山西省吕梁市汾阳市第五高级中学2022-2023学年高一下学期数学第六次测试试题（含解析）

汾阳市第五高级中学2022-2023学年高一下学期数学第六次测试试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．已知空间向量满足 ， ， ， ，则=（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量， 向量， 则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
3．已知O是ABC的外心，且，则∠ACB＝（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形中，点是边的中点，点是边的靠近点的三等分点，那么（ ）
A． B．
C． D．
5．设为的重心，则（ ）
A．0 B． C． D．
6．已知正三角形的边长为6， ，，且，则点到直线距离的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
7．已知正三角形的边长为2，是边上的动点（含端点），则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“”类比得到“”；
②“”类比得到“”；
③“”类比得到“”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．边长为2的等边中，为的中点.下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设向量，满足，且，则下列结论正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
11．下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，则，，，四点共线
C．任意向量，
D．若向量，满足，则，共线
12．如图所示设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，．则下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13．设，点的坐标为，则点的坐标为________.
14．向量满足，则__________.
15．设点在直线上，点A在直线外，且,，，则的最小值为_________.
16．设V是已知平面M上素有向量的集合，对于映射，记的象为．若映射满足：对所有及任意实数都有，则f称为平面M上的线性变换，现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，，则；
②若是平面M上的单位向量，对，设，则f是平面M上的线性变换；
③对，设，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，，则对任意实数k均有．
其中的真命题是______（写出所有真命题的编号）．
四、解答题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
17．已知，，与的夹角为60°．试求：
（1）；
（2）与的夹角的余弦值．
18．已知平面向量不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量，都存在唯一的有序实数对，使得.
(1)证明：三点共线的充要条件是；
(2)如图，的重心是三条中线的交点，证明：重心为中线的三等分点.
19．已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？
20．如图，若D是内的一点，且，用向量的方法证明：．
21．平面向量，点Q为直线OP上的一个动点.
（1）当取得最小值时，求的坐标
（2）当点Q满足（1）的条件和结论时，求的值.
22．如图，在平行四边形中，，分别是边的中点，设，．
(1)用，表示，；
(2)若向量与的夹角为θ，求．
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．D
【分析】根据得到，两边平方，利用向量数量积公式求出.
【详解】因为，所以，则，
即，从而，
解得：.
故选：D
2．A
【分析】根据投影向量的求解公式求解即可.
【详解】在上的投影向量为
故选：A
3．B
【分析】根据三角形外心的性质，结合圆的性质、等腰三角形的性质进行求解即可..
【详解】设的中点为，如下图所示：
由，所以是的中点，
因为，的中点为，所以，
因此有，
因为，所以是等边三角形，
所以，
故选：B
4．D
【分析】由向量线性运算直接求解即可.
【详解】.
故选：D.
5．B
【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.
【详解】因为为重心，
所以，
所以，
故选：B.
6．D
【分析】由结合得出点在线段上运动，进而得出点到直线距离的最大值.
【详解】因为，所以，
所以．如图，设，
，则．因为，，
所以点在线段上运动，显然，当点与点重合时，点到直线的距离取得最大值．
故选：D
7．C
【分析】由给定条件可设，再利用基底向量表示相关向量，然后计算即可作答.
【详解】因正三角形的边长为2，且是边上的动点(含端点)，则设，
于是有，，而，
显然函数在上递减，在上递增，或时，
所以的最大值为6.
故选：C
8．C
【分析】根据平面向量数量积的运算法则可判断①②；根据等式左边与共线、等式右边与共线判断③.
【详解】根据数量积的运算性质可知①②是正确的；
因为与运算结果都是一个实数，
所以等式中，等号左边表示与向量共线的向量；
等号右边表示与向量共线的向量，二者不一定相等，故③错误，故选C．
【点睛】本题主要考查类比推理的应用以及平面向量数量积的运算法则，属于基础题. 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类对象上去，一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题.
9．ACD
【分析】由向量加减法法则，可以判断选项ABD，再由向量数量积公式可判断C.
【详解】根据向量加法法则可知，，故A正确；
根据向量减法法则可得，故B错误；
由向量数量积公式得，故C正确；
根据向量加法法则可知，，所以D正确.
故选：ACD.
10．CD
【分析】根据平面向量数量积的运算性质可求得，从而求出的值，进而可求出向量，的夹角余弦值，再由数量积的运算性质判断各选项式子的正误.
【详解】解：，；
；
；
；
又；．故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D正确.
故选：CD．
11．AD
【分析】A. ,所以该选项正确；
B. ，，，四点不一定共线，所以该选项错误；
C. ，所以该选项错误；
D.两向量的夹角为零度，所以，共线，所以该选项正确.
【详解】A. ,所以该选项正确；
B. 若，则，，，四点不一定共线，所以该选项错误；
C. 任意向量，，所以该选项错误；
D. 若向量，满足，则，所以，所以两向量的夹角为零度，所以，共线，所以该选项正确.
故选：AD
12．AB
【分析】根据反向坐标的定义把用表示后，根据向量的减法判断A，把模平方转化为数量积的运算判断B，计算判断C，由投影向量的定义求解判断D．
【详解】由题意，
，A正确；
，，B正确；
，C错误；
，，
在上的投影向量为，D错；
故选：AB．
13．
【分析】向量的坐标等于点的坐标减去点的坐标．
【详解】解：设点的坐标为，则，
，，点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，一个向量的坐标等于终点坐标减去起点的坐标，属于基础题．
14．
【分析】由已知向量的模，结合向量数量积的运算律展开、，即可求.
【详解】由题设，结合向量数量积的运算律知：，
，
∴两式相减可得：.
故答案为：2.
15．##2.4
【分析】由可判断，确定当时，最小，利用三角形面积即可求得答案.
【详解】因为，则，
即得，即，
由于,，故,
当时，最小，最小值为，
故答案为：
16．①③④
【分析】取，可判断①；取，可判断④；根据线性变换的定义验证即可判断②③.
【详解】取，可知①为真；
因为，所以，，当时，，所以②为假；
因为，所以，，所以，故③正确；
取，可知④为真.
故答案为：①③④
17．（1）（2）
【解析】（1）由向量的模的运算及数量积运算即可得解；
（2）由，结合向量的数量积求解即可.
【详解】解：（1）∵，
∴．
（2）∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了向量模的运算，重点考查了向量的数量积运算及向量夹角的运算，属基础题.
18．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念即得；
（2）根据向量共线定理及推论可得，，进而，即证；或利用平面几何知识即得.
【详解】（1）证明：必要性，三点共线，不妨设，
可得，，
又，
所以，得，得证；
充分性：，
，即，
，又与有公共点，
所以三点共线；
所以三点共线的充要条件是；
（2）法一（向量法）
的重心是三条中线的交点，
可设，，
因为三点共线，可设，
则，
所以，解得，
所以，为的三等分点，
同理可证为的三等分点，
重心为中线的三等分点.
法二（几何法）：连接，为的中点，
，
，
所以，同理可得，
所以重心为中线的三等分点.
19．存在
【分析】由已知得，所以要使与共线，则应有实数，使，即，从而得，进而可求得结果
【详解】因为向量，，
所以
要使与共线，则应有实数，使，
即，
即得.
故存在这样的实数λ，μ，只要，就能使与共线.
20．证明见解析
【分析】根据向量的加法，得到向量之间的表示，代入题目中的平方运算，得出向量之间新的等量关系，根据数量积的性质，可得答案.
【详解】设．则．
所以．
由题知，所以，即，
因为，所以，从面．
即．
21．(1)(2)
【分析】（1）设出，利用平面向量的坐标表示与运算法则，即可求出对应的坐标；（2）利用平面向量的夹角余弦公式，即可求出对应的余弦值．
【详解】（1）设，
∵点为直线上的一个动点，
∴向量与共线，∴，
即，
∴
，
∴当且仅当时得取得最小值，
此时.
（2）当时，，；
∴.
【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了学生的计算能力，属于中档题．
22．(1)，
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算即可求得答案；
（2）利用（1）的结论，求得，求出的值，根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】（1）根据题意，，
同理：．
（2）根据题意，由（1）的结论，，，
在平行四边形中，，
可知，即，
则
＝．
，
同理，
故．