6.2.3向量的数乘运算 课件（共17张PPT）

第6章 平面向量及其应用
6.2.3 向量的数乘运算
教学目标
1、理解向量数乘运算及其几何意义（重点）
2、掌握向量数乘运算的运算律，理解向量的线性运算（难点）
3、向量平面向量共线定理及应用（难点）
温故知新
1、三角形法则：
首尾相连，首指向尾
适用于所有向量加法
2、平行四边形法则：
起点相同，对角为和
适用于不共线向量
向量加法运算法则
3、相反向量
大小相等，方向相反
4、向量减法运算法则
共起点，连终点，指被减
适用于所有向量加法
“λ”的由来
失意
无奈
孤独
低调
λ
提问
类比引入
竟然数的运算有加减乘除运算，那么向量咱们学了加减法，是否也有对应的乘法和除法运算？
????+????+????记作 ????????，
(?????)+(?????)+(?????)记作?????????
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显然????????的方向与????的方向相同，
???????? 的长度是????的长度的????倍，
即????????=????????，同样的?????????的长度，也是为????的长度的????倍，即?????????=????????
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向量的数乘定义
规定实数λ与向量????的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ????.
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生成新知
Ⅰ. ????????长度：????????=????????
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Ⅱ. ????????方向：①????>0时，与????方向相同
②????<0时，与????方向相反
③????=0时，????????=0；
④????=?1时，????????=(?1)????=?????
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获得新知
向量的数乘运算律
⑴????（????????)=(????????)????;⑵(????+????)????=????????+????????;
⑶????(????±????)=????????±????????;⑷?????????=?(????????)=????(?????);
⑸????(????1????±????2????)=????????1????±????????2????.
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当????，????，????????，????????为实数时，有：
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向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向量。
例题解析
例1.计算
⑴（?3）×4????; ⑵3(????+????)?2(?????????)?????;
⑶(2????+3?????????)?(3?????2????+????).
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解：⑴原式=（?3×4）????=?12????;
⑵原式=3????+3?????2????+2?????????=5????;
⑶原式=2????+3??????????3????+2?????????
=?????+5?????2????.
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趁热打铁
练习1.计算
⑴5（3?????????）+4(2?????3????);
⑵3(2????+?????3????)?2(?????+?????????);
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典例解析
例2.如图， ABCD的两条对角线相交于点M，且????????=????，????????=????，用????，????表示????????，????????，????????，????????.
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再探新知
问题：实数与向量的积与原向量之间有什么位置关系？
结论：
实数与原向量的积与原向量共线
注意：当λ=0时，λ????=0，0与任意向量共线
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收获新知
由此，我们得到，对于向量????(????≠0)和????，如果有一个实数λ，使????=????????，那么由向量数乘的定义，可知????与????共线；
反之，当????与????共线时，若????≠0，则必然有实数λ，使得????=????????成立.
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向量共线定理
向量????(????≠0)与????共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使????=????????.
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典例解析
例3. 如图已知任意两个非零向量????，????，试作????????=????+????，????????=????+2????，????????=????+3????.猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
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解析，具体的作图过程如下：
课堂小结
1.向量的数乘定义
规定实数λ与向量????的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ????.
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λ????与????共线
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2.向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向量。
3.向量共线定理
向量????(????≠0)
????共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ， 使????=????????.
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