(????2+????2?????2)
(????2?????2)(????2?????2?????2)=0
所以????=????或????2=????2+????2，
即▲????????????为等腰三角形或直角三角形.
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课堂小结
1.余弦定理
2.余弦定理的推论
3.余弦定理解三角形的前提条件
4.判断三角形形状的三边关系式