山西省吕梁市汾阳市第五高级中学2022-2023学年高一下学期数学第五次测试试题（含解析）

汾阳市第五高级中学2022-2023学年高一下学期数学第五次测试试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．已知向量，，若//，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
3．若向量，，则与共线的向量可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知点，则向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量＝(3，5)，＝(9，7)，则（ ）
A．⊥ B．// C．//(＋) D．(2－)⊥(＋)
6．已知，是单位向量，且，向量与，共面，，则数量积=
A．定值－1 B．定值1
C．最大值1，最小值－1 D．最大值0，最小值－1
7．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若＝＋λ (λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
8．已知向量，则（ ）
A． B．10 C． D．4
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在下列向量组中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．已知的顶点坐标为、、，点的横坐标为14，且、、三点共线，点是边上一点，且，为线段上的一个动点，则（　　）
A．点的纵坐标为-5
B．向量在向量上的投影向量为
C．
D．的最大值为1
12．下列说法中正确的是（ ）
A．相等向量的坐标相同，与向量的起点、终点的位置无关
B．当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标
C．两向量和的坐标与两向量的顺序无关
D．两向量差的坐标与两向量的顺序无关
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13．将向量＝(－2，－2)绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量，则的坐标为________.
14．已知向量，，若，则_____．
15．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，和，记与的夹角为，且，与的夹角为45°.若，则___________.
16．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和.现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形.若，则__________.
四、解答题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
17．在中，E，F分别为AB，AC的中点，建立适当的直角坐标系，求证：，且．
18．如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点.
(1)求证：；
(2)设，，，，求的最小值.
19．已知的顶点坐标分别为，求的值.
20．设非零向量，不共线.
（1）若，，且，求实数的值；
（2）若，，.求证：，，三点共线.
21．已知点及．
(1)当t为何值时，点P在x轴上 点P在y轴上 点P在第二象限
(2)O，A，B，P四点能否构成平行四边形 若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
22．某公园有三个警卫室A B C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.
(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x y的值；
(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据向量平行的坐标公式，结合正切的倍角公式，即可化简求得结果.
【详解】因为//，故可得，故可得，
又.
故选：
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，以及正切的倍角公式，属综合简单题.
2．A
【分析】根据向量线性运算的坐标表示计算可得；
【详解】解：因为，所以；
故选：A
3．D
【分析】求出向量的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可得出合适的选项.
【详解】由已知可得，
因为，，，，
因此，向量与共线.
故选：D.
4．D
【分析】由向量的坐标表示即可得出答案.
【详解】因为，所以.
故选：D.
5．D
【分析】A.，所以两个向量不垂直，所以该选项错误；
B.，所以两向量不平行，所以该选项错误；
C.，所以该选项错误.
D. ,所以该选项正确.
【详解】A.，所以两个向量不垂直，所以该选项错误；
B.，所以两向量不平行，所以该选项错误；
C.，，所以该选项错误.
D.由条件得，，
∴，
所以，所以该选项正确.
故选：D．
6．A
【分析】由题意可设，，再表示向量的模长与数量积，
【详解】由题意设，则向量，且，
所以，
所以，
又，
所以数量积，
故选：A．
【点睛】本题考查平面向量基本定理以及模长问题，用解析法，设出向量的坐标，用坐标运算会更加方便。
7．B
【分析】可求出的坐标，从而得出，而点P在直线y=2x上，从而可设P（x，y），这便可得到(x－2，y－3)＝(2＋5λ，2＋7λ)，从而得到x、y，将其代入直线方程，可解出λ的值.
【详解】设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.故选B.
【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数乘和加法运算，当两个向量的坐标相等时，则有在x轴，y轴上的坐标分别对应相等，本题属于基础题.
8．A
【解析】设，根据向量的坐标运算建立方程可求出，求向量模即可.
【详解】设，
所以．
因为，
所以
解得，
所以，所以．
故选：A
【点睛】本题主要考查了向量线性运算的坐标表示，向量的模，考查了运算能力，属于中档题.
9．ACD
【分析】当两个非零向量不共线时能作为基底，所以逐个分析判断两个向量是否共线
【详解】解：对于A，因为为零向量，所以这两个向量不能作为基底，所以A符合题意，
对于B，若共线，则存在唯一实数，使，即，所以，所以这样的不存在，所以不共线，所以这两个向量可以作为基底，所以B不符合题意，
对于C，因为，所以，所以这两个向量共线，所以不能作为基底，所以C符合题意，
对于D，因为，所以，所以这两个向量共线，所以不能作为基底，所以D符合题意，
故选：ACD
10．BC
【分析】判断向量是否共线即可.
【详解】对A，因为，所以共线，不能作为基底，故A错误；
对B，因为，所以不共线，可以作为基底，故B正确；
对C，因为，所以不共线，可以作为基底，故C正确；
对D，因为，所以共线，不能作为基底，故D错误.
故选：BC.
11．BCD
【分析】对于A：设，再由、、三点共线，得存在，使得，即可记得，，即可判断A是否正确；
对于B：向量在向量上的投影向量为，计算即可判断B是否正确；
对于C：设，由，得①，由点在边上，得②，解得，，进而可得点坐标，计算，，即可判断C是否正确；
对于D：由为线段上的一个动点，设，且，利用二次函数的性质，计算最大值，即可判断D是否正确.
【详解】解：对于A：设，
则，，
由、、三点共线，得存在，使得，
得，
解得，，
所以，故A错误；
对于B：由上可知，，
向量在向量上的投影向量为，故B正确；
对于C：设，则，
又，
则由，得①，
因为点在边上，
所以，即②，
由①②得，，，
所以，
所以，，
所以，故C正确；
对于D：因为为线段上的一个动点，
设，且，
则，，
所以，，
所以当时，的最大值为1.故D正确.
故选：BCD.
12．ABC
【分析】根据向量的坐标表示及向量的线性运算法则即可得到答案.
【详解】对于A、B：由向量坐标表示的定义，即可判断出A、B正确；
对于C：因为加法满足交换律，所以两向量和的坐标与两向量的顺序无关.故C正确；
对于D：因为减法不满足交换律，所以两向量差的坐标与两向量的顺序有关.故D错误.
故选：ABC
13．(2，－2)
【分析】数形结合即可求出向量的坐标.
【详解】易知与x轴正半轴的夹角为150°，且在x轴下方，
逆时针旋转120°得到向量在第四象限，与x轴正半轴夹角为30°，且在x轴下方，
∴＝(，－2).
14．
【分析】结合平面向量的坐标运算列方程组求出的值，进而求出的模长，结合平面向量的数乘的坐标运算即可求出结果.
【详解】解：向量，，，
，
，，，
．
故答案为：．
15．
【分析】以为坐标原点，向量方向为轴，与向量垂直的方向为轴，建立平面直角坐标系，然后根据条件分别求得点，点和点C的坐标，再由求解.
【详解】以为坐标原点，向量方向为轴，与向量垂直的方向为轴，建立平面直角坐标系.
点的坐标为，，，
可得点的坐标为，
，
所以，，
又点的坐标为，.
，
若，
则且，
所以，
所以.
故答案为：.
16．
【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.
【详解】如图，以A为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为
可知，，，
则，，即
又，
即，即，化简得
故答案为：
17．证明见解析.
【分析】建立坐标系，设出A、B、C的坐标，表示出E、F的坐标，利用向量证明即可.
【详解】根据题意，如图建立坐标系，
设，，
点分别为的中点，则，
则，
则有，
故，且.
18．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据几何图形，利用向量的线性运算，将用表示即可；
（2）由，将用表示，利用三点共线的性质得出，再利用基本不等式中“”的代换，求的最小值即可.
【详解】（1）证明：因为，所以，
又因为的中点，所以，
所以；
（2）因为，，，，
所以，，又因，
所以，又因，，三点共线，
所以，即.
所以
当且仅当，即时，等号成立，此时.
19．
【解析】依题意，可求得的三边的长，从而可判断三角形是以为直角的直角三角形，从而可得的值.
【详解】的顶点坐标分别为，
，，，，
同理可得：，满足，
是以为直角的直角三角形，
,，，
.
【点睛】本题考查了向量的坐标表示、向量的模，属于基础题.
20．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出的值；
（2）根据条件得到且有公共点,即可得到结论.
【详解】解：（1）∵，，且，
故，
即实数的值为：；
（2）证明：∵，，.
∴，
，
即且有公共点，
故，，三点共线．
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，用向量法证明三点共线，属于基础题．
21．(1)答案见解析
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据，求出，再根据点的位置可求出结果；
（2）根据与共线可得结论.
【详解】（1）解：．
①若点P在x轴上，则，所以；
②若点P在y轴上，则，所以；
③若点Р在第二象限，则，所以．
（2）解：因为，即，所以，故与共线，
即三点共线，故O，A，B，P四点不能构成平行四边形．
22．(1)
(2)两人约有小时不能通话
【分析】（1）先根据勾股定理确定这是一个直角三角形，然后可以建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据坐标运算可以计算出实数x y的值；（2）表示出点的坐标之后可以把坐标表示，立出不等式解不等式即可.
【详解】（1）因为，所以，
因此建立如图所示的平面直角坐标系，
，
设保安甲从C出发小时后达点D，所以有，
设，由，
即，当时，，
由
；
（2）设保安乙从B出发小时后达点E，所以点E的坐标为，
于是有，
因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话，
所以有，所以
解之：或，又
所以两人约有小时不能通话.