山西省吕梁市汾阳市第五高级中学2022-2023学年高一下学期数学第三次测试试题（含解析）

汾阳市第五高级中学2022-2023学年高一下学期数学第三次测试试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．向量，则（ ）
A．1 B． C． D．6
2．在四边形ABCD中，，若，则四边形ABCD是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定
3．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，，且，则的值分别为
A． B． C． D．
6．已知向量，不共线，若，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
7．已知点是的外接圆圆心, .若存在非零实数使得且,则的值为
A． B． C． D．
8．点为内一点，若，设，则实数和的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．已知，则下列说法不正确的是（ ）
A．点的坐标是
B．点的坐标是
C．当是原点时，点的坐标是
D．当是原点时，点的坐标是
10．在中，，，分别是，，的中线且交于点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知、是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，能作为一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列说法中正确的为（ ）
A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量，，满足，则与的夹角为30°
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13．已知为一单位向量，与之间的夹角是120°，而在方向上的投影向量为，则________．
14．等腰直角ABC中，点P是斜边BC边上一点，若=+，则ABC的面积为______
15．空间任意四点A、B、C、D，则________．
16．为坐标原点，，若点在直线上，且，是的中点，则点的坐标为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设，是不共线的非零向量，且，．若，求，u的值．
18．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
19．设两个非零向量，不共线，，，．
(1)求证：A、B、D共线；
(2)试确定实数k，使和共线．
20．如图所示，已知在△AOB中，点C是以A为对称中心的点B的对称点，＝2，DC和OA交于点E，设，．
（1）用和表示向量、；
（2）若＝λ，求实数λ的值．
21．如图，在梯形中，，为对角线的交点，分别是腰的中点，求向量和.
22．已知m>0，n>0，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线．
(1)若点O满足，证明：．
(2)求的最小值．
参考答案：
1．D
【分析】根据向量数量积坐标表示直接求解，即得结果.
【详解】因为
所以
故选：D
【点睛】本题考查向量数量积坐标表示，考查基本求解能力，属基础题.
2．B
【分析】由，可得四边形ABCD为平行四边形，又，从而即可求解.
【详解】解：在四边形ABCD中，
因为，所以四边形ABCD为平行四边形，
又，即，
所以平行四边形ABCD为矩形，
故选：B.
3．B
【分析】由平面向量的线性运算与基本定理求解即可
【详解】∵
，
故选：B．
4．C
【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.
【详解】由题可知，
∵点F在BE上，
∴，
∴．
∴，．
∴．
故选：C．
5．C
【详解】试题分析：,，，解得：，
故选C.
6．B
【分析】利用向量的线性运算、向量的共线的充要条件进行求解判断.
【详解】对于A，因为，，
若A，B，C三点共线，则存在实数使得，
则，无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误；
对于B，∵，
∴，又∵A是公共点，∴A，B，D三点共线，
故B正确；
对于C，因为，，所以，
若A，C，D三点共线，则存在实数使得，又，
所以，无解，所以A，C，D三点不共线，故C错误；
对于D，若B，C，D三点共线，则存在实数使得，
又，，所以，无解，
所以B，C，D三点不共线，故D错误；
故选：B.
7．D
【分析】根据且判断出与线段中点三点共线，由此判断出三角形的形状，进而求得的值.
【详解】由于，由于，所以与线段中点三点共线，根据圆的几何性质可知直线垂直平分，于是是以为底边的等腰三角形，于是，故选D.
【点睛】本小题主要考查平面向量中三点共线的向量表示，考查圆的几何性质、等腰三角形的几何性质，属于中档题.
8．A
【分析】先证明成立得到，再利用向量的线性运算即可.
【详解】如图所示，延长交于，
显然，
由面积关系可得，所以，
而，
所以，
所以，即，
又由题可知，所以，
所以，整理得，
所以，
故选：A
9．ABC
【分析】根据向量的概念，以及向量的坐标表示，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，向量与终点、始点的坐标差有关，
所以点的坐标不一定是，故A错误；
同理点的坐标不一定是，故B错误；
当是原点时，点的坐标是，故C错误；
当是原点时，点的坐标是，故D正确.
故选：ABC
10．BCD
【分析】根据三角形重心的性质，结合向量加法和减法法则进行即可即可.
【详解】依题意，如图所示：
因为，，分别是，，的中线且交于点，
所以是的重心.
对于A：若，则，因为，
所以，显然不成立，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：
，故C正确；
对于D：
，故D正确.
故选：BCD.
11．ACD
【分析】根据基底不共线条件，逐项判定，即可得出结论.
【详解】、不共线，根据向量的加法和减法运算法则，
可得不共线，不共线，
均可作为一组基底，
选项A，D正确；
共线，
所以不能作为基底，选项B错误；
若共线，则存在，
使得，
、不共线，所以无解，即不存在，
所以不共线，
可作为一组基底，选项C正确.
故选：ACD.
12．BD
【分析】对于A，由与的夹角为锐角，可得且与不共线，从而可求出的取值范围；对于B，判断两个向量是否共线；对于C，根据向量不能比较大小即可判断；对于D，由，可得，从而可求出，，再利用向量的夹角公式可求得结果.
【详解】解：对于A选项， ，，与的夹角为锐角，
，且，所以，故A错误；
对于B选项，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；
对于C选项，且与同向，向量依然不能比较大小，故C错误；
对于D选项，因为，两边平方得，则，
，
故，而向量的夹角范围为，
得与的夹角为，即为30°，故D项正确.
故选：BD
13．4
【分析】利用数量积的几何意义直接求解.
【详解】因为与之间的夹角是120°，而在方向上的投影向量为，
所以，
所以，所以4.
故答案为：4.
14．##12.5
【分析】如图，根据单位向量的概念可得，，利用几何图形可得，即可得解.
【详解】
如图，由于=+，所以，
则，所以在等腰直角中，， ，所以，
即腰长为5，故的面积.
故答案为：.
15．
【分析】利用向量的加减法运算可得答案.
【详解】.
故答案为：.
16．或
【分析】根据题意，得出，由，可知，设点，根据向量坐标运算得出，，分类讨论当和当时，利用向量共线的坐标表示和中点坐标公式，即可求出点的坐标.
【详解】解：由题可知，，点在直线上，则，
又，，
设点，则，，
①当时，则，
，解得：，，
是的中点，
，解得：，.
②当时，则，
，解得：，，
是的中点，
，解得：，，
综上可得，点的坐标为或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查平面向量的共线定理和向量坐标运算，以及中点坐标公式的应用，考查分类讨论思想和计算能力.
17．
【分析】根据向量线性运算化简已知条件，由此列方程组来求得，u的值.
【详解】由，
得，
得，解得．
18．(1)；
(2)；
(3).
【分析】根据平面向量加减的运算法则，化简各线性表达式即可.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
19．(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）证明出，即可证得结论成立
（2）根据向量共线得到，进而求解结论
【详解】（1）因为，，，
所以，所以，
因为、共点，所以、、三点共线；
（2）∵和共线，
存在实数，使得，
∵非零向量，不共线，
且，可得或
20．（1），；（2）λ＝．
【分析】(1)结合向量的加法、减法法则运算即可；
(2)根据向量的减法法则可得＝(2－λ)、，结合平行向量的基本定理计算即可.
【详解】（1）由题意知，A是BC的中点，且＝，
由平行四边形法则，＋＝2，
∴＝2－＝，
＝－＝()－＝．
（2）∥．
又∵＝－＝()－λ＝(2－λ)，
＝，
∴＝，∴λ＝．
21．，.
【分析】分别是腰的中点得到以及和，两者相加结合前者即可求解.利用已知条件求得，故，再利用向量的三角形法则即可求出.
【详解】因为分别是腰的中点，∴，
∵①，②，
①② .
∵，∴且，
∴，故，而，
故，故；
∵
.
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据向量的线性运算法则，利用依次表示，再结合向量共线定理证明即可；
(2)由(1) ，结合结论可得，再利用基本不等式求的最小值．
【详解】（1）由题可知，
因为点E为AD的中点，所以．
由，则，即，
，
又
所以，又三点不共线，
所以．
（2）因为M，N，E三点共线，
所以可设，又，，
所以
又，
所以，
所以，
所以，
当且仅当，时，等号成立．所以的最小值是．