山西省吕梁市凤山高级中学2022-2023学年高一下学期3月数学第一次测试试题（含解析）

山西省吕梁市凤山高级中学-2022-2023学年高一下学期数学第一次测试试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．已知角的终边经过点，则的值为（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．﹣4
2．汽车以的速度向西走了，摩托车以的速度向东北方向走了，则下列命题中正确的是
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程.
D．以上都不对
3．下列命题正确的是
A．
B．
C．
D．
4．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正弦值是（ ）
A．； B．； C．； D．．
5．已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．是第三象限角，且，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
7．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
8．设非零向量，满足，则
A．⊥ B．
C．∥ D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．（多选）与终边相同的角的表达式中，正确的是
A． B．
C． D．
10．给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ）
A．如果θ是第一或第四象限角，那么
B．如果，那么θ是第一或第四象限角
C．终边在x轴上的角的集合为
D．已知扇形OAB的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2
11．已知是第一象限角，且，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．若，，则可以是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．则________．
14．已知是第二象限角，，则__________．
15．方程的解集为________.
16．在区间上的零点的个数是______.
四、解答题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
17．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．已知，求满足下列条件的角的取值集合.
(1)；
(2)
(3).
19．（1）已知，且为第三象限角，求的值；
（2）已知，求的值.
20．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个；
(2)与平行且模为 的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3 的向量共有几个？
21．已知，且．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求的值．
22．已知
（1）求的值；
（2）若是方程的两个根，求的值.
参考答案：
1．C
【分析】利用任意角的三角函数的定义求得的值．
【详解】∵已知角的终边经过点，∴，则，故选C．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2．C
【分析】由向量概念直接判断即可
【详解】由题速度，位移是向量，不能比较大小，故A,B错误；
故选C
【点睛】本题考查向量的基本概念，是基础题
3．C
【详解】试题分析：由题；A.，错误；向量的模长相等，但方向不同；B．，错误；向量是有方向的，不能比大小；D．，错误；向量相等，则模长相等，方向相同．而共线则方可相反．C．，正确；符合零向量的定义．
考点：向量的概念．
4．D
【分析】取格点，连接可得直角三角形，利用勾股定理求得边长，根据正弦得定义即可求解.
【详解】如图：
取格点，连接可得三点共线，且为直角三角形，
因为正方形网格边长为1，所以，，
所以
故选：D
5．A
【解析】将等式两边平方，可得出的值，然后将代入化简计算可求得该代数式的值.
【详解】，，解得，
因此，.
故选：A.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系化简计算，在涉及的相关计算时，一般利用平方关系来计算，考查计算能力，属于中等题.
6．B
【分析】由条件可得，再根据，可得是第二象限角．
【详解】解：是第三象限角，，，即，，故是第二或第四象限角．
如图
又，则是第二象限角，
故选：．
【点睛】本题主要考查同角三角的基本关系，象限角的表示，属于基础题．
7．C
【详解】∵0＜a＜，﹣＜β＜0，
∴＜+α＜，＜﹣＜
∴sin（+α）==，sin（﹣）==
∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=
故选C
8．A
【详解】由平方得，即，则，故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.
9．CD
【分析】由弧度与角度不能混用,排除,把化成角度数,变成,说明正确,把变成,说明正确.
【详解】弧度和角度不能在同一个表达式中，故选项A，B错误;
因为,所以正确;
因为,所以正确.
故选.
【点睛】本题考查了终边相同的角的表示,属于基础题,注意:在同一个表达式中,弧度与角度不能混用.
10．AD
【分析】对于A，利用三角函数的定义即可判断；对于B，举反例即可；对于C，直接写出对应角的集合；对于D，利用扇形的面积和弧长公式即可
【详解】对于A，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得，故正确；
对于B，若，则，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误；
对于C，终边在x轴上的角的集合为，故错误；
对于D，设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，
则，解得，故正确
故选：AD
11．BC
【分析】由题意可知，利用特殊值可以排除AD选项，再根据同角三角函数的基本关系判断BC即可.
【详解】是第一象限角，且，
当时，
此时，所以A错误；
易知，，所以，
又因为，即，所以，即C正确；
又因为，所以，
因此，即，故B正确；
取，则，所以D不成立.
故选：BC.
12．AC
【分析】由条件，可知是第一象限角，据此得到范围，即可确定所在的象限.
【详解】因为，，
所以，故是第一象限角，
由，
得，
当为偶数时，是第一象限角，
当为奇数时，是第三象限角.
故选：AC.
13．
【分析】结合余弦的知识求得正确答案.
【详解】由于的终边关于轴对称，所以.
故答案为：
14．．
【分析】由同角间的三角函数关系式计算．
【详解】因为，所以，
所以，
是第二象限角，则，所以．
故答案为：．
15．
【分析】将化为，将方程化为，得到；结合余弦函数图象可求得.
【详解】 ，即或
当时，，
当时，，
又，
，
方程的解集为：
故答案为
【点睛】本题考查指数基本运算、根据三角函数值求解角的问题；关键是能够结合余弦函数图象得到角的取值，同时能够根据将结果进行简化.
16．5
【解析】由，求出的范围，根据正弦函数为零，确定的值，再由三角函数值确定角即可.
【详解】,
时, ,，
当时，的解有，
的解有，
的解有,
故共有5个零点，
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.
17．(1)
(2)
【分析】(1)；
(2)分子分母同时除以cosθ，化弦为切﹒
【详解】（1），sinθ＝2cosθ，；
（2）原式﹒
18．(1)；(2)或；(3)
【解析】(1)由正切函数在开区间上是增函数，则只有一个使得，则；
(2)由的正负确定是第二或第四象限角，利用正切函数的性质得出；
(3)可先求出在内的角，再由的周期性写出所给范围内的角.
【详解】(1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件的角只有一个，即.
故角的取值集合为
(2)∵，
∴是第二或第四象限角，
∴或.
故角的取值集合为或
(3)由(1)可知，时，角的取值集合
由于函数的周期为
所以当时，角的取值集合为 .
【点睛】本题主要考查了已知正切值求角，属于中档题.
19．(1)；(2)
【分析】(1)根据同角三角函数的公式求解即可.
(2)分式上下同时除以再求解即可.
【详解】(1)因为为第三象限角,故.
.
(2)
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的公式,属于基础题.
20．（1）5个；（2）24个；（3）2个.
【分析】(1)根据相等向量的概念，即可得到向量相等的向量个数，得到答案；
(2)根据向量的模的概念，即可得与向量平行且模为 的向量的个数；
(3)根据向量的模概念，即可得到与向量方向相同且模为3的向量共的个数．
【详解】(1)根据相等向量的概念，可得与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．
(2) 根据向量的模的概念，可得与向量平行且模为 的向量共有24个．
(3) 根据向量的模概念，可得与向量方向相同且模为3的向量共有2个．
【点睛】本题主要考查了相等向量概念，以及向量模的概念的应用，其中解答中熟记相等向量的概念和向量模的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
21．（Ⅰ），；（Ⅱ）-1.
【分析】（Ⅰ）由同角三角函数的平方关系和商数关系求得．再根据角的范围可求得答案；
（Ⅱ）根据同角三角函数的商数关系化为关于正切的关系式，代入可得答案.
【详解】（Ⅰ）由，得．
∵，∴．
∵，∴，．
∴，．
（Ⅱ）原式
∵，∴原式．
22．（1）；（2）
【解析】（1）由商数关系弦化切后可求得；
（2）由韦达定理可用表示出，再求出后，只要再由求得，从而可得解．
【详解】（1）∵，∴，解得；
（2）由题意，∴，
又，
∴．
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，掌握弦切互化是解题关键．