山西省吕梁市兴县友兰中学2022-2023学年高一下学期数学第三次测试试题（含解析）

友兰中学2022-2023学年高一下学期数学第三次测试试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．化简（ ）
A． B．
C． D．
2．在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
3．中，为边上一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．若向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，点是的中点，，线段与交于点，动点在内部活动（不含边界），且，其中、，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量 ，的夹角为，且，，则在方向上的投影为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．有下列说法，其中错误的说法为（ ）．
A．若∥，∥，则∥
B．若，，则
C．若非零向量,,，满足，则
D．若∥，则存在唯一实数使得
10．下面给出的关系式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．相交弦定理是平面几何中关于圆的一个重要定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知点P是直径为m的圆O内的定点，且OP＝m（m＞0，m∈R），弦AC、BD均过点P．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．当AC⊥BD时，
D．当AC过点O且AB＝BC时，
12．如图所示设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，．则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
三、填空题
13．已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则_____________.
14．设向量，满足，，与的夹角为60°，则___________．
15．在中，，，E是中点，则______.
16．在菱形中，，，已知，，，则___________.
四、解答题
17．化简下列各式:
(1);
(2).
18．已知，，.
（1）求与的夹角；
（2）求.
19． 设是不共线的两个向量，已知，，，若A、B、D三点共线，求k的值.
20．已知点，，是单位圆上圆周的三等分点，设，，.
(1)求证：；
(2)若，求实数的值.
21．如图，在等腰梯形中，，，，E是边的中点．
(1)试用，表示，；
(2)求的值．
22．已知向量满足：.
（1）求向量与的夹角；
（2）求.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据向量加法的运算法则化简即可.
【详解】.
故选：B
2．C
【分析】利用图形进行向量的加减、数乘运算，求出答案
【详解】连接AC，BD相交于点O，则
故选：C
3．A
【分析】由、代入化简可得关于、的表达式.
【详解】，则，解得，
故选：A.
4．B
【分析】根据数量积的运算律得到，再根据计算可得；
【详解】解：因为，，，所以，
即，所以，设与的夹角为，
则，因为，所以；
故选：B
5．C
【分析】根据给定条件，可得，再利用共线向量的推论列式计算作答.
【详解】在中，，即，又，
因此，而点B，P，N共线，于是，解得，
所以实数m的值为.
故选：C
6．D
【分析】连接并延长交于点，设，，则，，利用平面向量的基本定理可得出，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】如下图所示，连接并延长交于点，
设，，则，，
，
，
又，，，
，
，，则，即，即，
因此，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用平面向量的基本定理求与参数有关的代数式的取值范围，解题的关键在于引入参数表示、，并结合不等式的基本性质求出的取值范围.
7．C
【分析】利用数量积的定义可求得，进而可求得在方向上的投影.
【详解】根据题意，得，
设与 的夹角为 ,则，
所以在方向上的投影为，
故选：C.
8．A
【分析】由面积比得，再利用三点共线可得出的关系，从而利用基本不等式可求得的最小值．
【详解】如图，设与交于点，
由的面积是的面积的2倍，可得，
所以，
又三点共线，即共线，
所以存在实数使得，
因为，
所以，消去k，可得，
又因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值为1．
故选：A．
9．ACD
【分析】根据向量的基本概念以及数量积运算法则对各选项逐一判断即可.
【详解】对于A，若，则当∥，∥时不一定满足∥，故A错误.
对于B，当，时，根据向量的传递性则有，故B正确.
对于C，若，则，即，无法推出，故C错误.
对于D，若，则当∥时不一定存在唯一实数使得，故D错误.
故选:ACD
10．BC
【分析】由数量积的定义依次判断即可.
【详解】对于A，，，显然不一定相等，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，故，C正确；
对于D，，则，D错误.
故选：BC.
11．BC
【分析】根据平面向量数量积的定义和运算性质，结合平面向量的加法几何意义、相交弦定理逐一判断即可.
【详解】由已知可知该圆的半径为.
A：设弦AC的中点为，
由相交弦定理可知：，
所以，
因为，所以，因此，所以本选项说法不正确；
B：由平面向量数量积的定义和相交弦定理可知：
，所以本选项结论正确；
C：由AC⊥BD，相交弦定理可知：
，所以本选项结论正确；
D：当AC过点O且AB＝BC时，如图所示：
显然AC是直径，，，
，
由相交弦定理可知：，
解得，
，
，
，
所以本选项结论不正确，
故选：BC
【点睛】关键点睛：使用相交弦定理，运用平面向量数量积的运算性质是解题的关键.
12．ABD
【分析】，则，故A正确；，故B正确；，故C错误；由于在上的投影为，故D正确.
【详解】对于A：，则，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：由于，故在上的投影为，故D正确。
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义，关键在于紧扣新定义，进行向量的坐标运算和模的计算，向量的投影的计算，以及向量的数量积的计算.
13．4
【解析】根据平面向量投影的定义,结合平面向量数量积运算即可得解.
【详解】设与的夹角为,
∵,
∴.
又∵在上的投影向量为,
∴,
∴.
故答案为:4
【点睛】本题考查了平面向量数量积定义及投影的运算,属于基础题.
14．
【分析】把模平方转化为数量积的运算求解．
【详解】，
所以．
故答案为：．
15．2
【分析】由向量的线性运算结合数量积的定义及运算律求解即可.
【详解】
.
故答案为：2.
16．
【分析】取为一组基底，把用表示出来，直接进行数量积运算即可求解.
【详解】取为一组基底，则，.
在菱形中， ，.
因为，，所以,,
所以.
,
所以
故答案为：.
17．(1).(2)
【解析】(1)根据向量的加法法则求解即可.
(2)根据向量的加法法则求解即可.
【详解】解:(1).
(2)
.
【点睛】本题主要考查了向量的加法法则,属于基础题型.
18．（1）；（2）
【分析】（1）由题意结合平面向量数量积的运算律可得，再由平面向量数量积的定义即可得，即可得解；
（2）由题意结合平面向量数量积的知识可得，运算即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
因为，，所以，解得，
又，所以；
（2）由题意，
所以.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
19．
【分析】根据三点共线可得向量平行，建立方程求解即可.
【详解】由题意可得：，
∵A、B、D三点共线，则，
故存在实数，使得，
即，且是不共线的两个向量，
则，解得，
故k的值为.
20．(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）由圆的性质可得各向量的模长及夹角，计算数量积可证；
（2）将等式左右分别平方，结合向量数量积可得方程，解方程即可.
（1）
由题意可得，且两两夹角均为，
所以由题意可得，且两两夹角均为，
所以，
所以，
所以；
（2）
因为，所以，
即，
又，且，
所以，即，
解得或.
21．(1)，
(2)
【分析】（1）利用几何图形，结合平面向量基本定理，利用基底表示向量；
（2）以向量为基底，表示向量，结合向量数量积的运算律和定义，即可求解.
【详解】（1），
，
．
（2）由题意可知，，，
所以
．
22．（1）；（2）.
【分析】（1）设向量与的夹角，利用向量的数量积公式计算，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：，代入计算可得.
【详解】（1）设向量与的夹角，
，解得，
又，
（2）由向量的模长公式可得：
==.
【点睛】本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.