山西省吕梁市兴县友兰中学2022-2023学年高一下学期数学第六次测试试题（含解析）

友兰中学2022-2023学年高一下学期数学第六次测试试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．已知的三边长分别为，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则复数共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．若复数z满足，其中i为虚数单位，则（ ）
A． B．
C． D．
4．在中，，则（ ）
A． B． C．6 D．5
5．复数等于
A． B． C． D．
6．若为非零实数，且下列四个命题都成立：①若，则；②；③；④若，则.则对于任意非零复数，上述命题仍成立的序号是（ ）
A．② B．①② C．③④ D．①③④
7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC是锐角三角形，且满足，若△ABC的面积，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．设，则下列叙述中正确的是（ ）
A．的虚部为 B．
C．∣z∣= D．在复平面内，复数对应的点位于第四象限
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
11．在中，内角所对的边分别为，且，则（ ）
A． B．
C．周长的最大值为3 D．的最大值为
12．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则的面积是15 D．若，则外接圆半径是
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13．若(，)，则___________.
14．若复数满足（是虚数单位），则__________
15．已知复数是关于x的方程的一个根，若，且，则_______．
16．在中，若则的最大值为_______.
四、解答题(本题共6小题,每小题5分,共20分)
17．某潜艇为躲避反潜飞机的侦察，紧急下潜50m后，以15km/h的速度沿北偏东45°前行5min，后又以10km/h的速度沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦察．试画出潜艇整个过程的位移示意图．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC周长的取值范围．
19．在中，，，，解三角形.
20．已知的周期为.
（1）将化为形式；
（2）在中，a，b，c分别是的对边，若，且外接圆半径为1，，求边c的大小.
21．在①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.
已知中，，，分别是内角，，的对边，_____________.
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值.
22．在锐角中，角的对边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由余弦定理求解即可.
【详解】
故选：A
2．D
【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数和复数的定义可得结果.
【详解】，则，
故复数共轭复数的虚部为.
故选：D.
3．B
【分析】利用复数的运算法则求解.
【详解】由题知，.
故选：B.
4．B
【分析】由正弦定理可得，即可求出，再由余弦定理计算可得；
【详解】解：因为，由正弦定理可得，又，所以，，
因为
所以，即，解得，
故选：B
5．A
【分析】根据复数除法运算求解即可.
【详解】解：；
故选：A
6．A
【分析】由可判断①错误，由复数运算法则可判断②正确，由可判断③错误，由，满足可判断④错误.
【详解】对于①，任意非零复数的平方可能为负数，故①错；
对于②，根据复数的运算法则，可得，故②正确；
对于③，存在非零复数，使，如，故③错误；
对于④，如复数，满足，故④错；
故选：A．
7．C
【分析】根据正弦定理可得，，由基本不等式可求出的最小值，再根据余弦定理以及正弦定理可将化成关于角的函数，利用三角函数的性质即可求出最大值，从而得到取值范围．
【详解】因为，由正弦定理得，即．
，当且仅当时取等号．
因为，所以
，其中，而，所以当时，取最大值．即的取值范围是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查正余弦定理的应用，以及利用三角函数的性质求范围，解题关键是通过消元思想将所求式子转化成关于角的函数，再结合辅助角公式求出其最大值．
8．A
【分析】根据已知条件，求得的范围，结合三角形面积公式以及余弦定理表达出关于的函数关系，再求函数值域即可.
【详解】因为，即，由余弦定理可得，
即，又，故可得，由正弦定理可得：
，则，
，又均为锐角，故可得，即；
由可得，又，故可得；
由，可得；
又
，
又，，解得或（舍去负值）,
则，即的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点睛：解三角形中的范围问题，处理问题的关键是能够根据已知条件，结合正余弦定理，将目标式转化为关于的函数，同时要注意的取值范围.
9．BC
【分析】先根据复数的除法法则求得值，再根据复数的概念求出复数的虚部、共轭复数、模，再根据复数的几何意义判定选项D错误.
【详解】由，得，
则：的虚部为，即选项A错误；
，即选项B正确；
，即选项C正确；
复数对应的点位于第一象限，即选项D错误.
故选：BC.
10．ABD
【分析】根据正弦定理的性质即可判断.
【详解】对于A，在，因为，由正弦定理得，，故A正确；
对于B，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角，所以，故B正确；
对于C，若，根据余弦函数的单调性，得，故C错误；
对于D，由正弦定理得，则，故D正确.
故选：ABD.
11．BCD
【分析】对于AB，利用正弦定理判断即可，对于C，利用余弦定理结合基本不等式可判断，对于D，由选项C可知，结合基本不等式可得，从而可求出的最大值
【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得，所以，所以A错误.
对于B，因为，所以由正弦定理得，所以，所以B正确.
对于C，根据余弦定理得，所以，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以C正确.
对于D，由选项C可知，所以，则，当且仅当时，等号成立. ，所以D正确.
故选：BCD
12．ABD
【分析】先利用已知条件设，进而得到，利用正弦定理可判定选项A；利用向量的数量积公式可判断选项B；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D.
【详解】依题意，设，
所以，
由正弦定理得：，故选项A正确；
，
故,选项B正确；
若，则，所以，所以，
所以，故的面积是：，故选项C不正确；
若，则，所以，所以，
所以，则利用正弦定理得：的外接圆半径是：，
故选项D正确.
故选：ABD
13．1
【分析】先对等式的左边化简，然后利用复数相等的条件列方程组，可求出的值，从而可求得答案
【详解】(，)，即，
所以，解得，
所以.
故答案为：1
14．
【分析】由条件可得，然后可得答案.
【详解】因为，所以，所以
故答案为：
15．
【分析】根据已知条件设出复数，根据复数的模及一元二次方程在复数域存在互为共轭复数的两个虚根，再结合韦达定理即可求解.
【详解】设，，
，解得或（舍）.
.
因为复数是关于x的方程的一个根，
所以方程的两根分别为，，则
，解得.
所以.
故答案为：.
16．##
【分析】由已知的等式通过切化弦，可得，进而利用正弦定理可得，再结合余弦定理可得的最大值.
【详解】解：因为
所以，，
即，
所以，
所以，，即，
所以，，整理得，
所以，．
所以，，即的最大值为.
故答案为：
17．答案见解析
【分析】根据已知条件画出图象.
【详解】，.
，，
整个过程为，其中.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由三角形的面积公式结合正弦余弦定理化简即可得到答案;
（2）先利用余弦定理及基本不等式得到，然后根据三角形两边之和大于第三边，即可求出周长的取值范围..
【详解】（1）由，又，
由，则.
由正弦定理得，
所以.
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）由余弦定理得，
∴，得，当且仅当时取等号．
又，（三角形任意两边之和大于第三边）
∴，
∴周长的取值范围为．
19．，，.
【解析】先求得，再由正弦定理即可得解.
【详解】由三角形内角和定理知，
所以，
由正弦定理可得；
.
20．（1）；（2）1.
【分析】（1）根据三角恒等变换得，进而根据周期性即可得答案；
（2）根据已知，结合（1）得，进而由正弦定理得，再根据余弦定理解方程即可得.
【详解】解:（1）
因为函数的周期为，所以，即，
所以
（2）因为，所以，
又因为，所以，即，
所以根据正弦定理得 ，
所以由余弦定理得，解得.
所以.
21．(1)
(2)
【分析】（1）选择①，由正弦定理化边为角，结合诱导公式，两角和的正弦公式变形后可得；选择②，由正弦定理化边为角，结合诱导公式，两角和的正弦公式变形后可得；选择③，由积化和差公式变形后可求得；
（2）由余弦定理、结合基本不等式得的最大值，再由三角形面积公式得面积最大值．
(1)
选择①
由正弦定理得，
因为，
所以，
整理得，
因为，故，又
即角
选择②
由正弦定理得，
整理得，
由，
故，
因为，故，又
即角.
选择③
由和差化积公式得
故，
因为，所以，即角.
(2)
由余弦定理得
所以，，
故的面积，
即的面积的最大值为.
22．(1)；
(2).
【分析】（1）正弦定理边角关系、三角恒等变换可得，结合锐角三角形求角的大小；
（2）正弦定理将化为内角的三角函数的关系，再借助三角函数的性质求解：
【详解】（1）∵，
∴由正弦定理得：，
∴，即，
∴，
∵为锐角三角形，
∴，则，即.
（2）∵，
∴由正弦定理有：，
∴，
∵，则，
∴
.
∵为锐角三角形，
∴，故，
∴，
∴.