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第十八章 平行四边形
18.1.2 三角形的中位线（第3课时）
一、温故知新（导）
如图，要测量池塘两岸相对的A，B两个个房子间的距离，由于绳长不够，于是在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，小刚说只要量出了DE的长，就能求出AB的长，你知道这是为什么吗？这就是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、了解三角形中位线的定义，注意与三角形的中线的区别；
2、掌握三角形的中位线定理，并能灵活的运用.
学习重难点
重点：三角形的中位线定义、定理；
难点：三角形中位线性质的运用.
二、自我挑战（思）
1、如图18.1-14，在△ABC中，D，E分别是AB，CD的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形两边
的线段叫做三角形的中位线.
2、观察图18.1-14.
（1）△ABC的中位线DE与边BC有什么位置关系？
.
（2）△ABC的中位线DE与边BC有什么数量关系？
.
3、猜想：△ABC的中位线DE与边BC的关系是 .
4、下面，证明我们的猜想：
如图18.1-14，D，E分别是AB，CD的中点.
求证：DE∥BC，且DE=BC.
5、“”表示 .
6、结论：三角形中位线定理 .
三、互动质疑（议、展）
1、一个三角形有几条中位线？
2、三角形的中位线和中线一样吗？
3、实例：
例5 如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF．
求证：AF=CE．
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、如图，为测量池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点O，从点O不经过池塘可以直接到达点A和B，连接OA，OB，分别取OA、OB的中点C，D，连接CD后，量出CD的长为12米，那么就可以算出A，B的距离是（ ）
A．36米 B．24米 C．12米 D．6米
2、如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF=1，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、如图，DE是△ABC的中位线，若△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4、如图，点D、E是AB、AC的中点，若AD=4，AE=6，△ABC的周长为30，则DE= ．
5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，E是边AC的中点，延长BC到点D，使BC=2CD，那么DE的长是 ．
6、如图，四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，N、M分别是AB、CD的中点，求证：∠PMN=∠PNM．
六、用
（一）必做题
1、如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F．若AD=7，DE=5，则BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
2、如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE=3，DF=1，则边BC的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3、如图，△ABC中，AB=9cm,AC=5cm,点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
4、已知：如图，DE，DF是△ABC的两条中位线．求证：四边形DFCE是平行四边形．
（二）选做题
5、如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，若AC=8，BC=5，则EF的长为 ．
6、如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上一点，且CF=3BF，连接DB，EF．若∠ACB=90°，AC=12，DE=4．
（1）求证：DE=BF；
（2）求四边形DEFB的周长．
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第十八章 平行四边形
18.1.2 三角形的中位线（第3课时）
一、温故知新（导）
如图，要测量池塘两岸相对的A，B两个个房子间的距离，由于绳长不够，于是在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，小刚说只要量出了DE的长，就能求出AB的长，你知道这是为什么吗？这就是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、了解三角形中位线的定义，注意与三角形的中线的区别；
2、掌握三角形的中位线定理，并能灵活的运用.
学习重难点
重点：三角形的中位线定义、定理；
难点：三角形中位线性质的运用.
二、自我挑战（思）
1、如图18.1-14，在△ABC中，D，E分别是AB，CD的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形两边
中点 的线段叫做三角形的中位线.
2、观察图18.1-14.
（1）△ABC的中位线DE与边BC有什么位置关系？
平行 （DE∥BC） .
（2）△ABC的中位线DE与边BC有什么数量关系？
相等（DE＝BC） .
3、猜想：△ABC的中位线DE与边BC的关系是 DE∥BC，DE=BC .
4、下面，证明我们的猜想：
如图18.1-14，D，E分别是AB，CD的中点.
求证：DE∥BC，且DE=BC.
解：延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF，如图18.1-15，
∵AE=EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CFDA，
∴CFBD，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DFBC，
又∵DE＝BF，
∴DE∥BC，且DE＝BC.
5、“”表示 平行且相等 .
6、结论：三角形中位线定理 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 .
三、互动质疑（议、展）
1、一个三角形有几条中位线？
如图，点D、E、F分别是△ABC中，三边的中点，三角形的中位线有三条：DE、DF、EF.
2、三角形的中位线和中线一样吗？
不一样，三角形的中线是连接三角形的顶点和对边中点的线段；三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段.
3、实例：
例5 如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF．
求证：AF=CE．
证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，
∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，
∴EF∥AC，EF=AC，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴AF=CE．
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、如图，为测量池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点O，从点O不经过池塘可以直接到达点A和B，连接OA，OB，分别取OA、OB的中点C，D，连接CD后，量出CD的长为12米，那么就可以算出A，B的距离是（ ）
A．36米 B．24米 C．12米 D．6米
1、解：∵C、D分别是OA、OB的中点，
∴CD是△AOB的中位线，
∴AB=2CD=24米．
故选：B．
2、如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF=1，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2、解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF=AD，
∵EF=1，
∴AD=2，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD=AD=2，
故选：B．
3、如图，DE是△ABC的中位线，若△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3、解：连接BE，
∵点D是AB的中点，△ADE的面积为1，
∴△BDE的面积为1，
∴△ABE的面积为2，
∵点E是AC的中点，
∴△BCE的面积为2，
∴四边形DBCE的面积为3，
故选：B．
4、如图，点D、E是AB、AC的中点，若AD=4，AE=6，△ABC的周长为30，则DE= ．
4、解：∵点D、E是AB、AC的中点，AD=4，AE=6，
∴AB=2AD=8，AC=2AE=12，DE=BC，
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC=30，
∴BC=30-8-12=10，
∴DE=BC=5，
故答案为：5．
5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，E是边AC的中点，延长BC到点D，使BC=2CD，那么DE的长是 ．
5、解：取BC的中点F，连接EF，
∵点E为AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AB=2，
∵BC=2CD，
∴FC=CD，
∵AC⊥BC，
∴AC垂直平分DF，
∴DE=EF=2，
故答案为：2．
6、如图，四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，N、M分别是AB、CD的中点，求证：∠PMN=∠PNM．
6、解：∵P是对角线BD的中点，N分别是AB的中点，
∴PN是△DBC的中位线，
∴PN=BC，
同理：PM=AD，
∵AD=BC，
∴PN=PM，
∴∠PMN=∠PNM．
六、用
（一）必做题
1、如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F．若AD=7，DE=5，则BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
1、解：∵以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F，AD=7，
∴AF=AD=7．
在△ABC中，
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=10．
∴BF=AB-AF，即BF=AB-AD=10-7=3．
故选：C．
2、如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE=3，DF=1，则边BC的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2、解：∵EF是△ABC的中位线，AE=3，
∴EF∥BC，BC=2EF，BE=AE=3，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=BE=3，
∵DF=1，
∴EF=ED+DF=3+1=4，
∴BC=8，
故选：B．
3、如图，△ABC中，AB=9cm,AC=5cm,点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
3、解：如图，延长CD交AB于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠FAD，
∵AD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴AF=AC=5cm,CD=FD，
∴BF=AB-AE=9-5=4cm,
∵CD=FD，点E为BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=BF=2cm,
故选：B．
4、已知：如图，DE，DF是△ABC的两条中位线．求证：四边形DFCE是平行四边形．
4、证明：∵DE，DF是△ABC的两条中位线．
∴DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形．
（二）选做题
5、如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，若AC=8，BC=5，则EF的长为 ．
5、解：如图，延长AF，CB交于点G，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACF=∠GCF，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC=∠GFC=90°，
在△ACF和△GCF中，
，
∴△ACF≌△GCF（ ASA），
∴CG=AC=8，AF=FG，
∴BG=CG-CB=8-5=3，
∵AE=EB，AF=FG，
∴EF为△ABG的中位线，
∴EF＝BG＝1.5，
故答案为：1.5．
6、如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上一点，且CF=3BF，连接DB，EF．若∠ACB=90°，AC=12，DE=4．
（1）求证：DE=BF；
（2）求四边形DEFB的周长．
6、（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∵CF=3BF，
∴BF=BC，
∴DE=BF；
（2）解：∵点D是AC的中点，AC=12，
∴CD=6，
∵DE=4，
∴BC=8，
由勾股定理得：DB===10，
∵DE=BF，DE∥BC，
∴四边形DBFE为平行四边形，
∴四边形DEFB的周长=2×（4+10）=28．
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