山西省吕梁市汾阳市第五高级中学2022-2023学年高一下学期数学第二次测试试题（含解析）

汾阳市第五高级中学2022-2023学年高一下学期数学第二次测试试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，＝，＝，点D是的外心，E是AC的中点，则＋＝（　　）
A． B．
C． D．
2．已知为矩形，是的中点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，，是任意三个空间向量，，则下列关系式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是的边上的中点，则向量（ ）
A． B．
C． D．
5．化简
A． B． C． D．
6．已知不共线向量共线，则实数（ ）
A． B． C． D．
7．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中，与共线的向量有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若向量，，，则向量与的夹角为
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知为非零向量,则下列命题中正确的是
A．若,则与方向相同
B．若,则与方向相反
C．若,则与有相等的模
D．若,则与方向相同
11．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．零向量与任意向量平行
C．方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量是共线向量
D．在平行四边形ABCD中，
12．如图所示，为的外心，为垂心，其中，则下列说法成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13．若数轴上有四点A，B，C，D，且A(-7)，B(x)，C(0)，D(9)，满足，则x=______.
14．在中，，，若与线段交于点，且，，则的最大值为___________.
15．已知的三个顶点都在圆上，，且，则圆的面积为____.
16．已知O，N，P在所在平面内，且，，且，则点O，N，P依次是的_________________（填三角形的四心）
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，已知向量、、、、．
(1)用、、表示；
(2)用、表示；
(3)用、、表示；
(4)用、表示．
18．如图，已知和点P，请以点P为起点，分别在图中作出下列向量：
(1)与相等的向量；
(2)与互为相反向量的向量.
19．设为实数，已知是单位向量，向量的模为2，，求的值．
20．如图，已知两边的中点分别为M，N，在延长线上取点P，使，在延长线上取点Q，使.求证：P，A，Q三点共线.
21．如图，四边形ABCD中，设，，，试用，，分别表示，．
22．在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据向量线性运算的几何意义，即可得到答案；
【详解】因为点D是△ABC的外心，且∠ACB＝90°，所以点D是Rt的斜边AB的中点，
所以.
又E是AC的中点，所以，
所以，
故选：D.
2．B
【解析】根据平面向量加法的三角形法则和减法的三角形法则可得结果.
【详解】如图：
，
故选：B.
【点睛】本题考查了平面向量加法和减法的三角形法则，属于基础题.
3．D
【分析】根据向量加法的交换律、结合律，对数乘的分配律判断ABC，由向量共线的条件判断D.
【详解】对于A，根据向量加法的交换律知成立，故A正确；
对于B，根据向量数乘的分配律知成立，故B正确；
对于C，根据向量加法的结合律知成立，故C正确；
对于D，当共线，且或时，才有，故D错误.
故选：D
4．C
【分析】由向量的加法和减法运算法则计算可得答案.
【详解】解：，
故选：C.
5．A
【分析】根据向量的加法、减法运算法则即可求解
【详解】由题,,
故选：A
【点睛】本题考查向量的加法、减法运算,属于基础题
6．D
【分析】由平面向量共线定理求解
【详解】共线，则，
有解得
故选：D
7．C
【详解】在向量，，，，，，，，，，中与共线的向量有：向量，，．故选C．
8．D
【分析】可求得，从而，这样由便可得到，从而得出，可作△AOB，从而可以得出，而，和的夹角容易得出，即得出与的夹角．
【详解】根据条件，；
∴2cos∠AOB＝﹣1；
∴；
∴，如图，作△AOB，，OA＝OB，
则：
，；
∴和夹角为；
即向量与夹角为．
故选D．
【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的长度，向量数量积的计算公式，以及向量减法的几何意义，考查了向量夹角的概念，属于中档题．
9．ABD
【分析】对于A，B，D，利用向量的概念判断，对于D，利用相等向量的定义判断即可
【详解】解：对于A，由可得与的大小相等，但方向不一定相同，所以与不一定相等，所以A错误，
对于B，由可得的长度大于的长度，而向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，所以B错误，
对于C，由可得与的大小相等，方向相同，所以有，所以C正确，
对于D，由，可得，而不是0，所以D错误，
故选：ABD
10．ABD
【解析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.
【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.
当同向时有,.
当反向时有,
故选：ABD
【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.
11．BCD
【分析】对A，根据向量相等的定义即可判断，对B，根据规定即可判断，对C，利用共线向量的定义即可判断，对D，根据平行四边形性质即可判断.
【详解】对A，向量的模相等，方向不一定相同，故向量不一定相等，故A错误；
对B，根据规定：零向量与任意向量平行，故B正确；
对C，东偏南即南偏东，故两向量为共线向量，故C正确，
对D，因为四边形为平行四边形，故，故，故D正确.
故选：BCD
12．ABD
【分析】作直径，连接、，则可得四边形是平行四边形，有，然后利用向量的加法法则可求出，从而得，进而逐个分析判断即可
【详解】作直径，连接、，
则，，，，．
，，故四边形是平行四边形．
，又，
．
∵，
对于A，，所以A正确，
对于B，，所以B正确，
对于C，，所以C错误，
对于D，，所以D正确，
故选：ABD
13．2
【分析】根据，列方程求解即可.
【详解】∵，∴，∴.
故答案为：2.
【点睛】本题考查数轴上的向量坐标表示，是基础题.
14．2
【分析】设，即，利用三点共线性质得，由条件求出的最大值即可
【详解】因为与线段交于点，所以设，
则，即，
因为三点共线，所以，即，
因为，所以当为的中点时，最小，此时最大，
因为，所以，
因为，所以，即，
即的最大值为2，
故答案为：2
15．
【分析】根据平面向量加法的运算法则，结合三角形外心的性质进行求解即可.
【详解】设的中点为，因为,
所以点与点重合，即的外接圆的圆心是边的中点，因此是以为斜边的直角三角形，因为，所以，
因此圆的面积为，
故答案为：
16．外心、重心、垂心
【分析】由结合外接圆的性质得出O是外接圆的圆心，取中点，利用向量运算确定为三边中线的交点，从而判断为重心，由得出，即，再由判断是三角形的垂心.
【详解】由题：，所以O是外接圆的圆心
取中点，，，即所在直线经过中点，与中线共线，同理可得分别与边的中线共线，即N是三角形三条中线交点，即重心
，，，
即，同理可得，即P是三角形的垂心.
故答案为：外心、重心、垂心
【点睛】方法点睛：1、是的重心；2、是的外心；3、是的垂心
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】平面向量的线性运算法则依次求解即可.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
18．(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合题图及相等、相反向量的定义画出、即可.
(1)
连接，过作，过作，且交于点，
∴由相等向量的定义知：即为所求，如下图示：
(2)
连接，过作，过作，且交于点，
∴由相反向量的定义知：即为所求，如下图示：
19．
【分析】根据数乘向量及模的性质运算即可.
【详解】因为是单位向量，
所以，
即.
20．证明见解析.
【分析】设，进而通过平面向量的加减和数乘运算，将转化为即可证明.
【详解】如图，
设，则，，由此可得，，
所以，，，，故，故，且它们有公共点A，所以P，A，Q三点共线.
21．，.
【分析】根据题图，结合向量加减的三角形法则有、，即可得结果.
【详解】由题图知：，
又，所以.
22．
【分析】由，化简为，得到点P是AB的一个三等分点（靠近A点），再根据A，M，Q三点共线，设，然后用分别表示向量，再根据求解.
【详解】如图所示：
因为，
所以，
所以，
即，
所以点P是AB的一个三等分点（靠近A点），
又因为A，M，Q三点共线，且Q为BC的中点，
设，
则，
，
因为，
所以，
则，解得，
所以t的值是.