山西省吕梁市汾阳市第五高级中学2022-2023学年高一下学期数学第四次测试试题（含解析）

汾阳市第五高级中学2022-2023学年高一下学期数学第四次测试试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．已知向量，，若，则与的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．等于(　　)
A． B．
C． D．
3．已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．若向量，，满足，，，，，则（ ）．
A．5 B．6 C．3 D．4
5．已知向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．下列关于向量的说法中正确的是
A．若且，则
B．若，则
C．向量（）且，则向量与的方向相同或相反
D．与方向相反，则与的方向相同
8．若向量，满足2﹣2＝4，且＜+，﹣＞＝，则||+2||的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．，,若,则
B．单位向量，，则
C．若且，则
D．若点为的重心，则
10．已知，，是三个平面向量，则下列叙述不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，且，则
C．若，则
D．若，则
11．下列说法正确的有（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则与的方向相同或相反 D．若、共线，则、、三点共线
12．如图，在边长为2的菱形中，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13．已知向量满足，则_________．
14．已知 是单位向量，且，若平面向量满足，则___________.
15．已知单位向量和，满足则和的夹角等于______．
16．如图中，，，，，且，则__.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．. 已知，与的夹角为60°．
（1）求：，；（2）求：．
18．求证：．
19．设单位向量的夹角是，且.
（1）求；
（2）求与的夹角.
20．在中，已知为线段上一点，.
(1)若，求实数、的值；
(2)若，，且与的夹角为，求的值．
21．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
22．点O是梯形对角线的交点，，，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为．
（1）用和表示和；
（2）若点P在梯形所在平面上运动，且，求的最大值和最小值．
参考答案：
1．D
【解析】求出，利用公式可得答案.
【详解】向量,则
故选：D
2．B
【分析】利用平面向量的线性运算化简可得结果.
【详解】原式.
故选：B.
3．A
【分析】先根据条件求出和的值，然后根据向量的夹角公式来求与的夹角.
【详解】因为，
所以，
所以，所以，即，
所以，
又因为，所以，即.
故选：A.
4．A
【分析】由等式两边同乘以向量和，根据数量积的性质分别求即可.
【详解】因为，所以，又，，，所以，
因为，所以，又，，，所以，
所以，故选：A.
5．B
【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案.
【详解】因为，
两边平方得，
所以.
故选：B
6．B
【分析】设与的夹角为，依题意可得，从而求出，即可得解；
【详解】解：设与的夹角为，因为向量在向量上的投影向量为，
即，又是与向量方向相同的单位向量，即，
所以，又，所以，因为，所以；
故选：B
7．C
【解析】首先根据向量的性质，对选项逐一分析，得到其正确性，得到结果.
【详解】因为当时，与不一定平行，所以A不正确；
因为模相等的两个向量不一定相等，所以B不正确.
因为与的大小不确定，所以D不正确.
因为向量共线时，其方向是同向或反向，所以C正确；
故选C.
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量共线的条件，相等向量的条件，向量的运算性质，属于简单题目.
8．B
【分析】设＝，＝，推出＝，＝1，利用基本不等式推出，然后化简所求表达式，求解最小值即可.
【详解】解：设＝，＝，＜+，﹣＞＝，可得＝，
向量，满足2﹣2＝4，可得＝1，所以，
所以，
所以
故选：B.
【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的数量积的有关运算，考查向量的模的计算，考查基本不等式的应用，解题的关键是由＜+，﹣＞＝，得＝，由2﹣2＝4，得＝1，，从而可得，考查数学转化思想，属于中档题
9．AC
【解析】利用向量共线的坐标表示即可判断A，将展开后结合即可判断B，向量数量积不满足消去律，可判断选项C，根据向量的线性运算及三角形重心的性质可判断选项D.
【详解】对于选项A：因为，则，解得：，故选项A不正确；
对于选项B：，所以
，故选项B正确；
对于选项C：根据向量的几何意义可知若且，则不一定成立，故选项C不正确；
对于选项D：若点为的重心，取的中点，则
，故选项D正确，
故选：AC
10．ABC
【分析】利用向量及模的定义判断A；利用数量积的意义及运算律判断B；利用共线向量的定义判断C；由数量积计算模判断D作答.
【详解】对于A，只能说明与的大小相等，而与的方向可以是平面内任意方向，A不正确；
对于B，，则，而，当，时满足条件，没有，B不正确；
对于C，，当时，与可以是平面内的任意向量，即不一定有与共线，C不正确；
对于D，，则，，D正确.
故选：ABC
11．BD
【分析】取可判断AC选项的正误；利用向量相等的定义可判断B选项的正误；利用共线向量的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若，、均为非零向量，则，成立，但不一定成立，A错；
对于B选项，若，，则，B对；
对于C选项，若，，则的方向任意，C错；
对于D选项，若、共线且、共点，则、、三点共线，D对.
故选：BD.
12．BC
【分析】根据向量的加减运算，线性运算，数量积的性质以及运算对选项进行逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A错误；
对于B， ，因为四边形ABCD为菱形，∠A=60°，所以△ABD，△BCD均为等边三角形，所以，所以，故B正确；
对于C，因为△ABD为等边三角形，所以所在线段为中边上的中线，也即AB边上的高，所以，故C正确；
对于D，因为AD// BC，所以，所以，故D错误.
故选：BC
13．3
【分析】由，得，两边平方化简可得答案
【详解】由，得，
两边平方，得，
因为，
所以，得.
故答案为：.
14．
【分析】根据向量数量积运算法则，求得向量夹角，从而根据向量与的关系，求得模长.
【详解】∵，∴，
∵是单位向量，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
如图所示，等腰三角形AOB，当时，OP是的角平分线，
故
又∵，.
故答案为：1
15．##
【分析】依题意可得，再结合向量夹角公式即可求得夹角．
【详解】依题意有，
则，
所以，得，
又，所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面向量，考查学生逻辑推理与数学运算的核心素养．
16．
【分析】结合已知条件，首先用与表示出和，然后利用数量积的定义即可求解.
【详解】由中，，，，
则，，
又，且，即，
故，即，
从而，
故，
因为，
所以.
故答案为：.
17．
【分析】利用向量的数量积公式求解即可
【详解】由得
又
故答案为：
18．证明见解析
【解析】由平面向量的运算性质即可得证.
【详解】证明：由左边右边，
故等式成立．
【点睛】本题考查了平面向量的运算性质，属基础题.
19．（1）；（2）
【分析】1）根据平面向量的数量积求的模长；
（2）根据向量的数量积的运算律计算得出，即与的夹角为．
【详解】解：（1）单位向量，的夹角是，
则，；
又，
所以，
所以；
（2）由，则
，
所以，
所以与的夹角为．
【点睛】本题考查了平面向量的数量积与模长和夹角的计算问题，属于基础题．
20．(1)，
(2)
【分析】（1）由结合平面向量的减法化简可得出关于的表达式，进而可求得、的值；
（2）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值．
(1)
解：由可得，解得，
又因为，因此，，.
(2)
解：由平面向量数量积的定义可得，
因此，.
21．（1）见解析；（2）米
【解析】（1）利用方位根据向量的定义作出向量.
（2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解.
【详解】（1）作出向量，，；如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，
所以|米.
【点睛】本题主要考查平面向量的画法和向量模的求法，还考查了方位问题和平面几何知识，属于基础题.
22．（1），；（2）最大值和最小值分别为和．
【分析】（1）根据、可求解出关于和的表示，利用平行对应的线段比例关系求解出的表示；
（2）根据向量的三角不等式求解出的最大值和最小值，注意取等条件说明.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以；
（2）因为，取等号时三点共线且在中间，
又，取等号时三点共线且在中间，
综上可知，的最大值为，最小值为.