山西省吕梁市兴县友兰中学2022-2023学年高一下学期数学第四次测试试题（含解析）

友兰中学2022-2023学年高一下学期数学第四次测试试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．已知向量，，若，则实数的值为（ ）.
A． B．0 C．1 D．2
2．已知向量，，且与共线，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
4．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．5 D．25
5．在中，，若O为内部的一点，且满足，则
A． B． C． D．
6．设向量，，，若，设、的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
7．在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为DC上靠近C点处的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知平面向量，，若是直角三角形，则的可能取值是（ ）
A．2 B． C．5 D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．已知，，下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．下列命题中正确的是（ ）
A．非零向量 满足 ，则 与 的夹角为
B．已知非零向量 ，若 ，则 的夹角为锐角
C．若 是 所在平面上的一点，且满足 ，
则 为等腰三角形
D．在 中，若点 满足 ，则 为 的垂心
12．已知正方形的对角线长为，是它的内切圆一条弦，点为正方形四条边上的一个动点，当弦的长度最大时，不可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13．已知向量，，则、的夹角为_________．
14．已知向量，若，则________．
15．已知点是所在平面内的一点，若，则__________．
16．在中，点分别在上，且满足，，点在上，且满足.若，，设，，则的最大值为_________.
四、解答题(本题共6小题,每小题5分,共20分)
17．已知向量，，，．
(1)求；
(2)若，求实数的值．
(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
18．设，，．
(1)当t=4时，将用和表示；
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数t应满足的条件．
19．已知，，求．
20．已知向量，，.
（1）若，，求实数的值；
（2）记，若恒成立，求实数的取值范围.
21．设向量，向量
（1）求及；
（2）若函数，求的最小值和最大值.
22．已知，当为何值时，平行时它们是同向还是反向？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】利用向量共线的坐标公式计算即可．
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查向量共线的应用，属于基础题．
2．D
【分析】由向量共线，即可求出参数，进而利用数量积的坐标公式即可求的值
【详解】向量，知：
又与共线，知：，为实数，即
∴，故
故选：D
3．D
【分析】利用三点共线时，由三点确定的两个向量共线进行判断即可
【详解】对于A，因为，且，所以与不共线，所以A，B，C三点不共线，所以A错误，
对于B，因为，所以，
因为，所以与不共线，所以A，B，D三点不共线，所以B错误，
对于C，因为，且，所以与不共线，所以B，C，D三点不共线，所以C错误，
对于D，因为，所以，因为，所以，所以与共线，因为与有公共端点，所以A，C，D三点共线，所以D正确，
故选：D
4．C
【分析】先由，得，求出，然后求出，从而可求出其模
【详解】因为，所以，即，
解得，
所以
所以，
故选：C．
5．C
【详解】因为，所以 是的重心；所以 又故选C
6．D
【分析】由已知利用平面向量垂直的坐标表示可求的值，根据平面向量数量积的坐标表示、模、夹角即可求解．
【详解】，，，
，可得，可得，
，
，
，可得，，
设、的夹角为，则．
故选：．
【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，考查了转化思想，属于基础题．
7．A
【分析】根据向量的加减法运算即可.
【详解】如图，
因为E为AB的中点，F为DC上靠近C点处的三等分点，
所以,
故选：A
8．A
【分析】计算，考虑当是直角顶点，是直角顶点，是直角顶点三种情况，根据向量的数量积为0得到答案.
【详解】，，则，
当是直角顶点时：，；
当是直角顶点时：，无解；
当是直角顶点时：，；
综上所述：或.
故选：A
9．AB
【分析】根据向量坐标表示的线性运算即可得出答案.
【详解】解：因为，，
所以，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：AB.
10．ABC
【分析】根据基底向量的定义，结合，逐项分析判断.
【详解】能作为平面内的基底，则两向量与不平行，
A选项，，∴与不平行；
B选项，，∴与不平行；
C选项，，∴与不平行；
D选项，，∴.
故选：ABC.
11．ACD
【分析】对于A，根据向量的加法与减法法则，易判断是等边三角形即可求解；
对于B，根据向量的数量积定义即可求解；
对于C，根据向量的数量积判断得 ，又根据E为AB中点，即可判断；
对于D，根据题意，结合向量的运算得 ， ，即可判断.
【详解】对于A，如图，作 ，则，又 ，则由题意知是等边三角形，则可设与的夹角为 ，所以A正确；
对于B，设 与的夹角为，则由得 ，又因为 ，所以 ，所以B错误；
对于C，如图，
取AB中点为E，连接CE，
因为，
所以CE⊥BA，又E为AB中点，所以CA =CB， 故三角形ABC的形状一定是等腰三角形，所以C正确；
对于D，由
同理可得 ，所以P为的垂心，故D正确.
故选ACD.
12．AD
【分析】建立平面直角坐标系，分析出为圆的直径，设，则满足.利用向量坐标化计算出.对照四个选项,即可得到答案.
【详解】因为正方形的对角线长为，所以边长为.
建立如图示的平面直角坐标系，则正方形的内切圆的方程为
当弦的长度最大时，为圆的直径.设，则,且.
当点P在CD上时，可设.
则，所以.
因为，所以.即.
当点P在AB上时，可设.
则，所以.
因为，所以.即.
当点P在BC上时，可设.
则，所以.
因为，所以.即.
当点P在AD上时，可设.
则，所以.
因为，所以.即.
综上所述：.
对照四个选项,不可能为：AD.
故选：AD.
13．
【分析】设、的夹角为，利用平面向量数量积的坐标运算求出的值，结合的取值范围可求得角的值.
【详解】，，则，
，则.
故答案为：.
14．
【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，求出的值，即可得到、的坐标，再求出，最后根据向量模的坐标表示计算可得.
【详解】解：因为，且，
所以，解得，所以，，
则，所以.
故答案为：
15．
【分析】设为的中点，为的中点，为的中点，由得到，再进一步分析即得解.
【详解】如图，设为的中点，为的中点，为的中点，
因为，
所以可得，
整理得.又，
所以，所以，
又，所以．
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的运算法则和共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解答本题的关键是作辅助线，属于中档题.
16．18
【分析】根据题意，利用表示向量，再根据向量的模得，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：因为在中，点分别在上，且满足，，
所以，是的三等分的点，分别靠近点，
所以，，即，
所以，，
所以，
所以，
所以，，
所以，当且仅当时等号成立.
所以，的最大值为.
故答案为：
17．(1)
(2)
(3)且
【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示即可求出；
（2）根据平面向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标表示即可解出；
（3）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出．
（1）
因为，，，．
（2）
，，
，， 解得．
（3）
与的夹角是钝角，，且，
，且，解得且．
18．(1)
(2)
【分析】（1）把代入向量，以和为基底写出，利用向量相等列式求出待求系数即可求解；
（2）由已知可知，向量与不共线，根据坐标列出式子，解之即可.
【详解】（1）当时，，设，
所以，
所以，解得；
所以．
（2）若A，B，C三点能构成三角形，则有与不共线，
又，
，
则有，所以．
19．-63
【分析】利用平面向量的加法，减法和数量积运算求解.
【详解】因为，，
所以，
所以.
20．（1）；（2） .
【分析】（1）先建立方程，再将代入得到，最后求解即可；
（2）先建立方程，再求出的取值范围，再建立不等式，参变分离得到，最后求实数的取值范围.
【详解】（1）∵，∴ ，整理得：
∵，，解得：
（2）∵，，，
∴
∵，∴，
∴，
∴，
若恒成立，
则恒成立，
又∵，
∴，
故实数的取值范围为.
【点睛】本题考查利用向量共线求参数、向量数量积的坐标表示、利用恒成立不等式求参数范围，是中档题.
21．（1），；（2）的最大值是，的最小值是2
【分析】（1）代入数量积公式和模长公式化简；
（2）使用换元法将转化为二次函数求最值．
【详解】解：（1）由已知，
，
，
∴；
（2），
令，则，
令，
在上单调递增，
，
的最大值是，的最小值是2．
【点睛】本题考查了三角函数恒等变换，函数的最值，换元思想，注意换元后的定义域是解题关键，属于中档题．
22．见解析
【分析】分别求出与坐标，根据向量平行的充要条件，构造关于的方程，解方程求出值，进而根据数乘向量的几何意义，可判断两个向量的方向．
【详解】因为，
当时，
则，解得：
此时，
==
=．
所以反向．
【点睛】本题考查的知识点是平行向量与共线向量，熟练掌握平面向量的运算法则及向量共线的充要条件是解答的关键．