山西省吕梁市兴县友兰中学2022-2023学年高一下学期数学第一次测试试题（含解析）

友兰中学2022-2023学年高一下学期数学第一次测试试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，用表示解开n（，）个圆环所需的最少移动次数，若数列满足，且当时，则解开5个圆环所需的最少移动次数为（ ）
A．10 B．16 C．21 D．22
2．已知数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足：，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．等差数列的前n项和为，若，则数列的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知数列：，，，，，，，，，， ，依它的前10项的规律，这个数列的第2 013项满足 ( )
A． B．
C． D．
6．已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn﹣nan＜0，对n＞1，n∈N*恒成立”是“d＞0”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分也非必要条件
7．已知等差数列的公差，前n项和为，若，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
8．已知在数列中，对任意的，恒成立，当且仅当时，取得最小值，且，则满足上述条件的的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．下列选项中能满足数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有（　　）
A． B．
C． D．
10．第31届世界大学生运动会将于今年8月在成都举行. 现安排包含甲、乙在内的5名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作. 则下列说法正确的是（ ）
A．若五人每人任选一项工作，则不同的选法有种.
B．若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案.
C．若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案.
D．若安排甲、乙两人分别从事翻译、安保工作，其余三人从礼仪、服务中任一项，则有12种不同的方案.
11．已知等差数列的前n项和为，且，，若，则i的取值为（ ）
A．1或2 B．3或4 C．5 D．11
12．已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是等比数列 C． D．
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13．已知等差数列中, ，公差，当的前n项和最大时, n=_______.
14．已知等差数列的前项和为，若，则________
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，f(x)＝，an＝log2，则S2 013＝________.
16．已知等差数列的公差为正数，，，为常数，则__________．
四、解答题(本题共6小题,每小题5分,共20分)
17．根据以下信息，分别写出数列的前5项：
(1)；
(2)．
18．已知等差数列：3，7，11，15，…．
(1)求的通项公式；
(2)135，是数列的项吗？如果是，是第几项？
19．设等差数列的前n项和为，若，求等于多少．
20．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3＝17，S7＝98．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn的最大值．
21．数列的前n项和记为，且，数列满足
（1）求数列，的通项公式
（2）设，数列的前n项和为,证明
22．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝25，a4＝16.
（1）求n为何值时，Sn取得最大值；
（2）求a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a20的值；
（3）求数列{|an|}的前n项和Tn.
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，结合数列递推公式，代入计算即可.
【详解】根据题意，由，
得.
故选：D.
2．B
【分析】先通过归纳得到数列的周期为3，即得解.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以数列的周期为3，
因为，
所以.
故选：B
3．D
【解析】取特殊值即可求解.
【详解】当时，，显然AC不正确，
当时，，显然B不符合，D符合
故选：D
4．B
【分析】由已知可得得，逐项排除可得答案.
【详解】因为是等差数列，且，得，
对于A， ，故错误；
对于B， ，故正确；
对于C， ，故错误；
对于D，，故错误.
故选：B.
5．A
【分析】由数列前10项分析可知将此数列分组，第组共含有项，利用数列求和求出2013所在的组，通过规律求出的值，从而确定选项.
【详解】解：将此数列分组，第组共含有项，则前组共含有项．
当时，共有项；
当时，共有项．
所以第2013项为第63组第60个数，所以．
故选：A
6．C
【分析】将，an＝a1+（n﹣1）d代入Sn﹣nan＜0，并化简，再结合n的取值范围，即可求解．
【详解】解：，an＝a1+（n﹣1）d，
则Sn﹣nanna1﹣n（n﹣1）d，
则“Sn﹣nan＜0，对n＞1，n∈N*恒成立”，故d＞0，
若d＞0，则Sn﹣nan0，对n＞1，n∈N*恒成立，
故“Sn﹣nan＜0，对n＞1，n∈N*恒成立”是“d＞0”的充分必要条件．
故选：C．
7．D
【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B；利用等差数列的性质即可判断选项C；由可得且，即可判断选项D，进而得出正确选项．
【详解】因为是等差数列，前项和为，由得：
，即，即，
对于选项A：由得，可得，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B正确；
对于选项C：，若，则，故选项C正确；
对于选项D：当时，，则，因为，所以，，
所以，故选项D不正确，
故选：D
8．A
【解析】由条件可得是公差为3的等差数列，求出，根据最小值为时取得建立不等式，求出范围，结合确定即可求解.
【详解】，
，
即，
是公差为3的等差数列，
由，可得，
所以，
又，
，
由当且仅当时，取得最小值可得：
或
解得或
又
故，
所以满足上述条件的的个数为1个.
故选：A
【点睛】关键点点睛：由递推关系可构造等差数列，求出，关键点在于当时，求出二次函数对称轴范围及与的关系，建立关于的不等式，结合，求出合适的，属于中档题.
9．ACD
【分析】根据给定的通项公式求出前几项判断是否符合已知数列各项.
【详解】对A：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；
对B：当为奇数时，或，当为偶数时，，不符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；
对C：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；
对D：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；
故选：ACD
10．ABC
【分析】根据题意，由排列组合依次分析判断即可
【详解】解：对于A，五人每人任选一项工作，则每人都有4种选法，所以不同的选法有，所以A正确，
对于B，分两步，先将5人分成4组，再将分好有4组安排不同的工作，则有种不同的方案，所以B正确，
对于C，分两步，先从5人中任选2人，安排礼仪工作，再将剩下的3 人安排到其它3个工作去，则共有种不同的方案，所以C正确，
对于D，分两步，先甲、乙两人分别安排从事翻译、安保工作，然后剩下3人每人都有两种法，所以共有种不同的方案，所以D错误，
故选：ABC
11．ABC
【分析】设等差数列的公差为d，根据，，求得通项公式求解.
【详解】解：设等差数列的公差为d，
因为，，
解得，，
∴．
若（i，，且），
所以，即，
∴，或，或，或，
或，，
∴i的取值集合是．
故选：ABC．
12．ABD
【分析】先由分析出数列的奇数项和偶数项均为等比数列，再逐项判断即可.
【详解】解：数列中，，，
所以，即
因为，所以
所以
所以数列的奇数项和偶数项，均为以为公比的等比数列
所以
对A，，故A正确；
对B，由分析知，是等比数列，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过对已知数列的递推公式进行变形整理，得到新的递推公式，从而得到数列的奇数项和偶数项均为等比数列.
13．8
【分析】根据已知条件，求出等差数列的前项和，根据其函数性质，即可容易求得结果.
【详解】因为数列是等差数列，，公差，
故可得其前项和，又的对称轴为，
故当时，该数列的前项和取得最大值.
故答案为：.
【点睛】本题考查等差数列前项和最值的求解，属简单题.
14．
【分析】设等差数列的公差为，根据求得首项和公差，从而可得出答案.
【详解】解：设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，
.
故答案为：31
15．log2＋1
【详解】an＝log2f(n＋1)－log2f(n)，
∴S2 013＝a1＋a2＋…＋a2 013
＝[log2f(2)－log2f(1)]＋[log2f(3)－log2f(2)]＋…＋[log2f(2 014)－log2f(2 013)]
＝log2f(2 014)－log2f(1)
＝log2－log2
＝log2＋1.
16．
【详解】由题设, , 即，可得两式相减得，由于，所以，
由题设,，可得，由知,.
因为是等差数列，所以令，解得，故,由此可得是首项为1,公差为4的等差数列,，是首项为3,公差为4的等差数列，所以.
17．(1)，，，，；
(2)，，，，.
【分析】直接利用首项和递推公式计算即可.
(1)
因为，
所以，，，，
综上，，，，，；
(2)
因为，
所以，，，，
综上，，，，，.
18．(1)
(2)135是数列的项，是第34项．是数列的项，是第项．
【分析】（1）求出公差后可得通项公式；
（2）令或求出正整数即可得．
(1)
设数列的公差为d．
依题意，有，，
∴．
(2)
令，得，∴135是数列的项，是第34项．
∵，且，
∴是数列的项，是第项．
19．45
【分析】利用求解基本量，即得解
【详解】∵等差数列的前n项和为，，
则有，
解得
∴．
20．(1)
(2)100
【分析】（1）由已知结合等差数列的性质及求和公式先求出，进而可求公差d,然后结合通项公式可求；
（2）先求出等差数列的和，然后结合二次函数的性质可求．
【详解】（1）因为{an}是等差数列，设公差为d，
因为
所以，
由
所以；
（2），
对称轴为
当时，取得最大值．
21．（1），（2）
【分析】（1）利用递推关系求数列{an}通项公式，同时可求得{bn}（2）利用裂项相消法求后可证．
【详解】（1）∵，∴，∴．
时，，∴，
∴，
∴是以5为首项，5为公比的等比数列，
∴．
∴．
（2），
∴．
【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式及数列求和，
求和关键看通项的结构形式，如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，
则用裂项相消法；
22．（1）9；（2）－50；（3）.
【分析】（1）根据等差数列中的值，即可求得d，进而可得通项公式，进而可得an>0时最大n值，即可得答案.
（2）根据题意，可得也构成等差数列，代入等差数列前n项和公式，即可得答案.
（3）由（1）得，当n≤9时，an>0；当n>9时，an<0，分别求得n≤9时的前n项和和n>9时的前n项和，即可得答案.
【详解】解：（1）在等差数列{an}中，a1＝25，a4＝16，
∴公差＝－3.
∴an＝－3n＋28.
令an＝－3n＋28≥0且n∈N*，得n≤9.
∴当n≤9时，an>0；当n>9时，an<0.
∴当n＝9时，Sn取得最大值．
（2）∵数列{an}是等差数列，
∴也构成等差数列，
∴a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a20＝＝10a11＝10×(－3×11＋28)＝－50.
（3）由（1）得，当n≤9时，an>0；当n>9时，an<0.
∴当n≤9时，Tn＝a1＋a2＋…＋an
＝
当n>9时，Tn＝a1＋a2＋…＋a9－(a10＋a11＋…＋an)＝2S9－Sn
＝
所以
【点睛】解题的关键是熟练掌握等差数列的通项、求和公式，并灵活应用，求解{|an|}的前n项和，应判断{an}的各项的正负，再去掉绝对值求解，属中档题.