4.2.2等差数列的应用 第2课时 说课课件（共28张PPT）
文档属性
| 名称 | 4.2.2等差数列的应用 第2课时 说课课件（共28张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-30 08:03:32 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
第4课时 等差数列的应用
人教A版普通高中教科书数学选择性必修第二册 第四章《数列》 第二单元《等差数列》
等差数列的应用
一、教材内容分析---（一）教材地位和作用
新人教版A版选择性必修第二册教材
第四章第二单元
一、教材内容分析---（一）教材地位和作用
一、教材内容分析---（二）育人价值
1.在本节课中习得的方法有助于等比数列的并列结合学习；
2.在探究等差数列前n项和公式与二次函数关系的过程中采用的观察、归纳、猜想、证明的思维方式可以迁移，帮助学生学会用数学的眼光看问题,从特殊到一般，抽象概括问题，形成数学模型，有助于发展学生数学抽象、推理、数学运算等核心素养；
3.公式的运用中涉及的函数思想、化归思想﹑分类思想，对培育数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养具备独特的育人价值.
二、教学目标分析---（一）课程标准
课程目标：
1.理解等差数列通项公式与前n项和公式的关系；
2.能在具体的问题情境重，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。
二、教学目标分析---（二）学情分析
已有知识：函数的基本性质、等差数列的定义、通项公式及
其性质、等差数列的前n项和公式
探究方法：经历了研究函数的一般路径
能力水平：学生已经具备一定的抽象、推理、类比等能力
障碍分析：公式的灵活应用能力不足、从实际情境中建立数
学模型的能力还有待提升.
二、教学目标分析---（三）教学目标和重、难点
教学目标：
（1）通过观察与联系，能够说明等差数列前n项和公式的代数特征、解释等差数列的通项公式与前n项和公式的内在联系，体会转化与化归纳的数学思想；
（2）通过数学问题情境，探索等差数学前n项和公式与二次函数的共性与区别，能够从函数角度解决求数列前n项和的最值问题，感受数学的整体性，体会函数思想、数形结合等数学思想方法，发展学生逻辑推理和数学运算素养；
（3）能将实际问题提炼成等差数列模型，识别等差数列的基本量，利用通项公式和前n项和公式解决问题，进一步体会转化与化归、方程思想，培育学生数学建模素养。
教学重、难点：
教学重点：等差数列通项公式、前n项和公式的应用.
教学难点:（1）从实际情境中发现等差数列现象；
（2）等差数列前n项和与二次函数的联系.
二、教学目标分析---（三）教学目标和重、难点
三、教学分析---(一)教学分析
建构主义理论
诱思导学探究法
探究与发现、应用公式、方法归纳
三、教学分析---(二)学法分析
问题情境
知识、技能、核心素养
观察、探究、反思、交流
三、教学分析---(三)教学思路
环节一：复习导入
等差数列前n项和公式有哪几种形式？你能说出它们各自的使用范围吗？
设计意图：教师引导学生回顾等差数列前n项和公式的两种形式及适用范围，有利于学生理解公式变化，认识其本质，让学生能在后续应用中根据不同的条件选用恰当的公式。
公式1：
公式2：
三、教学分析---(三)教学思路
环节二：再探公式，构建联系
问题1：将公式（2）按项数n降幂排列，你有什么发现？
---（3）
当时，可以看作常数项为0的二次函数
追问1：从结构上看，公式（3）有什么特点？
①常数项为0；②具有的形式；③二次项系数的2倍等于公差；
④二次项系数和一次项系数之和等于首相.
三、教学分析---(三)教学思路
环节二：再探公式，构建联系
探究：如果数列{}的前项和为的结构，其中
、q 为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？
追问2：当时，计算出的值，
你有什么发现？
猜想：当时，数列{}是等差数列；
三、教学分析---(三)教学思路
环节二：再探公式，构建联系
探究：如果数列{}的前项和为的结构，其中
、q 为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？
追问2：当时，计算出的值，
你有什么发现？
猜想：
当时，数列{}从第二项起的后续各项组成一个等差数列.
三、教学分析---(三)教学思路
环节二：再探公式，构建联系
探究：如果数列{}的前项和为的结构，其中
、q 为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？
追问4：你能证明你的猜想吗？
设计意图：本环节是本节课的一个难点.教师引导学生通过对公式进行变形，发现等差数列前n项和公式与二次函数的联系，得出其函数特征，体会数学的整体性，形成分析代数表达式的一般思路，发展学生数学抽象素养；对于探究部分，通过3个追问为引导，学生经历从特殊到一般，使学生形成合理猜想并能严谨证明，培养学生辩证看待问题的思维方式，提升 “四能”，发展逻辑推理素养.
三、教学分析---(三)教学思路
环节三：运用公式，巩固理解
例1.某校新建一个报告厅，要求容纳80个座位，报告厅共有20排
座位，从第二排起后一排都比前一排多两个座位.问第1排安排
多少个座位.
追问5：用数学方法解决实际问题的一般步骤是什么？
实际问题
数学问题
数学问题的解
实际问题的解
三、教学分析---(三)教学思路
环节三：运用公式，巩固理解
例1.某校新建一个报告厅，要求容纳80个座位，报告厅共有20排
座位，从第二排起后一排都比前一排多两个座位.问第1排安排
多少个座位.
追问5：用数学方法解决实际问题的一般步骤是什么？
实际问题
数学问题
数学问题的解
实际问题的解
三、教学分析---(三)教学思路
环节三：运用公式，巩固理解
追问6：从例1中，你能总结建立数列模型模型解决实际问题的基本步骤吗？
设计意图：对于例1及追问5、6，教师引导学生分析问题，发现实际问题中的等差关系，从而将实际问题转化为等差数列前n项和的问题，有利于促进学生灵活应用公式，体会建立数列模型解决实际问题的思想方法，发展数学建模素养.
三、教学分析---(三)教学思路
环节三：运用公式，巩固理解
例2 .已知一个等差数列{}的前项和为，若＝10，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值？若不存在，请说明理由.
追问7：你能利用函数思想，研究更一般的等差数列前n项和的最大（小）值吗？
设计意图：对于例2及追问7，引导学生分析并独立选用两种方法解题，然后进行展示交流，通过综合运用求和公式和函数的思想方法解决问题，探讨等差数列的单调性与最值的关系，进一步强化等差数列的前n项和公式与一元二次函数的联系，提高学生对数列与函数的异、同的认识.
三、教学分析---(三)教学思路
环节四：课堂练习，内化公式
教科书第24页练习第1，2，3，4
设计意图：学生独立解答，教师引导学生交流，师生互动补充完善，可检验学生对等差数列前n项和公式的掌握情况.
三、教学分析---(三)教学思路
环节五：课堂小结，反思升华
回顾本节课学习内容，回答下列问题：
（1）求等差数列前n项和最大（小）值的方法有哪些？
（2）如何将实际问题转化为数学问题？
（3）本节课你体会到哪些思想方法？
设计意图：过学生回顾、归纳、总结，培养学生学以致用的学习意识，领会解决问题的思想方法，积累运用公式的基本活动经验，落实数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模等核心素养.
三、教学分析---(三)教学思路
环节六：分层作业，应用迁移
1.基础性作业
（1）必做题：教科书24-25页习题4.2第1、3、6、7、8题；
（2）选做题：教科书第24页练习第5题，第25页习题4.2第9题
2.拓展性作业
设是等差数列的前项和，已知.
（1）若，求的通向公式；
（2）若，求使得时的取值范围.
设计意图：基础性作业主要考查学生对等差数列前n项和公式的理解程度，以及能否运用等差数列的性质解决问题.拓展性作业主要考查学生运用等差数列的通向公式和前n项和公式解决问题的能力.
多媒体放映
等差数列的应用
三、教学分析---(四)板书设计
公式3：
一般情况：
联系
最值问题
数学建模
1.通过观察与发现，能够说明等差数列前n项和公式的代数特征，能够解释等差数列的通项公式与前n项和公式的内在联系，体会转化与化归纳的数学思想；
2.通过具体问题探究，经历从特殊到一般的学习过程，能够理解等差数列前n项和与二次函数的关系，并能从函数角度解决等差数列前n项和的最值问题，发展学生逻辑推理、数学运算等核心素养.
3.深刻体会将实际问题转化为数学问题，并用相应的数学知识解决问题，体会数学的应用广泛性，发展学生数学抽象素养.
三、教学分析---(五)教学效果预测
（1）注重培养学生的自主学习习惯
教师可在课前为学生准备导学案，使学生带着问题进行自主预习，逐步形成能学习、会学习、善学习的优良态势；
三、教学分析---(六)课程资源开发与利用建议
（2）注重联系，突出转化，强化对等差数列的整体认识
本单元以概念和公式为主，因此，在教学设计时不仅要注重概念公式的形成过程，更要注重公式之间的联系，注重公式与函数之间的联系，强化对等差数列的整体认识，体会数学的整体性.
（3）注重培育学生数学学科素养
每一个堂课都是发展学生核心素养的好契机。不论是从现实转化为数学、从特殊归纳为一般，或者是归纳小结形成知识框架等，都能发展学生数学抽象素养、逻辑推理、数学建模等核心素养；数学上大多数应用课都与运算有关，因此教科书设置了例题、练习和习题，教学时应引导学生注重依据定义和性质进行求解，发展学生数学运算素养.
三、教学分析---(六)课程资源开发与利用建议
谢谢！
第4课时 等差数列的应用
人教A版普通高中教科书数学选择性必修第二册 第四章《数列》 第二单元《等差数列》
等差数列的应用
一、教材内容分析---（一）教材地位和作用
新人教版A版选择性必修第二册教材
第四章第二单元
一、教材内容分析---（一）教材地位和作用
一、教材内容分析---（二）育人价值
1.在本节课中习得的方法有助于等比数列的并列结合学习；
2.在探究等差数列前n项和公式与二次函数关系的过程中采用的观察、归纳、猜想、证明的思维方式可以迁移，帮助学生学会用数学的眼光看问题,从特殊到一般，抽象概括问题，形成数学模型，有助于发展学生数学抽象、推理、数学运算等核心素养；
3.公式的运用中涉及的函数思想、化归思想﹑分类思想，对培育数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养具备独特的育人价值.
二、教学目标分析---（一）课程标准
课程目标：
1.理解等差数列通项公式与前n项和公式的关系；
2.能在具体的问题情境重，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。
二、教学目标分析---（二）学情分析
已有知识：函数的基本性质、等差数列的定义、通项公式及
其性质、等差数列的前n项和公式
探究方法：经历了研究函数的一般路径
能力水平：学生已经具备一定的抽象、推理、类比等能力
障碍分析：公式的灵活应用能力不足、从实际情境中建立数
学模型的能力还有待提升.
二、教学目标分析---（三）教学目标和重、难点
教学目标：
（1）通过观察与联系，能够说明等差数列前n项和公式的代数特征、解释等差数列的通项公式与前n项和公式的内在联系，体会转化与化归纳的数学思想；
（2）通过数学问题情境，探索等差数学前n项和公式与二次函数的共性与区别，能够从函数角度解决求数列前n项和的最值问题，感受数学的整体性，体会函数思想、数形结合等数学思想方法，发展学生逻辑推理和数学运算素养；
（3）能将实际问题提炼成等差数列模型，识别等差数列的基本量，利用通项公式和前n项和公式解决问题，进一步体会转化与化归、方程思想，培育学生数学建模素养。
教学重、难点：
教学重点：等差数列通项公式、前n项和公式的应用.
教学难点:（1）从实际情境中发现等差数列现象；
（2）等差数列前n项和与二次函数的联系.
二、教学目标分析---（三）教学目标和重、难点
三、教学分析---(一)教学分析
建构主义理论
诱思导学探究法
探究与发现、应用公式、方法归纳
三、教学分析---(二)学法分析
问题情境
知识、技能、核心素养
观察、探究、反思、交流
三、教学分析---(三)教学思路
环节一：复习导入
等差数列前n项和公式有哪几种形式？你能说出它们各自的使用范围吗？
设计意图：教师引导学生回顾等差数列前n项和公式的两种形式及适用范围，有利于学生理解公式变化，认识其本质，让学生能在后续应用中根据不同的条件选用恰当的公式。
公式1：
公式2：
三、教学分析---(三)教学思路
环节二：再探公式，构建联系
问题1：将公式（2）按项数n降幂排列，你有什么发现？
---（3）
当时，可以看作常数项为0的二次函数
追问1：从结构上看，公式（3）有什么特点？
①常数项为0；②具有的形式；③二次项系数的2倍等于公差；
④二次项系数和一次项系数之和等于首相.
三、教学分析---(三)教学思路
环节二：再探公式，构建联系
探究：如果数列{}的前项和为的结构，其中
、q 为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？
追问2：当时，计算出的值，
你有什么发现？
猜想：当时，数列{}是等差数列；
三、教学分析---(三)教学思路
环节二：再探公式，构建联系
探究：如果数列{}的前项和为的结构，其中
、q 为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？
追问2：当时，计算出的值，
你有什么发现？
猜想：
当时，数列{}从第二项起的后续各项组成一个等差数列.
三、教学分析---(三)教学思路
环节二：再探公式，构建联系
探究：如果数列{}的前项和为的结构，其中
、q 为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？
追问4：你能证明你的猜想吗？
设计意图：本环节是本节课的一个难点.教师引导学生通过对公式进行变形，发现等差数列前n项和公式与二次函数的联系，得出其函数特征，体会数学的整体性，形成分析代数表达式的一般思路，发展学生数学抽象素养；对于探究部分，通过3个追问为引导，学生经历从特殊到一般，使学生形成合理猜想并能严谨证明，培养学生辩证看待问题的思维方式，提升 “四能”，发展逻辑推理素养.
三、教学分析---(三)教学思路
环节三：运用公式，巩固理解
例1.某校新建一个报告厅，要求容纳80个座位，报告厅共有20排
座位，从第二排起后一排都比前一排多两个座位.问第1排安排
多少个座位.
追问5：用数学方法解决实际问题的一般步骤是什么？
实际问题
数学问题
数学问题的解
实际问题的解
三、教学分析---(三)教学思路
环节三：运用公式，巩固理解
例1.某校新建一个报告厅，要求容纳80个座位，报告厅共有20排
座位，从第二排起后一排都比前一排多两个座位.问第1排安排
多少个座位.
追问5：用数学方法解决实际问题的一般步骤是什么？
实际问题
数学问题
数学问题的解
实际问题的解
三、教学分析---(三)教学思路
环节三：运用公式，巩固理解
追问6：从例1中，你能总结建立数列模型模型解决实际问题的基本步骤吗？
设计意图：对于例1及追问5、6，教师引导学生分析问题，发现实际问题中的等差关系，从而将实际问题转化为等差数列前n项和的问题，有利于促进学生灵活应用公式，体会建立数列模型解决实际问题的思想方法，发展数学建模素养.
三、教学分析---(三)教学思路
环节三：运用公式，巩固理解
例2 .已知一个等差数列{}的前项和为，若＝10，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值？若不存在，请说明理由.
追问7：你能利用函数思想，研究更一般的等差数列前n项和的最大（小）值吗？
设计意图：对于例2及追问7，引导学生分析并独立选用两种方法解题，然后进行展示交流，通过综合运用求和公式和函数的思想方法解决问题，探讨等差数列的单调性与最值的关系，进一步强化等差数列的前n项和公式与一元二次函数的联系，提高学生对数列与函数的异、同的认识.
三、教学分析---(三)教学思路
环节四：课堂练习，内化公式
教科书第24页练习第1，2，3，4
设计意图：学生独立解答，教师引导学生交流，师生互动补充完善，可检验学生对等差数列前n项和公式的掌握情况.
三、教学分析---(三)教学思路
环节五：课堂小结，反思升华
回顾本节课学习内容，回答下列问题：
（1）求等差数列前n项和最大（小）值的方法有哪些？
（2）如何将实际问题转化为数学问题？
（3）本节课你体会到哪些思想方法？
设计意图：过学生回顾、归纳、总结，培养学生学以致用的学习意识，领会解决问题的思想方法，积累运用公式的基本活动经验，落实数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模等核心素养.
三、教学分析---(三)教学思路
环节六：分层作业，应用迁移
1.基础性作业
（1）必做题：教科书24-25页习题4.2第1、3、6、7、8题；
（2）选做题：教科书第24页练习第5题，第25页习题4.2第9题
2.拓展性作业
设是等差数列的前项和，已知.
（1）若，求的通向公式；
（2）若，求使得时的取值范围.
设计意图：基础性作业主要考查学生对等差数列前n项和公式的理解程度，以及能否运用等差数列的性质解决问题.拓展性作业主要考查学生运用等差数列的通向公式和前n项和公式解决问题的能力.
多媒体放映
等差数列的应用
三、教学分析---(四)板书设计
公式3：
一般情况：
联系
最值问题
数学建模
1.通过观察与发现，能够说明等差数列前n项和公式的代数特征，能够解释等差数列的通项公式与前n项和公式的内在联系，体会转化与化归纳的数学思想；
2.通过具体问题探究，经历从特殊到一般的学习过程，能够理解等差数列前n项和与二次函数的关系，并能从函数角度解决等差数列前n项和的最值问题，发展学生逻辑推理、数学运算等核心素养.
3.深刻体会将实际问题转化为数学问题，并用相应的数学知识解决问题，体会数学的应用广泛性，发展学生数学抽象素养.
三、教学分析---(五)教学效果预测
（1）注重培养学生的自主学习习惯
教师可在课前为学生准备导学案，使学生带着问题进行自主预习，逐步形成能学习、会学习、善学习的优良态势；
三、教学分析---(六)课程资源开发与利用建议
（2）注重联系，突出转化，强化对等差数列的整体认识
本单元以概念和公式为主，因此，在教学设计时不仅要注重概念公式的形成过程，更要注重公式之间的联系，注重公式与函数之间的联系，强化对等差数列的整体认识，体会数学的整体性.
（3）注重培育学生数学学科素养
每一个堂课都是发展学生核心素养的好契机。不论是从现实转化为数学、从特殊归纳为一般，或者是归纳小结形成知识框架等，都能发展学生数学抽象素养、逻辑推理、数学建模等核心素养；数学上大多数应用课都与运算有关，因此教科书设置了例题、练习和习题，教学时应引导学生注重依据定义和性质进行求解，发展学生数学运算素养.
三、教学分析---(六)课程资源开发与利用建议
谢谢！