山西省吕梁市兴县友兰中学2022-2023学年高一下学期数学第八次测试试题（含解析）

友兰中学2022-2023学年高一下学期数学第八次测试试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
2．设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ）．
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共线向量 D．共起点的向量
3．已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．已知角的终边经过点则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，且是第一象限角，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
7．若非零不共线的向量满足，则（ ）．
A． B． C． D．
8．下列命题：①若，则；
②若，，则；
③的充要条件是且；
④若，，则；
⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得
B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上
C．边长为的正方形中
D．若点为的重心，则
10．下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
D．“”的充要条件是“且”
11．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．的值大于零
C．若，则 D．若，，则
12．下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13．已知，，则______.
14．_________.
15．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________.
16．给出下列命题：①若，则；②若，则；③，其中正确命题的序号是____
四、解答题(本题共6小题,每小题5分,共20分)
17．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，点A在点O北偏西45°方向；
(2)，点B在点O正南方向．
18．如图在直径为的轮上有一长为的弦是该弦的中点，轮子以的速度旋转，则经过后点转过的弧长是多少？
19．在△中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的值；
（2）若，，求的面积.
20．计算
（1）；
（2）
21．已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
22．已知求：
(1)
(2)
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】先根据三角函数的定义求得角的三角函数值，再利用诱导公式化简即可得解.
【详解】因为角的终边与单位圆的交点为，
所以，
则.
故选：A.
2．B
【详解】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解.
【分析】是正的中心，
向量，，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
是正三角形的中心，
到三个顶点的距离相等，
即，
但是向量，，它们不是相同的向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.
故选：B.
3．D
【分析】设AB的中点为D，可得，进而可得，得出O是AD的中点，即可求解面积.
【详解】解：根据题意，设AB的中点为D，是等边三角形，则，
AB的中点为D，则，
又由，则，则O是CD的中点，
又由的边长为4，则，，则，
则，
故选：D．
【点睛】关键点睛：本题考查向量的相关问题，解题的关键是判断出O是中线AD的中点.
4．D
【解析】先根据诱导公式求出点的坐标，再根据三角函数的定义即可求出的值.
【详解】解：，
，
根据三角函数的定义得到：，
.
故选：D.
5．A
【分析】根据题意，结合诱导公式与同角的三角函数关系，即可求解.
【详解】根据题意，得，即，
∵是第一象限角，∴，
故.
故选：A.
6．A
【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设
=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。
7．C
【分析】根据向量加法的三角形法则，构图即可判断
【详解】
（2）
由非零向量，满足
当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, ,
则. 在图（1）中, ,
不能比较与的大小;
在图（2）中, 由, 得,
所以 为的直角三角形.
易知,
由三角形中大角对大边, 得.
故选：C
8．A
【分析】利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用相等向量的定义以及充分条件、必要条件的定义可判断③⑤；取可判断④.
【详解】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错；
对于②，若，，则，②对；
对于③，且或，
所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错；
对于④，取，则、不一定共线，④错；
对于⑤，若、、、是不共线的四点，
当时，则且，此时，四边形为平行四边形，
当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知，
所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对.
故选：A.
9．AD
【分析】利用向量共线的概念即可判断A正确，B错误；利用向量的加法法则和向量的模的计算可判断C错误，利用三角形重心的结论即可判断D正确，问题得解.
【详解】对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；
对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；
对于选项C，边长为的正方形中，故C错误；
对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.
故选：AD.
10．BC
【分析】根据平面向量的性质、平行的性质与充分必要条件的定义逐个辨析即可.
【详解】对于A，两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同；
对于B，由平面向量相等可得B正确；
对于C，若A，B，C，D是不共线的四点，则当时，且，故四边形ABCD为平行四边形；
当四边形ABCD为平行四边形时，且，故且同向，故，故C正确；
对于D，当且方向相反时，即使，也不能得到，故D错误；
故选：BC
11．AD
【分析】利用诱导公式化简得，可求的值，根据奇函数的定义即可判断是否为奇函数，构造齐次式方程，代入，即可求出的值，利用同角三角函数的平方关系，即可求出，再根据三角函数值的正负，即可求出结果.
【详解】解：，
则，
的定义域为R，，
且，
为奇函数，A选项正确；
，B选项错误；，C选项错误；
若，
则，即，
，，
而，，
则，D选项正确；
故选：AD.
12．ABD
【解析】本题可通过诱导公式将转化为，A正确，然后通过诱导公式将转化为，B正确，最后根据以及同角三角函数关系判断出C错误以及D正确.
【详解】A项：，A正确；
B项：因为，
所以，B正确；
C项：因为，
所以，C错误；
D项：，D正确，
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查诱导公式以及同角三角函数关系的应用，考查的公式有、、、等，考查化归与转化思想，是中档题.
13．
【分析】结合诱导公式和同角三角函数基本关系即可求解
【详解】，又因为，，故，
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数诱导公式的使用，同角三角函数的基本关系，属于基础题.
14．.
【解析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题.
15．##0.6
【分析】由题设可得sinα＝－，应用诱导公式及同角三角函数的平方关系求cos(α－2π).
【详解】由sin(π＋α)＝－sinα，得sinα＝－.
而cos(α－2π)＝cosα＝＝.
故答案为：
16．②③
【分析】根据相关知识，逐项分析即可.
【详解】对于①若，则，而不是，故错误；对于②若，则，正确；对于③正确，故填②③.
【点睛】本题主要考查了零向量，向量的模，相反向量，属于中档题.
17．(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【分析】(1)根据描述找出终点A即可；
(2)根据描述找出终点B即可.
【详解】(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：
(2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：
18．
【分析】先计算出的长度,再根据两点角速度相同,可得点转过的弧度,然后由弧长公式可得.
【详解】因为为弦的中点,根据垂径定理可得,
由，
在直角三角形中,由勾股定理得,
因为两点角速度相同，故后点转过的角度为，
从而点转过的弧长为．
【点睛】本题考查了垂径定理,弧长公式,属于基础题.
19．（1）0（2）
【分析】（1）根据三角形内角和的可得，解方程可得，进而求出的值；
（2）根据同角的基本关系可得，再根据三角形内角和的关系可得，再根据正弦定理可得，最后根据面积公式即可求出结果.
【详解】解：（1）
∴ 或（舍）
∵在中，
∴；
（2）∵在中，
∴
∵，∴
∵
∴
由正弦定理：
又
∴，则
∴.
【点睛】本题主要考查了三角形内角和的正余弦关系，同时考查了正弦定理、余弦定理的应用，熟练掌握公式是解决问题的关键.
20．（1）（2）
【分析】（1）利用诱导公式和特殊角三角函数值化简即可
（2）利用对数运算性质求解
【详解】（1）原式=
（2）
【点睛】本题考查三角函数化简求值，考查对数运算性质，是基础题
21．（1）（2）
【分析】（1）利用诱导公式化简求解即可；
（2）由可得,两边同时平方后可求得,进而求得,再由,代入求解即可.
【详解】解：（1）.
（2）,
两边平方得,
,
又,,
,
,
.
【点睛】本题考查利用诱导公式化简,考查同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.
22．(1)0
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及正余弦齐次式法计算作答.
（2）根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算作答.
【详解】（1）因，所以.
（2）因，所以
.