2022- 2023 学年度第二学期
九年级数学科第一次核心素养测试试卷
一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1.有4,
9
, 3,0四个数，其中最小的是（ ）
学校 2
9 第 9 题 第 10 题 第 12 题 第 14 题 第 15 题
A．4 B． C． 32 D．0 10.如图，二次函数 y ax2 bx c ( a 0)图象的顶点为D，其图象与 x轴的交点A、
2.某景区小长假期间共接待游客238000人次，用科学记数法可将238000表示（ ） B的横坐标分别为 1和3，则下列结论中：（1） 2a b 0，（2）a b c 0，（3）
A． 238 104 B． 23.8 104 C． 2.38 105 D．0.238 104 a 1密 3a c 0，（4）当 时，△ABD是等腰直角三角形，正确的个数是( )3.下列运算中，正确的是（ ） 2
A． x3 x3
3
x6 B． x2 x5 C． 3x2 2 2x x D． x y x2 y2 A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4 个
原班级 4.已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
二、填空题（本大题 5 小题，每小题 3分，共 15 分）
密 11.把抛物线 y x2 1向左平移 2 个单位，所得新抛物线的表达式是________．
A． B． C． D． 12.如图，路灯距离地面 8米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部（点 O）20 米的 A
封 处，则小明的影子 AM 长为 米．
5.观察下表，一元二次方程 x2 x 1.1 0的解的范围是（ ） 13.不透明的布袋中有红 黄 蓝 3 种只是颜色不同的钢笔各 1 支，先从中摸出 1 支，
记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再从中随机摸出 1 支，记录下颜色，那么这
线 x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.7 1.8 1.9 两次摸出的钢笔为红色 黄色各一支的概率为_________．
原座号
内 x
2 x 1.1 0.99 0.86 0.71 0.54 0.35 0.09 0.34 0.61 14.如图，PA，PB是 O的切线，A，B为切点，AC是 O的直径，若 BAC 25 ，
则 P的度数是_________．
封 8
不A．1.4 x 1.5 B．1.5 x 1.6 C．1.6 x 1.7 D．1.7 x 1.8 15.如图，A 是双曲线 y x 0 上的一点，点 C 是 OA 的中点，过点 C 作 y 轴的垂线，x
6.下列说法中，正确的是（ ）
垂足为 D，交双曲线于点 B，则△ABD 的面积是___________．
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
得
B．对角线相等的四边形是矩形
三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
答 16.（1）解方程： (2x 3)
2 (3x 2) 2
姓名 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
2
7.在边长相等的小正方形组成的网格中，点 A,B,C都在格点上，那么 0 1 （2）计算： 12 1 tan 60 3 3 题 cos BAC 2 的值为（ ）
5 2 5 1 1 2 2
A． B． C． D． 第 7 题 17.已知关于 x 的一元二次方程
x 2k 1 x k 1 0有两个不等实数根x1，x2．
5 5 2 3 (1)求 k 的取值范围；
a
8.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝ 在 (2)若 x1x2 5，求 k 的值．
x
18.如图，平行四边形 ABCD 对角线 AC， BD相交于点 O，过点 D作DE∥ AC且
线同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） DE OC，连接CE，OE，OE CD．
(1)求证：平行四边形 ABCD 是菱形；
A． B． C． D． (2)若 AB 4， ABC 60 ，求 AE的长．
9. 如图，在 ABC中，CA CB 4, BAC ，将 ABC绕点 A 逆时针旋转 2 ，得
到 AB C ，连接B C并延长交 AB 于点 D，当 B D AB时， B B 的长是（ ）
2 3 π 4 3 8 3A． B． π C． π 10 3D． π
3 3 9 9
四、解答题（二）（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 五、解答题（三）（本大题 2 小题，每小题 12 分，共 24 分）
19.为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪 22.如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 E 是⊙O上异于 A，B 的点，点 F 是弧 BE 的中点，
纸”、D“书法”，为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进 连接 AE，AF，BF，过点 F作 FC⊥AE 交 AE 的延长线于点 C，交 AB 的延长线于点 D，
行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： ∠ADC 的平分线 DG 交 AF 于点 G，交 FB 于点 H．
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)求 sin∠FHG 的值；
(3)若 GH＝ 4 2，HB＝2，求⊙O 的直径．
(1)本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
(2)C 组所对应的扇形圆心角为_______度；
(3)若该校共有学生 1400 人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；
1
(4)现选出了 4 名跳绳成绩最好的学生，其中有 1 名男生和 3 名女生．要从这 4 名学 223.如图，抛物线 y x mx n与 x 轴交于 A，B两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的
生中任意抽取 2 名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到 1 名男生 2
与 1 名女生的概率． 对称轴交 x 轴于点 D，已知 A 4,0 ,C 0, 2 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点 E 是线段 AC上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E
运动到什么位置时，四边形CDAF的面积最大 求出四边形CDAF的最大面积及此时 E
20.直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为 40 元的小商品 点的坐标；
进行直播销售，如果按每件 60 元销售，每天可卖出 20 件．通过市场调查发现，每件 (3)在 y 轴上是否存在点 P，使得 OAP OAC 60 ？若存在，求出 P 点的坐标，
小商品售价每降低 5 元，日销售量增加 10 件． 若不存在，请说明理由．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件 62.5 元．为提高市场竞争
力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中
的售价，则该商品至少需打几折销售？
21.如图，直线 y kx 3与 x轴、 y轴分别交于点B、C，与反比例函数 y m 交于点
x
A、D．过D作DE x轴于 E，连接OA,OD，若 A 2,n ， S OAB : S ODE 1: 2
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点C的坐标；
m
(3)直接写出关于 x不等式： kx 3的解集．
x
密 封 线 内 不 得 答 题九年级数学科第一次核心素养测试参考答案
一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1.B 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C 7.A 8.D 9.B 10.C
二、填空题（本大题 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11. y x 2 2 2 1 12.5 13. 9 14.50 15.4
三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 8分，共 24 分）
16.解:(1)∵ (2x 3) 2 (3x 2) 2
∴ 2x 3 3x 2或 2x 3 3x 2 .....2 分
解得 x1 1， x2 1． ......4 分
2
(2)原式 1 3 1 1 2
3 3 4
1 3 .....8 分
17.解：（1） 关于 x 2的一元二次方程 x 2k 1 x k 2 1 0有两个不等实数根，
2 3此方程根的判别式 2k 1 4 k 2 1 0，解得 k ． .....4 分4
（2）由题意得： x1x2 k
2 1 5，解得 k 2或 k 2， .....6 分
3
由（1）已得： k ，则 k的值为 2． .....8 分
4
18.（1）证明：∵DE∥ AC，DE OC，
∴四边形OCED是平行四边形． .....1 分
∵OE CD，∴平行四边形OCED是矩形，
∴ COD 90 ，∴ AC BD，∴平行四边形 ABCD 是菱形； .....4 分
（2）解：∵四边形 ABCD是菱形，
∴OA OC，CD AB BC 4， AC BD， .....5 分
∵ ABC 60 ，∴ ABC是等边三角形，
∴ AC AB 4，∴OA OC 2， .....6 分
在 Rt△OCD中，由勾股定理得：OD CD2 OC2 4 2 2 2 2 3，
由（1）可知，四边形OCED是矩形，
∴CE OD 2 3， OCE 90 ，
∴在Rt ACE中， AE AC2 CE2 42 (2 3)2 2 7 .....8 分
四、解答题（二）（本大题 3 小题，每小题 9分，共 27 分）
19. 解：（1）本次调查总人数为4 10% 40（名），.....1 分
C 组人数为 40 4 16 12 8（名）.....2 分
补全图形如下： .....3 分
8
（2） 360 72 ，故答案为：72；.....4 分
40
（3）1400
16
560（人），故答案为：560； .....5 分
40
（4）画树状图如下：
.....7 分
共有 12 种等可能的结果，其中选出的 2 名学生恰好是 1 名男生与 1 名女生的结果共有 6 种，
6 1
∴选出的 2名学生恰好是 1 名男生与 1名女生的概率为 ．.....9 分
12 2
20.解：（1）设每件的售价定为 x 元，
由题意得： (
60 x
10 20) (x 40) (60 40) 20， .....3 分
5
解得： x1 50，x2 60(舍)，
答：每件售价为 50 元； .....6 分
m
（2）设该商品至少打 m 折，根据题意得： 62.5 50 ，
10
解得：m 8，
答：至少打八折销售价格不超过 50 元． .....9 分
21.解：（1）把 x 0代入 y kx 3得， y 3，∴ B 0,3 ，
∵ A
1
2, n ，∴ OAB的面积 2 3 3，
2
∵ S OAB :S ODE 1: 2，∴ S ODE 6，
1
∵DE
m
x，点D在反比例函数 y 的图象上，∴ m 6，
x 2
m 12 y 12∴ ，∵m 0，∴m 12，∴反比例函数关系式为： ； .....4 分
x
（2）把 A 2, n y
12 12
代入 得： n 6，∴ A 2,6 ，
x 2
把 A 2,6 代入 y kx 3 3得：6 2k 3，∴ k ，
2
3
∴一次函数关系式为： y x 3，
2
把 y 0 y
3 3
代入 x 3中得：0 x 3
2 2
∴ x 2，∴C 2,0 ； .....7 分
3 12
（3）∵一次函数和反比例函数相交，∴ x 3 ；
2 x
∴ x1 4, x2 2∴ y1 3, y2 6
∴一次函数和反比例函数的交点 A 2,6 ,D 4, 3 ，
12 3
由图可知 x 3时， 2 x 0或 x 4，. ....9 分
x 2
五、解答题（三）（本大题 2 小题，每小题 12 分，共 24 分）
22.（1）证明：连接 OF．
∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，
∵ E F F B, ∴∠CAF＝∠FAB，
∴∠CAF＝∠AFO，∴OF∥AC，.....3 分
∵AC⊥CD，∴OF⊥CD，
∵OF 是半径，∴CD 是⊙O的切线． .....4 分
（2）∵AB 是直径，∴∠AFB＝90°，
∵OF⊥CD，∴∠OFD＝∠AFB＝90°，∴∠AFO＝∠DFB，
∵∠OAF＝∠OFA，∴∠DFB＝∠OAF，
∵GD 平分∠ADF，∴∠ADG＝∠FDG，
∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，
2
∴∠FGH＝∠FHG＝45°，∴sin∠FHG= sin 45° .....7 分
2
（3）解：过点 H 作 HM⊥DF 于点 M，HN⊥AD 于点 N．
∵HD 平分∠ADF，∴HM＝HN，S△DHF ∶S△DHB= FH∶HB=DF ∶DB
∵△FGH 是等腰直角三角形，GH＝4 2
DF 4
∴FH＝FG＝4，∴ 2 设 DB＝k，DF＝2k，
DB 2
∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，∴△DFB∽△DAF，
2
∴DF ＝DB DA，∴AD＝4k，
FG DF 1
∵GD 平分∠ADF ∴ ∴AG＝8，
AG AD 2
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
AB AF 2 BF 2 122 622 6 5∴⊙O的直径为 6 5 .....12 分
8 4m n 0 m 3
23.解:（1）将 A( 4，0)，C(0, 2)
代入抛物线表达式得 n 2 ，解得
2 ，
n 2
1 2 3
抛物线表达式为 y x x 2； .....2 分
2 2
3
3
（2）∵抛物线的对称轴为直线 x 21 ，∴D(
3
,0)，
2 B（1，0）
，
2 2
2
设直线 AC的函数表达式为 y＝kx＋b，
4k b 0 k 1
将 A,C点坐标代入得 b ，解得 2 ， 2
b 2
∴直线 AC的函数表达式为 y
1
x 2，.....4 分
2
设 E(x,
1
x 2) ( 4 x 0)，则 F (x,
1 x 2 3 x 2)，
2 2 2
1 1
EF x 2 ( x2
3
∴ x 2)
1 2
＝ x 2x，
2 2 2 2
S 1 1∴ ACF 4 x
2 2x ＝ 22 2 x 4x
，
1 3
四边形CDAF的面积 S ACF S ACD x2 4x＋ 2 2
4
2
x2 5 2 13 4x x 2 .....6 分
2 2
当 x
13
2时，四边形CDAF的面积最大，最大值为 ，.....7 分
2
此时 E点坐标为(－2,－1)； .....8 分
（3）P 点的坐标为 (0, 32 20 3) 或 (0,32 20 3)
①作 PG AC于点 G， OAP＋ OAC＝60 ，
设 P(0,n)， PAG＝60 3，PG PA 3， PA n 2 16， PG n 2 16， AC 42 22 2 5，
2 2
1 1 1 3 1
由△PAC的面积，得 AC PG PC OA，即 2 5 n2 16 4 n 2 ，2 2 2 2 2
化简，得 n2＋64n－176＝0，解得 n1 32 20 3， n2 32 20 3（不符合题意，舍去），
∴ P(0, 32 20 3) ，
②∵点 P 与点 P 关于原点 O对称， OP OP 32 20 3 ，∴ P (0,32 20 3) ，
综上所述：P 点的坐标为 (0, 32 20 3)或 (0,32 20 3) ）.....12 分
