4.2.2等差数列前n项和性质及应用 第2课时 教学设计（表格式）

课时教学设计
学科：数 学 年级：高二 任课教师：xxx 课时：第4课时
主题 等差数列前n项和性质及应用
学习 分析 课程标准 等差数列的应用
学习内容 等差数列概念、通项公式、前n项和公式的综合应用
学生情况 数列是一类特殊的函数，学习路径和函数有相似之处。对于高二的学生，从知识结构上来看，在高一时经历了研究函数的一般路径，在知识、经验方面有所积累,并且学生通过前面的的学习，对等差数列的概念、通项公式以及前n项和公式学生也有了初步的理解,这些都为本课时的应用提供了探究方法和理论基础；在能力水平上方面，学生已经具备一定的抽象、推理、类比等能力，但公式的灵活应用能力不足、从实际情境中建立数学模型的能力还有待提升.
学习 目标 学习目标1 在具体的问题情境中，能运用等差数列前n项和公式解决一些简单的数学问题和实际问题，提升数学建模素养
评价 任务 评价任务1 辨析等差数列前n项和公式与一元二次函数的关系，进一步认识等差数列前n项和公式，熟悉一元二次函数与数列的关系
评价任务2 综合运用等差数列前n项和公式在解决实际问题中提升数学建模能力和用函数的思想求解数列的最值化归与转化思想
教师 学生 设计意图 信息技术应用 核心素养点
学 习 活 动 学 习 活 动 学 习 活 动 情景活动1 复习回顾，引人入境 引导语 上节课我们学习了等差数列前n项和公式，让我们一起来回顾一下它的形式与几何意义。 等差数列前n项和公式 ， 问1：你能说出这两个公式各自适用的范围吗？ 问2：等差数列通项公式 是关于（）的一次函数。类比上式，等差数列前n项和公式可以化成一个（）一元二次函数吗？ 观察的特征 幻灯片展示复习内容， 适当引导学生完成公式变形 引导学生观察这个一元二次函数 的特征 积极复习巩固等差数列前n项和公式 并独立完成公式变形 学生得出一元二次函数特征 如：无常数项，过原点； 具有的结构； 二次项系数的2倍为公差； 一、二次项系数之各为首项； d>0为开口向上的二次函数，有最小值； d=0为一次函数 d<0为开口向下的二次函数，有最大值； 熟练撑握等差数列前n项和公式 ppt 数学抽象
情情景活动2 内涵辨析，探索性质 探究：如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？ 我们不防多取几组数据来验证一下。 （1）当时 （2）当时 1.教师引导学生积极参与，提供数据。 教师引导学生从归纳共性，总结规律，得出结论。 引导学生验证的情况 教师任意抽取大量学生提供的p q r的值，逐一验数列是否是等差数列。 猜想：当时，数列是等差数列。 （2）引导学生验证的情况 教师任意抽取大量学生提供的p q r的值，逐一验数列是否是等差数列。 猜想：当时，数列是从第二项起的后面各项组成的等差数列。 （1）学生积极参与，提供数据。 （2）在教师引导下发现共性，总结规律，得出结论。 （1）通过实际大量数学试验，让学生充分参与课堂，成为学习主人。 学生经历从“一般→特殊→一般”这一过程，体会特殊到一般、一般到特殊的数学思想； 利用多媒体演示，帮助学生理解数列前的n项和 与等差数列的关系，发展学生直观想象素养和抽象能力。 ppt和电子表格 直观想象 与 数学抽象
情景活动3 证明猜想，得出真知 问：如何证明我们的猜想是正确的？ （ 用等差数列的定义去判断 ） 追问 等差数列的定义是什么？ （ ） 追问 已知我们怎么求出呢？ （ = ） 数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且 证明：当n=1时， 当时， 当时， 当n=1时， 结论：1.当时，数列是等差数列。 为等差数列 2.当时，数列是从第二项起的后面各项组成的等差数列。 为等差数列 情景活动4 走进生活，数学建模 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第二排起后一排都比前排多2个座位．问第一排应安排多少个座 位． 思考：用数学方法解决实际问题的一般步骤是什么？ 实际问题 数学问题 数学问题的解 实际问题的解 分析： 实际问题数学问题第2排气候，一排都比前一排多两个座位等差数列 d=2报告厅共有20排座位n=20容纳800个座位S20= 800第1排应安排多少个座位？a1=
转化：已知等差数列的d,n,S20,求a1= 解:设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列, 其前项n和为Sn. 根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且S20 = 800代入公式 解得a1=21. 因此，第1排应安排21个座位. 总结： 解决等差数列前n项和实际问题的一般步骤 (1)将已知条件翻译成数学(数列)问题; (2)构造等差数列模型(明确首项和公差); (3)利用等差数列前n项和公式解决等差数列问题; (4)将所求出的结果回归为实际问题. 例2 已知等差数列的前n项和为Sn，若，公差，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由． 分析：要判断Sn是否存在最大值，就得发现Sn的变化规律。 …………
思考： 为何从到递增 （因为且到都是正数） 2. 是否一直递增 不是 （因为公差d<0，数列是递减数列， 当减小到不大于0时，就不再增大了） 3.哪些项的和是的最大值呢 （所有正数项的和就是的最大值） 4.哪些项是正数呢 （利用通项公式求解） 解:由，得, 所以，所以是递减数列. 由， 得. 令> 0, 解得n < 6. 当n < 6时，> 0 当n = 6时，= 0 当n > 6时，< 0 所以， 即当n=5或6时，最大。 因为， 所以的最大值为30。 解法2： 因为 所以，当n取与最 O 接近的整数5或6时，最大，最大值为30。 引导学生如何证明猜想 （2）回顾等差数列的定义。 （3）用定义证明猜想。 1.教师引导学生分析问题，将实际问题转化成等差数列的求和问题，即构建一个等差数列，使其各项依次为报告厅从第1排到第20排的座位数，从而S20= 800，那么求第1排的座位数就等相当于求a1。 2.指出数学建模的思想 解决等差数列前n项和实际问题的一般步骤： (1)将已知条件翻译成数学(数列)问题; (2)构造等差数列模型(明确首项和公差); (3)利用等差数列前n项和公式解决等差数列问题; (4)将所求出的结果回归为实际问题. 引导学生认清事物的本质。 实际上，由于，所以就是由到的变化量，的正负体现了的增减，增减明确了，最大(小)值就找到了. 结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法： 当>0，d<0，前n项和有最大值 可由≥0，且≤0，求得n的值； 当<0，d>0，前n项和有最小值 可由≤0，且≥0，求得n的值. 引导学生用函数的思想解决数列中的问题。 （1）师生共同合作探究，证明猜想 1.学生逐渐领悟从实际问题转化为数学问题的过程，然后逐渐清晰等差数列求和公式的运用。 2.学习数学建模的思想与步骤。 学生理清求等差数列前N项和最大值的思路。 的增减来源于的正负。 用二次函数求数列前N项和的最值。 学生全程参与猜想的证明，培养学生的逻辑推理能力；体会知识的生成过程，培养学生的生活价值观。 通过让学生解决现实世界中的生活问题，找到解决实际问题的基本思路和方法。 感受数学源于生活，学会用数学的眼光观察世界，体会和方程的思想， 发展学生数学抽象、数学建模素养 例2给出了具体的等差数列的前4项和前4项和，让学生更加直观的看出的增减性随的变化而变化。 等差数列前N项和公式与二次函数的对应关系，运用二次函数的性。质求数列求和的最值。 ppt ppt PPT PPT 逻辑推理 与 数学运算 数学建模 与 数学抽象 数学运算 逻辑推理 数学运算
情境活动5 课堂小结，形成提纲 等差数列中求的最值的方法: (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值. (2) 利用等差数列前n项和，借助二次函数的图象及性质求最值. 数学建模 函数思想 教师引导学生回顾本节课所学知识点。 学生归纳总结这堂课所学知识点。 学生对本堂课有总体认识 PPT
情景活动6 作业布置，应用迁移 作业1：教材P24 练习 第1、2、3题 批改作业，发现问题，及时纠正 学生独立完成 检验学生认识等差数列前n项和性质及应用 掌握程度 数学建模 数学运算
板 书 设 计
教 学 反 思